1.3. Элементы тензорного анализа (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

3. Элементы тензорного анализа3.1. Ковариантная производнаяЗададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно лисчитать, что для вектораw = wk g kсправедливо:∂w ∂wk=gk∂ζ i ∂ζ i?(3.1)Оказывается, что, вообще говоря, это не так. Дело в том, что обычныепроизводные от компонент вектора не определяют изменения самоговектора, так как при переходе от одной точки к другой изменяются и векторыбазиса.Рис.6. Полярная система координат на плоскостиВ самом деле, возьмем, например, полярную систему координат наплоскости и рассмотрим поле постоянного как по величине, так и понаправлению во всех точках плоскости вектора A. Вектор A при переходе отточки к точке плоскости не меняется, и его производная, очевидно, должнаравняться нулю. Координатами ζ 1 и ζ 2 будут радиус r и угол ϕ .

Векторыбазиса будут направлены следующим образом: g1 - по лучам, выходящим изначала координат, а g 2 - по касательным к окружностям r = const . В разныхточках плоскости g1 и g 2 будут направлены по разному, и проекциипостоянного вектора A на направления g1 и g 2 в разных точках плоскостибудут разными (см., например, точки В и С на рисунке), т. е. производные откомпонент постоянного вектора не будут равны нулю. Таким образом,равенство (3.1) не выполняется.На самом деле это равенство (3.1) выполняется только для декартовойсистемы координат, т.к. для нее так как базисные векторы g1 = i , g 2 = j , g 3 = kне изменяются от точки к точке.В произвольной криволинейной системе координат ζ 1 , ζ 2 , ζ 3векторыбазиса g k переменны, и поэтому:k∂w ∂ ( w g k ) ∂wk∂g==g k + wk kiiii∂ζ∂ζ∂ζ∂ζПроизводнаявекторабазиса∂g k∂ζ iпредставляет(3.2)собойвектор,характеризующий свойства криволинейной системы координат.

Из формулы(1.7) следует:∂g k∂  ∂r=i∂ζ∂ζ i  ∂ζ k∂ 2r∂g i==ik∂ζ k ∂ζ ∂ζЕго можно разложить по тому же базису:(3.3)∂g k= [ ki, j ] g j = Γ kij g ji∂ζ(3.4)Компоненты разложения [ ki, j ] и Γkij называются символами Кристоффеля1-го и 2-го рода.Таким образом,∂w ∂wk=g k + wk Γ kij g jii∂ζ∂ζ(3.5)Во втором члене этой формулы проводится двойное суммирование поиндексам j и k .

Меняем их местами и получаем: ∂wk∂w ∂wkj kj k =g+wΓg= i + w Γ ji  g kkji kii∂ζ∂ζ ∂ζ(3.6)Коэффициенты при g k в этой формуле, зависящие от двух индексов,называются ковариантными производными контравариантных компонентвектора w и имеют специальное обозначение:∇ i wk =∂wk+ w j Γ kjii∂ζ(3.7)Таким образом∂w= ∇ i wk g ki∂ζ3.2.(3.8)Свойства ковариантной производнойМожно легко доказать следующие полезные свойства.1) В декартовой системе координатпроизводная совпадает с обычной:∂g i ∂g i≡= 0 , Γ kji = 0 , и ковариантнаяj∂ζ∂x j∇ i wk =∂wk∂xi(3.9)2) Ковариантные производные образуют компоненты тензора.Инвариантный объектT = ∇ i wk g k g iявляетсятензором,смешанныекомпоненты(3.10)которогоявляютсяковариантными производными.3) Можноввестиковариантныепроизводныеконтравариантныхкомпонент тензора H:kj∂g∂H ∂ ( H g k g j ) ∂H kj∂g==g k g j + H kj ki g j + H kj g k ji =iii∂ζ∂ζ∂ζ∂ζ∂ζ=∂H kjg k g j + H kj Γ mki g m g j + H kj g k Γ mji g m =i∂ζ= ∂H kj∂H kjmj kkm jgg+HΓgg+HΓgg=+ H mj Γ kmi + H km Γ mij  g k g jk jmi k jmi k jii∂ζ ∂ζ(3.11)Величина∇ i H kj =∂H kjk+ H mj Γ mi+ H km Γ mij ∂ζ i(3.12)называется ковариантной производной контравариантных компоненттензора второго ранга H.4) Сумма ковариантных производных:∇i ( u k + v k ) = ∇i u k + ∇i v k(3.13)∇i ( u k v k ) = ( ∇i u k ) ⋅ v k + u k ∇i v k(3.14)5) Произведение6) Ковариантная производная от ковариантных компонент вектораравна∇i wk =∂wk− w j Γ kij∂ζ i(3.15)7) Заметим, что ∇i wk являются ковариантными, а ∇i wk смешаннымикомпонентами одного и того же тензораT=∂w ig = ∇i wk g k g i = ∇i wk g k g i∂ζ i(3.16)Между этими компонентами тензора существует связь:∇ i wk = g kj ∇ i w j(3.17)С другой стороны, для компонент вектора справедливо:wk = g kj w j(3.18)∇i ( g kj w j ) = g kj∇ i w j(3.19)Отсюда следует, чтоТ.е.

компоненты метрического тензора g ij и gij , несмотря на то, что онизависятотζ 1,ζ 2 ,ζ 3 ,ведутсебяпоотношениюкковариантномудифференцированию как постоянные величины. Иначе говоря, не меняярезультата, их можно вносить и выносить за знак ∇i , т.е. ∇i g jk = 0 .Аналогично∇i g jk = 03.3.(3.20)Свойства символов Кристоффеля1) Символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам:Γ kij = Γ ikj(3.21)Это следует непосредственно из формулы (3.3).2) Домножив скалярно выражения (3.4) на соответствующие базисныевекторы, получим следующие формулы:Γ kij =∂g k jig ,∂ζ i(3.22)∂g kig j∂ζ i(3.23)[ ki, j ] =3) Подставим в формулы (3.22) и (3.23) выражения базисных векторовчерез декартовы компонентыΓ kij =∂g k j∂  ∂xm   ∂ζ j ∂ 2 xm ∂ζ j∂ 2 xm ∂ζ jig=iii=iii=m l m l∂ζ i∂ζ i  ∂ζ k   ∂xl  ∂ζ i ∂ζ k ∂xl∂ζ i ∂ζ k ∂xm∂ 2 xm ∂xm[ ki, j ] = i k j∂ζ ∂ζ ∂ζ(3.24)(3.25)4) Продифференцируем компоненты метрического тензора:∂g ij∂ζk=∂g j∂∂ζk( g ig ) = g i ∂ζijik+ g ji∂g i= [ jk , m ] g i ig m + [ik , m ] g j ig m∂ζ k(3.26)= [ jk , i ] + [ik , j ]Из этой формулы следует важное соотношение:[ij, k ] =Длядоказательствасоответствующие1  ∂g jk ∂gik ∂gij +−2  ∂ζ i ∂ζ j ∂ζ k этойпроизводныеформулыкомпонент(3.27)достаточнометрическогоподставитьтензора,получаемые по формуле (3.26).5) Из формулы (3.22) с учетом (2.41) следует:Γ kij =∂g k j ∂g kig =ig m g mj = [ ki, m] g mj∂ζ i∂ζ i(3.28)Отсюда с учетом (3.27) выражаем символы Кристоффеля черезкомпоненты метрического тензора:Γ kij =1 mj  ∂g im ∂g km ∂g ki −g  k +2∂ζ i ∂ζ m  ∂ζ(3.29)6) Символы Кристоффеля не являются компонентами какого-либотензора.

Это видно, например, из того, что в одном и том же пространствеони в декартовой системе координат равны нулю, а в криволинейнойотличны от нуля. Очевидно, что компоненты тензора таким свойствомобладать не могут.Определим, как меняются символы Кристоффеля при переходе от однойсистемы координат {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 } к другой - {η 1 , η 2 , η 3 } . Из формулы (3.22)следует:∂g′i k∂  ∂ζ m   ∂η k l ∂ 2ζ m ∂η k∂ζ m ∂η k ∂g m ll′g=gg=gg+iiiig = mm∂η j∂η j ∂η i   ∂ζ l  ∂η j ∂η i ∂ζ l∂η i ∂ζ l ∂η j(3.30)∂ 2ζ m ∂η k ∂ζ m ∂η k ∂ζ n ∂g m l∂ 2ζ m ∂η k ∂η k ∂ζ m ∂ζ n l=+ig =+Γ mn∂η j ∂η i ∂ζ m ∂η i ∂ζ l ∂η j ∂ζ n∂η j ∂η i ∂ζ m ∂ζ l ∂η i ∂η jkΓij =Очевидно, что символы Кристоффеля не преобразуются по правиламтензоров из-за наличия первого члена в правой части выражения (3.30).7) Большой интерес представляет случай, когда в качестве системыкоординат{η , η1{ x1 , x2 , x3} , для2, η3}используется декартова система координаткоторой, как указывалось ранее, все символыКристоффеля равны нулю, т.е.kΓij = 0 ,(3.31)∂ 2ζ m ∂xk∂xk ∂ζ m ∂ζ n l+Γ mn = 0∂x j ∂xi ∂ζ m ∂ζ l ∂xi ∂x j(3.32)Умножая последнюю формулу насуммирование по k ), получаем:∂ζ p(применяя∂xkтаким образом∂ 2ζ p ∂ζ m ∂ζ n p+Γ mn = 0∂x j ∂xi∂xi ∂x j(3.33)Свертываем это выражение по i и j (т.е.

полагаем i = j и суммируем поi ) и получаем:∂ 2ζ p∂ζ m ∂ζ n p=−Γ mn∂xi 2∂xi ∂xi(3.34)p∇ 2ζ p = − g mn Γ mn(3.35)С учетом (2.37):где∇2 =∂2∂2∂2∂2≡++∂xi 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2(3.36)- оператор ЛапласаИ наконец, с учетом (3.24) получаем формулу∂ 2 xq∂ζ p∇ ζ = −g∂ζ i ∂ζ k ∂xq2pkiЕсли домножить эту формулу на∇ 2ζp∂x j∂ζp∂x j∂ζp(3.37)(суммирование по индексу p ), то= − g ki∂2 x j∂ζ i ∂ζ k(3.38)Эта формула очень важна и в дальнейшем будет использоваться дляпостроения конечно-объемных сеток.8) Для ортогональной системы координат справедливо:gij = 0 при i ≠ jДля ортогональной системы с учетом (3.29) получаем:(3.39)1 ii ∂g iig,2 ∂x j1 ∂g jjΓijj = − g ii i ,2∂x1 ∂gΓiii = g ii iii∂x2(3.40)Γijk = 0 при i ≠ j, j ≠ k , i ≠ k(3.41)Γiij =иОтметим, что в формулах (3.40) суммирование повторяющимся индексамне проводится.В частности, для цилиндрической системы координат, в которойξ = r, η = θ , ζ = z(см.

Рис. 4) справедливо: g11 = 1, g22 = r 2 , g33 = 1 и g 11 = 1, g 22 =1 33, g =1.r2Отсюда1 22 ∂g 22 1 11g=2r =12∂xr22r1∂g1Γ122 = − g 11 221 = − 2r = −r∂x222Γ 221 = Γ12=(3.42)Все остальные коэффициенты Кристоффеля равны нулю.Для сферической системы координат:x1 = r , x 2 = ϕ , x 3 = θГде r -расстояние до начала координат, а φ и θ — зенитный иазимутальный угол соответственно. Компоненты метрического тензораравныg11 = 1, g 22 = r 2 , g 33 = r 2 sin 2 (ϕ ) и g 11 = 1, g 22 =1 331,g = 2 22rr sin (ϕ )Ненулевые символы Кристоффеля равны:1 22 ∂g 22 11∂g13g= , Γ331 = Γ13= g 33 331 = ,12∂xr2∂xrcos (ϕ )∂g1Γ332 = Γ323 = g 33 332 =∂x2sin (ϕ )2Γ 221 = Γ12=1∂g1∂gΓ122 = − g 11 221 = − r , Γ133 = − g 11 331 = − r sin 2 (ϕ ) ,2∂x2∂x1∂g2Γ33= − g 22 332 = − sin (ϕ ) cos (ϕ )2∂x(3.43)т.к.∂g 22∂g33∂g33= 2r ,= 2r sin 2 (ϕ ) ,= 2r 2 sin (ϕ ) cos (ϕ )11∂x∂x∂x 28) Свертывание формулы (3.29) по индексам j и k для произвольнойсистемы координат дает следующую формулу:Γ jij =∂g jm∂g ji 1 mj  ∂gim ∂g jm ∂g ji  1  mj ∂gimmjmjg +−=g+g−g=j2∂ζ i ∂ζ m  2 ∂ζ j∂ζ i∂ζ m  ∂ζ∂g∂g1∂g∂g  1=  g mj imj + g mj jmi − g mj imj  = g mj jmi2∂ζ∂ζ∂ζ  2∂ζ(3.44)Здесь использовалась симметрия матриц g mj , g ji и смена индексовсуммирования:g mj∂g ji∂ζm= g jm∂g mi∂g= g mj imjj∂ζ∂ζБез доказательства приведем еще одну полезную формулу:Γiij =1 ∂g1 ∂ g=,jj2 g ∂ζg ∂ζ(3.45)где g - определитель матрицы gijЗаметим, что в формуле (3.45) подразумевается суммирование по индексуi.В цилиндрической системе координат:g =r,(3.46)g = r 2 sin (ϕ )(3.47)В сферической:3.4.