Руководство к решению задач по операционному исчислению

ДОРОХОВ В.М.РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ОПЕРАЦИОННОМУИСЧИСЛЕНИЮМОСКВА, 2014ПРЕДИСЛОВИЕВ настоящем учебном пособии изложены теоретические основы операционного исчисления. Излагаются методы решения задач. Подробно решена 31задача.Пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающихпреобразование Лапласа, и для преподавателей вузов.2ОГЛАВЛЕНИЕ1.2.3.4.5.6.7.8.9.Оригинал и изображение. Преобразование Лапласа.Теорема существования изображения.Свойства преобразования Лапласа.Свертка функций. Теорема умножения изображений.Теоремы дифференцирования и интегрирования оригинала.Теоремы дифференцирования и интегрирования изображений.Нахождение оригиналов по их изображениям.Примеры приложений преобразования Лапласа.Таблица. Оригиналы и их изображения.3§ 1.

ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.Определение 1. Оригиналом называется комплексная функция f(t) действительной переменной t, удовлетворяющая условиям:а) f(t) –непрерывная функция вместе со своими производными достаточновысокого порядка на всей оси t, за возможным исключением конечного числа точек конечного разрыва на каждом интервале конечной длины;б) f(t) = 0 при t < 0;в) существует число М > 0 S0  0, такие что для любого tS t,(1)f (t ) < M eто есть f(t) является функцией ограниченного роста. S0 - показатель ростафункции.0Из этого определения следуют выводы:1). Из условия (а) вытекает, что оригинал ни при каком значении t не обращается в бесконечность. Исходя из этого функции 1t , tg t не являются оригиналами.2).

Условие (б) практически не является ограничительным, так как при решении практических задач интересующие нас значения t начинаются с момента, данного в начальном условии. А за такой момент всегда можно принять t = 0.3). Условие (в) требует, чтобы при t   функция f(t) была ограниченаили стремилась к бесконечности не быстрее показательной функции.Простейшей функцией-оригиналом является единичная функция1, при t  0,(t )   0, при t  0.Умножение любой функции (t ) на (t ) ”гасит” эту функцию приt < 0.

Если функция (t ) удовлетворяет условиям (а), (в) и не удовлетворяетусловию (б) определения 1, то произведениеf(t) =(t ), при t  0,(t )  (t )   0, при t  0.будет оригиналом.Для простоты будем опускать множитель (t ) , условившись, что все функции, которые будут рассматриваться, обращаются в ноль при t < 0.Определение 2. Изображением функции f(t) (по Лапласу) называетсяфункция комплексной переменной p  s  iv , определенная соотношениемF ( p)= f (t )e pt(2)dt.04 f (t )eИнтеграл ptназывается интегралом Лапласа.dt0Определение 3. Операция перехода от оригинала f(t) к изображению F ( p)называется преобразованием Лапласа и обозначается L f(t) = = F ( p) или f(t) F ( p)Теория преобразования Лапласа называется операционным исчислением.Схема применения операционного исчисления состоит в следующем:1.

Переходим от данных функций к изображениям.2. Совершая простые операции над изображениями, находим изображениеискомой функции.3. По найденному изображению искомой функции находим оригинал.Эта схема реализуется с помощью таблиц оригиналов и их изображений,которые составлены на основе их определения интегралом Лапласа или с помощью теорем операционного исчисления.Приведем примеры непосредственного получения изображений.Пример 1.

Найти изображение единичной функции1, при t  0,(t )   0, при t  0., удовлетворяющей определению оригинала.L (t )   eη (t) ptb11dt  lim eb0 ptdt  limb0e ptpb0t0Итак:1 11  1 = lim 1  pb   .pb bppe  e  pПри Re p > 0 1pb  0 при b  .e1= blim  p(t ) 1pпри Re p = Re(s + i v) = s > 0.Пример 2. Найти изображение функции f(t) = еqt, где q – комплексное число.L еqt =e ptqt e dt  e0= pq tb011 1lim 1 .p  q b  e  pq b  p  qИтак:qte 1pqbdt  lim e pq t p q tbeb   p  q dt  lim00При Re p > Re q1e pq b  0приb  .при Re p > Re q.Пример 3.

Найти изображение функции f(t) = cos mt, где m – действительное число.L cos mt = L  e=imte2imt  1imt pt imt1   p1 imte  e dt  e  e dt   [L(e2200 1  pt imt imtdt  2 e e e0) + L(e-imt)] = = 12  p 1im  p 1im  =5p2p q2.Итак:cos mt p2p q, если2m R.Вывод: Нахождение изображения сводится к вычислению интегралаЛапласа, являющегося несобственным интегралом. Поэтому существованиеизображения связано со сходимостью несобственного интеграла.Исходя из этого возникает вопрос: если f(t) оригинал, то в какой частикомплексной плоскости функция F(p) определена, то есть, в какой областиинтеграл Лапласа сходится?§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ.Теорема. Для всякого оригинала f(t) изображение определено в полуплоскости Re p > S0, где S0 - показатель роста f(t), и является в этой полуплоскости аналитической функцией.Доказательство.

p = s + i  .σе ptf (t )dt.Оценим модуль интеграла:0e ptf (t )dt 00SoS=e st pteiteeИтак: pt<f (t )dt0 pt stТак как f (t ) dt.cos t  i sin t  e f (t ) dt <est M eS 0t stf (t )  MeS 0tи2Ms  S02cos t  sin t  edt  M e00M1 Mlim 1  ( sS )b  s  S0 b  e 0  s  S0ee pte( s i)t=0e=1 часть. F(p) =( s S 0 )t0dt st,то( s S 0 )te= M blim  ( s  S0)b0при Re p = s > S0.при Re p = s > S0.Полученное неравенство означает, что интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости Re p = s > S0 , а поэтому в этой полуплоскости существует изображение F(p).2 часть: Докажем теперь, что F(p) является аналитической функцией в полуплоскости Re p > S0.F(p) =e( s i )tf (t )dt ==e0ststf (t )  eit00ef (t ) cos tdt  i estdt  estf (t )(cos t  i sin t )dt 0f (t ) sin tdt .0Отсюда: F(p) = U(s,  ) + i V(s,  ), где U(s,  ) =e06stf (t ) cos tdt , eV(s,  ) =stf (t ) sin tdt .0Необходимым и достаточным условием того, что F(p) = U(s,  ) ++ i V(s,  ) является аналитической в полуплоскости Re p > S0, является выполнение условий Коши-Римана: Us  V ; U   Vs .Проверим эти условия:V=  [estUsf (t ) sin t ]dt0 te==0f (t ) cos tdtU Vs Сравнивая, заключаем, чтоVsst–  test f (t ) cos tdt0.00Аналогично: st[e f (t ) cos t ]dt =sU0.st st[e f (t ) cos t ]dt =  te f (t ) sin tdt .0 st[e f (t ) sin t ]dts= testf (t ) sin tdt .0UVsСравнивая, заключаем, чтоИтак, для функции F(p) =е ptf (t )dt.в полуплоскости Re p > S0 выполняются0условия Коши-Римана.

Значит в этой полуплоскости F(p) является аналитической функцией.Следствие. Если F(p) является изображением, то F(p)  0 приRe p  S0   .Доказательство. Из доказанной выше теоремы | F(p) | < s MS при0Re ps > S0. Пустьs  ,тогдаM 0,s  S0значитlimsF(p) = 0.Замечание. Это следствие является необходимым условием существования F(p), но не является достаточным.Пример. Функция е–р  0 при s   . Но не существует функции f(t) длякоторой е–р является изображением.§ 3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.10. Свойство однородности. f(t)  Теорема 1.

Если f(t)  F(p), тогдеF(p),- любое комплексное число.Доказательство. F(p) =е ptf (t )dt .L[  f(t)] =е007 ptf (t )dt =е= ptf (t )dt=F(p).0Итак, при умножении оригинала на  = const, его изображение также умножается на  .20. Свойство линейности.Теорема 2. Если f(t)  F(p) и (t )  ( p), тоf(t) + (t )  F ( p)  ( p).Доказательство.

L [f(t) +(t ) ]=е pt[ f (t )  (t )]dt=0+е pt(t )dt=е ptf (t )dt+0F ( p)  ( p).0Итак, сумме оригиналов соответствует сумма изображений.Замечание. Применяя свойства однородности и линейности преобразования Лапласа, можно находить изображения оригиналов.Пример 4. Найти изображение функции sin mt, где m  R.Решение. Так как sin mt =eimte2iimt,то L [sin mt] = L eimt  e imt =2iimtimt11 11  1 2immLe  Le .2i2i  p  im p  im  2i p 2  m 2 p 2  m 2Итак, sin mt  2 m 2 , где m  R.p m=Пример 5. Найти изображение функции sh te, следовательно2L e t ] = 12  p 1   p 1    22 2  2  2 . 2 p p Итак: sht  2 2 .p Решение. sh–tt =echt p22p L [sht ]=12[Let–Аналогично можно показать, что L [chто есть,t .t ]=L e t  e t p, 222 p  .Пример 6.

Найти изображение функции f(t) =22sin 5t  sin 4t.3Решение. Сначала преобразуем заданный оригинал, используя формулы8t 21 1 sin 5t   cos 8t.тригонометрии: f(t) = 23 sin 5t  1 cos232 2Тогда L f(t) = L 2 sin 5t  1  1 cos 8t   2 L 3 32 2(sin 5t) –12L(1) +Используя ранее выведенные формулы, получим:L f(t) =Итак:p251 1 1   .3 p 2  25 2 p 2 p 2  64p22101sin 5t  sin 4t .2233 p  25 2 p 2 p  64812L(cos8t).30 свойство. Теорема подобия.Теорема 3. Если f(t)  F(p), то для любого постоянного  > 0f (t ) 1  pF  . Доказательство.

Lf( t ) =  е  pt f (t )dt . Сделаем в интеграле замену перемен0ной:udut  u; t  ; dt  .Границы интеграла не изменятся.Получим: Lf( t ) =  е  pt f (t )dt =0=ep uf (u )0du=1ep uf (u )du =01  pF  . Итак:f (t ) 1  pF  , где  > 0.40 свойство. Теорема запаздывания. (Правило сдвига оригинала).Теорема 4. Если f(t)  F(p), то f (t  )  e p F ( p) для любого комплексного  .Доказательство. L f (t  ) =e ptf (t  )dt.Проведем замену переменной в ин-0теграле:=e p ( y  ) p ( y  )+edt = dy, tн = 0, ун = –  , tв = yв =t    y, t    y,0f ( y )dy =e p ( y  )=.Тогда L f (t  )f ( y )dy +f ( y )dy =0+0e py  p0ef ( y )dy = e pe pyf ( y )dy = e pИтак, f (t  )  e p F ( p) , при  > 0,то есть, включение оригинала с запаздыванием нанию изображения на e  p .Замечание 1.0e p ( y  )F ( p).0f ( y )dy обращаетсяравносильно умноже-в ноль, так как при отрицательныхзначениях аргумента оригинал равен нулю.Замечание 2.

Правило сдвига оригинала удобно применять при нахождении изображений функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями. Примерами таких функций являются ступенчатые функции. Эти функции являются кусочно-постоянными и их можно строить, используя единичную функцию.Пример 7. Найти изображение функции, заданной графически:f(t)Решение. С помощью единичной функции10τt1, при t  0,(t )   0, при t  0.данную функцию можно задать аналитически следующимобразом:f (t )  (t )  (t  ).Действительно:1). На (–  , 0) (t )  0;(t  )  0  f (t )  0.92). На (0,  ) (t )  1; (t  )  0, так как t <  и поэтомуОтсюда f (t )  1 – 0 = 1.3).