1.1. Основные понятия (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013), страница 2

Например, ввыраженииak = bi cki(1.16)буква i встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считаетсяэквивалентным суммеNak = ∑ bi cki ,(1.17)i =1где N - размерность пространства. Для трёхмерных задач N = 3 , длячетырёхмерных(задачитеорииотносительности)N =4ит.д.Дляобозначения индексов используют латинские буквы из середины алфавита (i, j , k , l , m, n, p, q, r ). Так же в качестве индексов могут быть использованыгреческие буквы α , β , γ .Это правило распространяется не только на алгебраические формулы, но ина дифференциальные выражения. Например, запись∂ui∂xiподразумеваетсуммированиеN∂ui∑ ∂xi =1(1.18)iВ декартовой системе координат нет разницы между индексами,находящимися внизу и вверху в компонентных выражениях.Поэтомук декартовым координатам и векторам базиса в декартовойсистеме координат можно применить соглашением Эйнштейна в форме: еслиодна и та же буква в обозначении индекса встречается два раза, то такойчлен полагается просуммированным по всем значениям, которые можетпринимать этот индекс.1.7.

Точка зрения Эйлера на изучение движения сплошной средыДвижение, с точки зрения Эйлера, считается известным, если скорость,давление, температура и другие интересующие величины заданы какфункции ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 и t.Функции v = v (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , t ) , p = p (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , t ) , T = T (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , t ) , и т. д.

прификсированных ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 и переменном t определяют изменения со временемскорости, температуры и т. д. в данной точке пространства для разныхприходящих в эту точку частиц.Таким образом, с точки зрения Лагранжа, мы интересуемся законамиизменения скорости, давления, температуры и других величин для даннойиндивидуальной точки сплошной среды, а с точки зрения Эйлера —скоростью, давлением, температурой и т. д. в данном месте.

С точки зренияЭйлера, мы выделяем некоторую область пространства и хотим знать вседанные о частицах, которые в нее приходят.1.8.Скалярные и векторные поля и их характеристикиПри изучении движения сплошной среды необходимо вводить врассмотрение скалярные и векторные величины: температуру T , давление p ,плотность ρ , скорость v и др.Совокупность значений той или иной величины, заданных в каждой точкерассматриваемойобласти,называетсяполемэтойвеличины.Еслирассматриваемая величина — скаляр, т.

е. число, значение которого в даннойточке не зависит от выбора системы координат, то поле называетсяскалярным. Примеры: температура, давление, плотность и др. Если жерассматриваемая величина — вектор, как, например, скорость, то поленазывается векторным.Если распределение скалярной величины, например, температуры T,задано с точки зрения Лагранжа T (ζ 01 , ζ 0 2 ,ζ 03 , t ) , то подсчитать изменениетемпературы T в единицу времени t для индивидуальной частицы сплошнойсреды (ζ 01 , ζ 0 2 , ζ 03 ) очень просто.

Оно будет равно производной ∂T  ∂t ζ 0i(1.19)Если же распределение температуры задано в зависимости от переменныхЭйлера T = T (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , t ) , то надо перейти от переменных Эйлера кпеременным Лагранжа(T = T (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , t ) = T ζ 1 (ζ 01 , ζ 0 2 , ζ 03 , t ) , ζ 2 (ζ 01 , ζ 0 2 , ζ 03 , t ) , ζ 3 (ζ 01 , ζ 0 2 , ζ 03 , t ) , t)(1.20)и взять производную по времени, как производную сложной функции:∂T  ∂ζ 1 ∂T  ∂ζ 2 ∂T  ∂ζ 3  ∂T  ∂T =+++12 3  ∂t ζ 0 j  ∂t ζ i ∂ζ  ∂t ζ 0 j ∂x  ∂t ζ 0 j ∂x  ∂t ζ 0 jУчитывая введенные определения компонент вектора(1.21)скорости (1.12),получаем:∂T 1 ∂T 2 ∂T 3  ∂T ∂T j ∂T  ∂T v +v =v j = i + 1v + i+23j∂ζ∂ζ ∂t ζ 0  ∂t ζ ∂ζ ∂t ζ ∂ζ∂TПроизводная   ∂t ζ 0 j(1.22)характеризует изменение температуры со временем вданной точке сплошной среды и называется индивидуальной, илисубстанциональной, или полной производной температуры T по времени t.Она часто обозначается символомdT.

Производнаяdt ∂T  характеризует ∂t ζ iизменение температуры T в единицу времени в данной точке пространства(ζ1, ζ 2, ζ 3 ) .Она называется местной или локальной производной иобозначается∂TdT. В общем случае индивидуальная производнаяне равна∂tdt∂T, а отличается от нее на величину, зависящую от движения∂tместнойчастицы и называемую конвективной производной.1.9. Контравариантный базисИмея базис {g1 , g 2 , g3} , мы можем сформировать в точке P системуконтравариантныхбазисныхвекторов{g , g , g } ,123используядляихопределения систему уравненийgi ig j = δ ii ij ,(1.23)где точкой обозначено скалярное произведение векторов, δ ii ij - символКронекера, определяемый как1, i = j0, i ≠ jδ ii ij = (1.24)По правилам скалярного умножения (см.

формулу (1.14) ):g i ig j = ( g i ) ( g j ) + ( g i ) ( g j ) + ( g i ) ( g j ) ,1231где(g )ik- компоненты23(1.25)вектора gi в базовой декартовой системекоординат.С учетом того, что по определению(g )j k∂xk, k = 1, 2,3 ,∂ζ j=получаем:δ ii ij ≡ gi ig j = ( gi )1∂x3∂x1∂x2+ ( gi )+ ( gi )jj23∂ζ∂ζ∂ζ j(1.26)С другой стороны, очевидно, что∂ζ i ∂ζ i ∂xk ∂ζ i ∂x1 ∂ζ i ∂x2 ∂ζ i ∂x3δ ===++∂ζ j ∂xk ∂ζ j ∂x1 ∂ζ j ∂x2 ∂ζ j ∂x3 ∂ζ jiiij(1.27)Сравнивая выражения (1.26) и (1.27), получаем:(g )ik∂ζ i, k = 1, 2,3=∂xk(1.28)Отсюда мы получаем, что вектор gi в декартовой системе координатопределяется какgi =∂ζ i∂ζ i∂ζ ii1 +i2 +i 3 , i = 1, 2,3∂x1∂x2∂x3(1.29)Можно показать, что справедливы следующие формулы:g1 =g2 × g3g ×gg ×g, g 2 = 3 1 , g3 = 1 2 ,VVV(1.30)где V = g1 i( g 2 × g3 ) - объем параллелепипеда, построенного на векторахg1 , g 2 , g 3 (см.

рис.3).Рис. 3. Параллелепипед, построенный на базисных векторахТакимобразом, вектор g1 перпендикулярен векторам g 2 , g 3 , которыеявляются касательными к координатным линиям ζ 2 , ζ 3 соответственно.Следовательно, вектор g1 расположен на нормали к поверхности, на которойкоордината ζ 1 постоянна.Упражнение. Доказать формулы (1.30).1.10.Операторнабла,градиентскалярнойвеличины,дивергенция вектора, ротор вектора.Формулу (1.29) можно записать в формеgi =∂ζ i∂ζ i∂ζ ii1 +i2 +i 3 = ∇ζ i ,∂x1∂x2∂x3(1.31)где через ∇ обозначен так называемый векторный дифференциальныйоператор набла или оператор Гамильтона:∇ = i1∂∂∂∂+ i2+ i3= ii∂x1∂x2∂x3∂xi(1.32)Используя этот оператор, удобно задать в декартовой системе координаттакие важные векторные функции как:градиент скалярной величины T:grad T = ∇T = i i∂T,∂xi(1.33)дивергенция векторной величины V:div v = ∇iv =∂ui∂xi(1.34)и ротор (или вихрь) векторной величины vi1i2i3 ∂u ∂u  ∂u ∂u  ∂u ∂u ∂∇ × v =  3 − 2  i1 +  1 − 3  i 2 +  2 − 1  i 3 =∂x1 ∂x1 ∂x2  ∂x2 ∂x3  ∂x3 ∂x1 u1∂∂x2∂∂x2u2u3(1.35).