4.1. Общие положения (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

Глава 4. Методы расчета турбулентных течений.1. Общие положения1.1.Ламинарные и турбулентные режимы теченияВсе течения жидкости можно разделить на два совершенно разных класса:ламинарные течения и турбулентные. (Напомню, что термин «жидкость»термин имеет широкое значение: жидкость может быть несжимаемой (этособственно жидкость), сжимаемой (газ), проводящей и т.д. )Основное отличие турбулентных течений состоит в том, что движениеносит неупорядоченный, хаотический характер. Если использовать подходЛагранжа, то, в отличие от ламинарного течения, в которых близлежащиечастицыдвижутсяпопрактическипараллельнымтраекториям,втурбулентном течении траектории частиц могут произвольно пересекаться ивести себя достаточно непредсказуемо.Турбулентные течения всегда нестационарные, причем характерныевремена (масштабы) этих нестационарностей могут иметь весьма широкийдиапазон.В качестве примера перехода от ламинарного течения к турбулентномучаще всего приводят струйку дыма горящей сигареты в неподвижномвоздухе.

Вначале частицы дыма движутся практически параллельно понеизменяемым во времени траекториям. Дым кажется неподвижным. Потомв каком-то месте вдругвозникают крупные вихри, которые движутсясовершенно хаотически. Эти вихри распадаются на более мелкие, те - на ещеболее мелкие и т.д., и, в конце концов, дым практически смешивается сокружающим воздухом.На этом примере можно сформулировать основные характерные чертытурбулентного течения:1) Переход от ламинарного режима течения к турбулентномупроисходит не в точно заданном месте, а в достаточно произвольном,случайном месте, и носит вероятностный характер.2) Само турбулентное движение также носит случайный характер:тотили иной вихрь может оказаться в совершенно произвольном,непредсказуемом месте.3) Сначала возникаю крупные вихри, размер которых больше, чемразмер струйки дыма.

Движение становится нестационарным и сильноанизотропным. Крупные вихри теряют устойчивость и распадаются навсе более мелкие. Таким образом, возникает целая иерархия вихрей.Энергия движения этих вихрей передается от крупных вихрей к болеемелким, и в конце этого процесса исчезает – происходит диссипацияэнергии при мелких масштабах.4) Смешение дыма с окружающим воздухом практически непроисходит при ламинарном режиме, а при турбулентном – носит оченьинтенсивный характер.5) Несмотря на то, что граничные условия стационарны, самотурбулентное течение носит ярко выраженный нестационарныйхарактер - все газодинамические параметры меняются во времени.6) Есть и еще одно важное свойство турбулентности: оно всегдатрехмерно.

Даже если мы рассматриваем одномерное течение в трубеили двумерный пограничный слой, все равно движение турбулентныхвихрей происходит в направлениях всех трех координатных осей.Переход от ламинарного течения к турбулентному характеризуется такназываемым критическим числом Рейнольдса: ρ uL Recr =  µ cr(1.1)где ρ - плотность потока, u - характерная скорость потока; L характерный размер потока, µ - коэффициент динамической вязкости.Например, для течения со скоростью u в трубе в качестве L используетсядиаметр трубы.Рейнольдс показал, что в этом случае 2300 < Recr < 20000 . Разброс весьмавелик, практически на порядок величины.Аналогичный результат получается в пограничном слое на пластине.

Вкачестве характерногопластины, иразмера берется расстояние от передней кромкитогда 3 ⋅ 105 < Recr < 4 ⋅ 104 [1]. Если же L определяется кактолщина пограничного слоя, то 2700 < Recr < 9000Есть экспериментальные исследования, которые показали, что Recr можетбыть еще больше.В [1] показано, что значение критическое значение числа Рейнольдсазависит от большего числа факторов, например, от градиента давления, отвысоты бугорков шероховатости, от интенсивности турбулентности вовнешнем потоке, от перепада температур и т.д.Вероятно, практическивсе эти факторы можно свести всего лишь кодному: возмущению скорости.

И градиент давления, и шероховатость, иинтенсивность турбулентности, и неравномерность температур, все этоможет вызвать некоторое возмущение скорости. Если это возмущениеневелико, оно может быть погашено вязкими силами, стремящимисявыровнять поле скоростей. При больших возмущениях течение можетпотерять устойчивость, и возникает турбулентность.Напомним физический смысл числа Рейнольдса [1]: это соотношение силинерции и сил вязкости.Более строго:ρ uL ρ u 2Re ==uµµ(1.2)LВ числителе стоит удвоенный скоростной напор, а в знаменателе –величина, имеющая порядок напряжения трения, если в качестве L беретсятолщина пограничного слоя.Скоростной напор стремится разрушить равновесие, а силы тренияпротиводействуют этому.Непонятно тогда, почему силы инерции (или скоростной напор)«побеждают» только тогда, когда они более, чем в 1000 раз, больше силвязкости.Вероятно, более удобно было бы использовать в качестве характернойскорости в Recr не абсолютную скорость потока u, а возмущение скорости.В этом случае критическое число Рейнольдса составит порядка 10, т.е.

припревышении возмущения скоростного напора над вязкими напряжениями в5 раз происходит переход ламинарного режима течения в турбулентное.Такое определение критического числа Рейнольдса хорошо объясняеттакие экспериментально подтвержденные факты:1) Для идеально равномерного профиля скорости на идеально гладкойповерхноститрадиционнобесконечности [1], т.е.определяемоечислоRecrстремитсякперехода к турбулентности фактически ненаблюдается. А вот числоРейнольдса, определяемое повеличиневозмущения скорости меньше критического, которое равно 10.2) При наличии искусственных турбулизаторов, вызывающих всплескскорости, сравнимый с основной скоростью, поток становится турбулентнымпри гораздо более низких значениях числа Рейнольдса, чемRecr ,определенное по абсолютному значению скорости.Это дает нам право использовать значение Recr :Recr = 10 ,(1.3)где в качестве характерной скорости используется абсолютное значениевозмущения скорости, вызываемое указанными выше причинами.1.2.

Осредненное и пульсационное движениеКак уже говорилось, турбулентное движение является нестационарным иему присущ широкий спектр масштабов турбулентных вихрей – от наиболеекрупных до самых мелких.Нестационарные уравнения динамики вязкой жидкости описываютдвижение в турбулентном течении вплоть до минимальных масштабовтурбулентности. Однако при численном решении этих уравнений для того,чтобы учесть эти масштабы, может потребоваться настолько мелкая сетка,что даже современные компьютерные мощности не позволят решить такуюзадачу.

То же относится и к выбору шага численного интегрирования повремени, так как характерное время мелкомасштабной турбулентности оченьмало. С другой стороны, именно мелкомасштабная турбулентность играетважнейшую роль при описании турбулентных течений.Поэтому прямое численное моделирование (Direct Numeric Simulation,DNS) турбулентных течений применяется для инженерных расчетовдостаточно редко.Более простой моделью является так называемое моделирование крупныхвихрей (Large Eddy Simulation, LES).

В этом подходе крупные вихрирассчитываются, а мельчайшие вихри подсеточного масштаба (Sub-GridScale, SGS) моделируются. Основной предпосылкой такого подхода являетсято, что наибольшие вихри, которые находятся под прямым воздействиемграничных условий, несут максимум энергии и должны быть рассчитаны.Эти подходы имеют хорошую перспективу, но в настоящее времянаиболее распространенным способом моделирования турбулентностиявляется использование осреднения Рейнольдса, когда вместо уравнений длямгновенных значений параметров используются уравнения для некихосредненных величин. Эти уравнения называются уравнениями Рейнольдса.При турбулентном режиме течения в каждой точке потока всегазодинамические параметры течения (скорость, температура, давление ит.д.) постоянно изменяются, притом очень неравномерно (см.рис.1)На рис.1 мгновенная скорость u пульсирует около некоторого среднегово времени значения u .

Отклонение мгновенной скорости u от средней вовремениназывают пульсационными скоростями u′ , при этом в любоймомент времени:u = u + u′(1.4)Таким образом, турбулентное движение состоит как бы из регулярноготечения,описываемогоосреднённымизначениямискоростей,иизналоженного на него хаотического пульсационного течения.Рис.1.

Осциллограмма колебаний скорости в определенной неподвижнойточке турбулентного потока, имеющего неизменную среднюю скоростьтечения.Можно использовать различные способы осреднения газодинамическихпараметровтечения.Например,сиспользованиемматематическогоожидания и функции плотности распределения вероятностей:+∞M (u ) =∫ u ⋅ f ( u ) du ,−∞(1.5)где u - любой газодинамический параметр (в данном случае скорость),который рассматривается как случайная величина,f (u )- функцияраспределения плотности вероятностей (ФРПВ) этой величины.Для течений, в которых средняя величина не меняется во времени, можноиспользовать осреднение по времени:u ( x, y , z ) =1∆tt +∆t∫ u ( x, y, z, t ) dt ,(1.6)tгде ∆t - период времени, существенно превышающий временной масштабтурбулентности.Эргодическая гипотеза (др.-греч.

ἔργον — работа и ὁδός — путь) встатистической физике — предположение о том, что средние по временизначения физических величин, характеризующих систему, равны их среднимстатистическим значениям; служит для обоснования статистическойфизики.Таким образом, можно считать, чтоM (u ) ≅ uВ дальнейшем будем(1.7)обозначать осредненные параметры верхнимподчеркиванием: u , ρ , T , p и т.д. Это, так называемые, средние по Рейнольдсу.Для осредненных и пульсационных величин справедливы следующиесоотношения:A ± B = A ± B,AB = A ⋅ B + A′B′,A′B′ ≠ 0,(1.8)AB = A ⋅ B,∂A ∂ A=,∂xi ∂xiA′ = 0∂A ∂ A=,∂t∂tВеличину A′B′ называют корреляцией пульсаций случайных величин A иB .

В общем случае она не равна нулю, и это порождает очень интересныеследствия. Об этом будет рассказано далее.Осредненныеуравнениядвижениявязкойжидкостиназываютсяуравнениями Рейнольдса.1.3. Двумерный слой смешения несжимаемых жидкостей.Рассмотрим смешение двух потоков несжимаемой жидкости, которыедвижутся параллельно оси x, но с разной скоростью. При этом плотность идинамическая вязкость являются константами.Для несжимаемого течения:div ( v ) ≡∂um=0∂xm(1.9)Тензор вязких напряжений равен ∂uiτ ij ≡ µ  ∂x j+ ∂u ∂u j ∂u j  2∂u − δ ij µ m = µ  i +∂xi  3∂xm ∂x j ∂xi (1.10)Таким образом, входящая в уравнение количества движения величина ∂  ∂u j∂∂   ∂ui ∂u j  τ ji ) =+µ= µ (∂xi∂xi   ∂x j ∂xi   ∂xi  ∂xiАуравнениеколичества ∂  ∂ui+ ∂xi  ∂x jдвиженияв ∂ 2u j∂  ∂ui  = µ  2 +∂x j  ∂xi ∂xi проекциина∂ 2u j = µ 2∂xi осьxдлярассматриваемой задачи имеет вид∂∂∂∂ 2u∂ 2u2ρu+ρu+p+ρuv=µ+µ( )() ∂y ( ) ∂x2 ∂y 2∂t∂x(1.11)Очевидно, что каждый из двух параллельных потоков за счет вязкостивызывает возмущение скорости в соседнем потоке, и это возмущение равноразностискоростей∆u .ЧислоРейнольдса,возмущение и толщину слоя смешения δ , равновыраженноечерезэтоRe =ρ ∆u δν(1.12)Если оно превышает критическое значение ∼ 10 , происходит переход ктурбулентному режиму течения.Для математического описания этого течения используем подходРейнольдса, т.е.