1.3. Элементы тензорного анализа (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013), страница 2

Дивергенция. Градиент. Тензор скоростей деформаций. ТеоремаОстроградского-Гаусса.В разделе 1 данной главы уже были введены понятия этих векторныхфункций для декартовой системы координат. Сделаем то же самое впроизвольной системе координат.1) Дивергенция.Введем понятие дивергенции вектора скорости v, контравариантныекомпоненты которого равныv1 , v 2 , v 3 .По определению инвариантнаявеличинаdiv v = ∇i v i(3.48)называется дивергенцией вектора скорости.В декартовой системе координат, в которой компоненты скорости равныu, v, w , имеем:div v =∂u ∂v ∂w++∂x ∂y ∂z(3.49)С механической точки зрения дивергенция скорости представляет собойскорость относительного изменения бесконечно малого индивидуальногообъема сплошной среды:div v = lim∆t → 0V0 → 0V − V0V0∆t(3.50)Если представить ковариантную производную как некий вектор, заданныйковариантными компонентами в контравариантном базисе∇ = g i ∇i ,(3.51)то для дивергенции можно использовать представление в виде скалярногопроизведения:div v = ∇ iv(3.52)∇ iv = ( g i∇i )i( v j g j ) = ∇i v j g i ig j = ∇i v i(3.53)ДействительноСучетомформулы(3.8)можнополучитьещеоднополезноепредставление дивергенции:div v = ∇ iv = ( g i∇i )i( v j g j ) = g i i( ∇i v j g j ) = g i i∂v∂ζ i(3.54)Существует обобщение операции дивергенции на действие не только навекторы, но и на тензоры более высокого ранга:∇ iT = ( g i∇i )i(T jk g j g k ) = ∇iT jk ( g i )i( g j g k ) = ∇iT ik g k ∂T ikk =+ T mk Γimi + T im Γ mi gki ∂η(3.55)Очевидно, что в общем случае, дивергенция понижает ранг тензора на 1.Выражение для дивергенции любого вектора в произвольной системекоординат можно теперь записать следующим образом с учетом (3.45):∇i v i =1=g1 ∂ g∂v i∂vi∂vij ij 1 ∂ gvv+Γ=+=+ vi=jiiijii∂ζ∂ζ∂ζg ∂ζg ∂ζ∂ g∂vig+ vii∂ζ∂ζ i(i1 ∂ v g =ig ∂ζ(3.56))Напомним, что vi являются компонентами вектора v при разложении егопо векторам ковариантного базиса gi , которые не являются, вообще говоря,единичными векторами.Для вектора скорости v можно написать формулу:v = vigi =u1g11g1 +u2g 22g2 +u3g33g 3 = u i ei =,(3.57)= vi g i = v1 g11 e1 + v 2 g 22 e 2 + v3 g33 e3гдеei =g ii- единичные векторы (суммирование по i отсутствует).g iiЕсли система координат ортогональная, то компонентыu i = vi g ii(суммирование по i отсутствует) равны проекциям скорости v накасательныеккоординатнымлинияминазываютсяфизическимикомпонентами вектора скорости.

Очевидно, что для ортогональных системкоординат величины ui = vi g ii (суммирование по i отсутствует) совпадают свведенными физическими компонентами u i . Аналогично можно ввестифизические компоненты любого вектора, например ускорения или градиентадавления, и вообще тензора любого ранга.Сучетомвышесказанного,например,вцилиндрическойсистемекоординат дивергенция скорости выражается через физические компонентыследующим образом:()irθzrθz1 ∂ v g1  ∂ (v r ) ∂ (v r ) ∂ ( v r )  1  ∂ (u r ) ∂ (u ) ∂ (u r ) = =∇i v == ++++ir  ∂r∂θ∂z  r  ∂r∂θ∂z  (3.58)g ∂η∂u u 1 ∂uθ ∂u z= r + r ++∂rr r ∂θ∂ziДля сферической системы координат:()i ∂ ( v r r 2 sin (ϕ ) ) ∂ ( vϕ r 2 sin (ϕ ) ) ∂ ( vθ r 2 sin (ϕ ) ) 1 ∂ v g1=∇i v == 2++i∂r∂ϕ∂θr sin (ϕ ) g ∂η uθ uϕ 2∂r 2 sin (ϕ )  ϕ∂sinr()r 21 ∂ ( u r sin (ϕ ) ) +  r +  r sin (ϕ ) == 2r sin (ϕ )∂r∂ϕ∂θ(3.59)∂ (u r r 2 )∂ ( uϕ sin (ϕ ) )1∂uθ sin (ϕ )== 2+r+rr sin (ϕ ) ∂r∂ϕ∂θ 1∂u ru r cos (ϕ ) ϕ 1 ∂u ϕ∂uθu +=+2 ++∂rr r sin (ϕ )r ∂ϕ r sin (ϕ ) ∂θi2) ГрадиентИз определения ковариантной производной следует, что ковариантныепроизводныеотскалярнойвеличиныϕсовпадаютсобычнымипроизводными∇iϕ =∂ϕ∂ζ i(3.60)и определяют вектор, который является вектором-градиентом скалярногополя ϕ .Компоненты ∇ iϕ являются ковариантными, т.е.

градиент определяетсяформулой∇ϕ = gi∇iϕ(3.61)Для получения контравариантных компонент этого вектора используемжонглирование индексами:∇ϕ = ∇iϕ g i = g ijгде ( ∇ϕ ) = g ij∂ϕ∂ϕj= g ijg j = ( ∇ϕ ) g j ,ii∂ζ∂ζ(3.62)∂ϕ∂ζ iИспользуя формулу (3.56), определяем лапласиан (оператор Лапласа)скалярной функции ϕ :∆ϕ = ∇ 2ϕ = div ( grad ϕ ) =1 ∂ 1 ∂ ∂ϕ j∇ϕ ) g  =g g ij i j (j∂ζ g ∂ζg ∂ζ (3.63)3) Тензор скоростей деформаций.Симметричный тензорeij =1( ∇i v j + ∇ j vi )2(3.64)называется тензором скоростей деформаций. Если поле скоростей vизвестно, то компоненты eij можно вычислить по формуле (3.64).Тензор скоростей деформаций обладает следующим свойством: для негосуществуют так называемые главные оси.

В этойсистеме он содержиттолько так называемые диагональные члены. В этой системе координатдеформация объёма среды сводится лишь к растяжению вдоль главных осей.Например, объём жидкости, имевшей первоначально сферическую форму, стечением времени будет деформироваться в эллипсоид.4) Теорема Гаусса — Остроградского и некоторые связанные с нимисвойства.Это формула, которая выражает поток векторного поля A через замкнутуюповерхность S интегралом от дивергенции этого поля по объёму V,замкнутого под поверхностью.∫∫ A ⋅ nds = ∫∫∫ div AdVS(3.65)VПод интегралами в формуле Гаусса – Остроградского как справа, так ислева стоят инвариантные, не зависящие от выбора системы координатвеличины.

Если они известны в декартовой системе координат, то их легковычислить в любой другой системе координат. А именно, пусть в любойсистеме ζ 1 , ζ 2 , ζ 3A = Ak g k , n = n j g j(3.66)A ⋅ n = Ak n j g k ⋅ g j = Ak nk(3.67)div A = ∇i Ai(3.68)тогдаиТеперь теорему Гаусса — Остроградского можно написать в следующемвиде:∫∫ A n ds = ∫∫∫ ∇ A dV ,kikSi(3.69)Vкоторый справедлив в произвольной криволинейной системе координат.Заметим, что число измерений пространства при выводе теоремы Гаусса —Остроградского может быть произвольным. В механике и в физике этатеорема часто применяется для двумерных, трехмерных и четырехмерныхобластей.Кроме того, так как в декартовой системе координат любые три величиныР, Q, R можно трактовать как компоненты вектора, теорему Гаусса —Остроградскогоможнонаписатьдлялюбыхтрехнепрерывныхидифференцируемых функций Р, Q, R от x, y, z , а именно: ∂P ∂Q ∂R Pcosn,xQcosn,yRcosn,zds++=++()()() dV∫∫S∫∫∫∂∂∂xyzV(3.70)5) Формула дифференцирования по времени интеграла, взятого поподвижному объему.Пусть имеется произвольная функция f ( x, y, z , t ) , зависящая от координатточек пространства и от времени t .

Рассмотрим интеграл∫∫∫ f ( x, y, z, t ) dVVпо подвижному объему V. Определим производную по времени от этогоинтеграла. При этом учитываем тот факт, что от времени t зависит не толькоподынтегральная функция, но и область интегрирования V.Рис.7. К выводу формулы для дифференцирования интеграла, взятого поподвижному объемуВыберем в движущейся среде в момент времени t индивидуальный объемV сплошной среды, ограниченный поверхностью S. В каждой точкеповерхности Sвыберем внешний по отношению к V единичный векторнормали n.

В момент t + ∆t этот объем перейдет в объем V ′ , а поверхность S в поверхность S ′ , ограничивающую V ′ (см. рис. 7).По определению производной:∫∫∫dV′fx,y,z,tdV=lim()∆t → 0dt ∫∫∫Vf ( x, y, z , t + ∆t ) dV − ∫∫∫ f ( x, y, z , t ) dVV∆t=∫∫∫  f ( x, y, z, t + ∆t ) − f ( x, y, z, t ) dV + ∫∫∫ f ( x, y, z, t + ∆t ) dV= limV ′−VV∆t∆t → 0= ∫∫∫V∂f ( x, y, z , t )∂tdV + ∫∫ f ( x, y, z , t ) vn dσS=(3.71)т.к.

объем V ′ − V складывается объемов элементарных цилиндровdV = vn dσ∆t ,а при ∆t → 0 поверхность S ′ стягивается к поверхности S иf ( x , y , z , t + ∆t ) → f ( x , y , z , t )Применим ко второму члену в правой части выражения (3.71) формулуГаусса — Остроградского (3.69), рассматривая вектор A = fV .В результате получаем следующую формулу:d ∂ff ( x, y, z , t ) dV = ∫∫∫  + ∇i ( fvi )  dV∫∫∫dt V∂tV (3.72)Подынтегральное выражение можно представить в виде∂f∂fdf+ ∇i ( fv i ) =+ vi∇i f + f ∇i v i =+ f ∇i v i∂t∂tdt(3.73)df ∂f=+ vi∇i f dt ∂t(3.74)гдеполная производная величины f в произвольной системе координат.Отсюда получается еще одна формула для рассматриваемой производнойd dff ( x, y, z , t ) dV = ∫∫∫  + f ∇i vi  dV∫∫∫dt VdtV (3.75).