1.2. Элементы тензорного исчисления (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

2. Элементы тензорного исчисленияВ предыдущих разделах были введены в рассмотрение некоторыевекторы, например, скорость v, перемещение dr . Что же такое вектор?Вектор не скаляр, но в то же время, как и скаляр, является инвариантом, т.е.не зависящим от выбора системы координат, объектом.Определяя вектор, часто говорят, что это — три числа, называемыекомпонентами вектора, преобразующиеся при переходе от одной системыкоординат к другой определенным образом.

Однако, это определениенедостаточно, так как вектор всегда задается в определенном базисе и,задавая вектор его компонентами, всегда надо указывать базис, в которомони заданы.Давайте рассмотрим, как же меняются компоненты вектора при переходеот одного базиса к другому.2.1.Преобразования координатРассмотрим наряду с системой координаткриволинейную систему координат{η , η12{ζ1, ζ 2, ζ 3}произвольную, η 3 } . Законы движения можнорассматривать как относительно системы {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 } , так и относительно{η , η12, η 3 } .

Между этими двумя системами существует соответствие:ζ i = ζ i (η 1 , η 2 , η 3 ) , i = 1, 2,3(2.1)Таким образом, имеется 3 функции, зависящие от 3-х аргументов. Дляопределения дифференциаловэтих функций применяются обычныеформулы:dζ 1 =∂ζ 1 1 ∂ζ 1 2 ∂ζ 1 3dη + 2 dη + 3 dη∂η 1∂η∂η∂ζ 2 1 ∂ζ 2 2 ∂ζ 2 3dζ =dη + 2 dη + 3 dη∂η 1∂η∂η2(2.2)∂ζ 3 1 ∂ζ 3 2 ∂ζ 3 3d ζ = 1 dη + 2 dη + 3 dη∂η∂η∂η3или∂ζ idζ =dη jj∂ηi(2.3)где по j идет суммирование от 1 до 3, а i пробегает значения 1,2, 3, что вдальнейшем не будет указываться, но будет подразумеваться.Напомним, что{d ζ1, dζ 2 , dζ 3 }можно рассматривать как компонентыэлементарного перемещения dr в базисе {g1 , g 2 , g3} , то есть, справедливаформула разложения:dr = g j dζj(2.4)Этот же вектор dr можно разложить и в новом базисе {g1′ , g′2 , g′3} , которыйсоответствует новой системе координат {η 1 , η 2 , η 3 } :dr = g′j dη j(2.5)Формулы (2.2) или (2.3) дают связь приращений координат dζ i и dη jвблизи любой заданной точки.

Производные∂ζ i∂η jобразуют матрицуразмером ( 3 × 3) , которую мы обозначим через A. Введем обозначения:∂ζ i∂η j(2.6)aii ij = A(2.7)aii ij =При таком обозначении важно расположение индексов: верхний индекссоответствует номеру строки матрицы, нижний - номеру столбца.Считаем, что между двумя системами координат существует взаимнооднозначное соответствие, т.е. определитель матрицы A не равен нулю исуществует обратная ей матрица B, с помощью которых компонентыdη 1 , dη 2 , dη 3 выражаются через компоненты d ζ 1 , dζ 2 , d ζ 3 :∂η jdη =dζ ii∂ζj(2.8)Соответствующие компоненты матрицы обозначаются как∂η j∂ζ i(2.9)bii ij = B(2.10)biji i =По правилам умножения матриц получаем:1 0 0∂ζ i ∂η j ∂ζ iiiA⋅B = a b === δ ik =  0 1 0  ,jkk∂η ∂ζ∂ζ0 0 1ii j ii j ik(2.11)где1, i = k- символы Кронекера0, i ≠ kδ iiki = Таким образом, матрицы A и B действительно взаимно обратные.(2.12)Теперь получим формулы, с помощью которых векторы нового базиса{g1′ , g′2 , g′3} могут быть выражены через векторы базиса {g1, g 2 , g3} .

Для этогодостаточно воспользоваться определением векторов базиса (см. формулу(1.7)), из которого следует:g′j =∂r∂r ∂ζ i∂ζ i== gi= aii ij g ijijj∂η∂ζ ∂η∂η(2.13)Для новых компонент вектора dr согласно (2.8) имеем:dη j = biji i d ζ i(2.14)Таким образом, переход к новому базису осуществляется с помощьюпрямой матрицы A, а переход к новым компонентам - с помощью обратнойматрицы B.Введем определение.Величины, преобразующиеся аналогично векторам базиса gj (по формуле(2.13) с помощью прямой матрицы A, называются ковариантными.Величины, преобразующиеся аналогично компонентам dr (формула (2.14)) спомощьюобратнойПодчеркнем,чтоматрицыB,преобразования,называютсяконтравариантными.образующиековариантныеиконтравариантные величины, являются взаимно обратными.Соответственно,компоненты{ζ1, ζ 2, ζ 3}называютсяконтравариантными компонентами вектора dr, а базис {g1 , g 2 , g3} называетсяковариантным базисом.2.2.Определение вектора.По примеру элементарного перемещения dr , которое имеет в базисе{g1, g 2 , g3} компонентывведем объект A, который представляетсяdζ 1 , dζ 2 , d ζ 3 ,через базис по формуле аналогичной (2.4):A = Ai g i(2.15)Его компоненты при преобразовании координат преобразуются каккомпоненты dr (см.

формулу (2.14))A′ j = bi ji i Ai(2.16)Такой объект A, инвариантный относительно преобразований координат:A = Ai gi = A′ j g′j(2.17)называется вектором, а компоненты A j являются контравариантнымикомпонентами этого вектора.Вектор A может иметь любую геометрическую или физическую природу,но через векторы базиса он всегда определяется разложением (2.17), гдечисла Aj зависят от системы координат. Векторы базиса gjуправляютчислами Aj и создают новый объект — вектор A.2.3.Понятие тензора.Возникает вопрос, нельзя ли по аналогии с вектором ввести какие-тоболее сложные объекты, используя подход, описанный выше.

Прежде всего,введем понятие диадного произведения двух векторов.Матричное умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт ихдиадное или тензорное произведение: a1  a1b1 a1b 2 ab =  a 2  b1 , b 2 , b3  =  a 2b1 a 2b 2a3  a 3b1 a 3b 2 a1b3 a 2b 3 a 3b3 (2.18)Другое встречающееся в литературе обозначение диадного проиведения a ⊗b .Диадное произведение линейно по каждому из сомножителей: еслиα , β , γ , δ суть скаляры, то(α a + β b )(γ c + δ e ) = αγ ac + αδ ae + βγ bc + βδ be(2.19)Диадное произведение подчиняется свойству дистрибутивности, но неподчиняется свойству коммутативности, т.е.(2.20)ab ≠ baПоаналогииможноввестидиадныепроизведениявекторовковариантного базиса {g1 , g 2 , g3} :g1g1 , g1g 2 , g1g 3 ,g 2g1 , g 2g 2 , g 2g 3 ,g 3 g1 , g 3 g 2 , g 3 g 3Компоненты диадных произведений gigj в соответствующей им системекоординат можно записать в виде матриц, состоящих из одной единицы иостальных нулей.

Например, компоненты gigj образуют матрицу0 1 00 0 00 0 0(2.21)Диадные произведения векторов базиса gigj, так же как и сами векторыбазиса gi , зависят от системы координат. Формулы преобразования величинgigj легко получить, зная формулы преобразования gi (2.13) и пользуясьсвойством линейности диадного произведения. Эти формулы имеют вид:g′mg′k = aiimi aijkigi g j(2.22)Всевозможные линейные комбинации диадных произведений образуютлинейное пространство, его элементы называются тензорами второго ранга.Базисом в этом пространстве служат диадные произведения gigj.Если векторы a и b записать через компоненты по формуле (2.15), тодиадное произведение выражается базис gigj:ab = aib j gi g j = T ij gi g j(2.23)где T ij можно рассматривать как компоненты некоторого объекта T вбазисе gigj .Потребуем,чтобыобъектTбылинвариантенотносительнопреобразования системы координат, т.е.T = T ij gi g j = T ′mk g′mg′k ,(2.24)Подставляем в эту формулу выражение для нового базиса (2.22):T ij gi g j = aiimi aijkiT ′mk gi g jДомножив это выражение на biqjibipi i , с учетом (2.11) получим:T ′mk = bimj ibiki iT ij(2.25)Таким образом, для обеспечения инвариантности при замене системыкоординат компоненты объекта T должны преобразовываться по формуле(2.25).Инвариантный объект T = T ij gi g j называется тензором второго ранга иливторой валентности.

Рангом или валентностью тензора называется числоиндексов его компонент. Очевидно, вектор есть тензор первого ранга.Компоненты тензора T ij преобразуются контравариантным образом иназываются контравариантными компонентами тензора.Как и в случае вектора A, инвариантность тензора T обеспечиваетсявзаимообратностьюпреобразованийдиадныхпроизведений(2.22)икомпонент тензора (2.25).Как следует из (2.20), вообще говоря, T ij ≠ T ji .

Если жеT ij = T ji ,(2.26)то такой тензор называется симметричным. Тензор, для которогоT ij = −T ji ,(2.27)называется антисимметричным.Тензоры одинакового ранга можно складывать и умножать начисло.Пользуясь правилами сложения и умножения тензоров на число, любомутензорувторогорангаT = T ij gi g j можнопоставитьвсоответствиесимметричный тензорTO =1 ij(T + T ji ) g ig j2(2.28)1 ijT − T ji ) g i g j(2(2.29)и антисимметричный тензорT1 =2.4.Контравариантный базисВ предыдущем разделе было введено понятие контравариантного базиса,заданного формулами (1.23), (1.29). Это понятие было введено безобъясненияназвания.Проверим,контравариантности для этого базиса.выполняютсялиправилоИз (1.29) следует, что∂ζ ki j , k = 1, 2,3 ,∂x j(2.30)∂η ii j , i = 1, 2,3∂x j(2.31)k∂η i∂η i ∂ζ ki i ∂ζij =i j = bi ki j = biiki g k , i = 1, 2,3k∂x j∂ζ ∂x j∂x j(2.32)gk =g′i =Преобразуя (2.31), получаем:g′i =Отсюда следует, что векторы базиса{g , g , g } ,123преобразующиеся спомощью обратной матрицы B, являются контравариантными.2.5.Метрический тензорВ приведенных выше рассуждениях нигде не использовалось понятиедлины.

Для определения длины вектора достаточно определить скалярныепроизведения векторов базисаg ij = g i ig j ,(2.33)g ij = g i ig j(2.34)Нетрудно показать, что матрицы gij и g ij являются взаимно обратными.Кроме того, из формулы (2.32) следует, чтоg ′km ≡ g′k ig′m = ( biki i g i )i( bimj i g j ) = biki ibimj i gi ig j = biki ibimj i g ij(2.35)Сравнивая это выражение с формулой (2.25), получаем, что матрица g ijсостоит их контравариантных компонентов некоторого тензора.Назовем этот тензор метрическим тензором g.Из определений базисных векторов gi (1.7) и g j (1.29) следует, что:gij = g i ig j =∂xk ∂xm∂x ∂xi ii = kj ki ,ji k m∂ζ ∂ζ∂ζ ∂ζ(2.36)∂ζ i ∂ζ j∂ζ i ∂ζ jg ≡ g ig =i m ii k =∂xm ∂xk∂xm ∂xmijij(2.37)Из этого следует, чтоgij g j =∂xk ∂xk j ∂xkg =∂ζ i ∂ζ j∂ζ i ∂xk ∂ζ j ∂xk ∂xk∂xi m = ki i k = ( g i ) k i k = g i im =ji∂ζ ∂xm∂ζ ∂ζ ∂xm (2.38)Т.е.

ковариантные векторы базиса выражаются через контравариантныепо формуле:g i = g ij g j(2.39)g ki g i = g ki g ij g j = δ ikji g j = g k(2.40)g k = g ki g i(2.41)Домножим эту формулу на g ki :Т.е.Формулы (2.39) и (2.41) задают связь между ковариантным иконтравариантным базисами.Если использовать обозначения { x, y, z} для координат относительноортогональнойдекартовойсистемыкоординат,адлякоординатотносительно любой произвольной системы координат обозначения {ξ , η , ζ } ,то формулы для компонент метрического тензора (2.36) примут вид:g11 = xξ2 + yξ2 + zξ2g 22 = xη2 + yη2 + zη2g33 = xζ2 + yζ2 + zζ2g12 = g 21 = xξ xη + yξ yη + zξ zη(2.42)g 23 = g 32 = xη xζ + yη yζ + zη zζg31 = g13 = xζ xξ + yζ yξ + zζ zξУсловимся обозначать через {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3} координаты относительно любойпроизвольной системы координат (втомчисле, и декартовой), а через{ x1, x2 , x3} или { x, y, z} - координаты относительно ортогональной декартовойсистемы координат.

Иногда для произвольной системы координат удобноиспользовать обозначения без индексов: {ξ , η , ζ } .2.6.Длина вектораДля определения длины вектора используются компоненты метрическоготензора.Квадрат длины вектора dr по определению будет равен2dr = dr idr = dζ i dζ j g i ig j = dζ i dζ j gij(2.43)а квадрат длины любого вектора2A = Ai A j gij(2.44)Условие инвариантности длины dr относительно выбора системыкоординат имеет вид:2′ dη k dη m = gij d ζ i dζ j = gij aiimi aijki dη k dη m ,dr = g km2.7.(2.45)Примеры метрических тензоровРассмотрим конкретные примеры.В декартовой системе координат матрица тензора g имеет вид:1 0 0g = 0 1 00 0 1ij(2.46)Квадрат длины вектора dr задается формулой:222dr = ( dx ) + ( dy ) + ( dz )2(2.47)В цилиндрической системе точка M задается координатами ( r ,θ , z ) :ξ = r, η = θ , ζ = z(2.48)Рис.4.