Руководство к решению задач по операционному исчислению, страница 4

ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.Общая схема приложения преобразования Лапласа.Пусть требуется найти функцию f(t) действительной переменной из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производной и интеграла. Операционный метод решения этих задач сводится к четырем последовательным шагам:1). От искомой функции f(t) переходят к изображению F(p).2). Над функцией F(p) производят операции, соответствующие заданнымоперациям над f(t), то есть вместо данного уравнения получают операторноеуравнение.3). Полученное операторное уравнение решают относительно F(p).4). От найденного изображения F(p) переходят к функции f(t), которая иявляется искомой функцией.1.

Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.Дано уравнение a0 y (n)  a1 y (n1)  a2 y (n2)  ... an y  f (t )(1)( n1)( n1)с начальными условиями y(0)  y0 ; y(0)  y0 ; …; y (0)  y0 .Найти y  (t ) – частное решение уравнения (1).23Решение: Для решения уравнения будем считать, что a0  0 и функции f (t ) и(t ) вместе со своими производными являются оригиналами.Применим схему приложения преобразования Лапласа:1).

Обозначим: f (t )  R( p) и (t )  F ( p).2). По правилу дифференцирования и свойству линейности изображениявместо уравнения (1) с учетом начальных условий получим операторноеуравнение:n1nn1(a0 p  a1 p  ... an ) F ( p)  R( p)  y0 (a0 p  a1 pn2n3( n1) y  (a p  a p  ... a )  ... a y.001n2n2 ... an1 ) 0 0Введем обозначения A( p) и B( p) :A( p)  F ( p)  R( p)  B( p) – операторное уравнение (алгебраическое относительноF ( p) ).3). Решаем операторное уравнение:F ( p) R( p )  B( p ).A( p)4). По изображению F ( p) находим y  (t ) – частное решение уравнения (1).Эту схему решения дифференциального уравнения можно показать в видеблок-схемы:ПространствооригиналовПространствоизображенийДифференциальноеуравнениес начальнымиусловиямиРешениедифференциальногоуравненияПрямоепреобразованиеЛапласаОбратноепреобразованиеЛапласаАлгебраическоеуравнениеотносительно F(p)Решениеалгебраическогоуравнения F(p)24Пример 27.

Найти частное решение уравненияначальных условиях.Решение:1). Пустьтогдаy  F ( p),y  2 y  2 y  etпри нулевыхy  pF ( p),2y  p F ( p),t1e .p 12). Подставив эти изображения в уравнение, получим:21– операторное уравнение.p F ( p)  2 pF ( p)  2F ( p) p 13). Решаем операторное уравнение:2F ( p)( p  2 p  2) F ( p) 1p 112( p 1)( p  2 p  2).4). Находим оригинал для данного изображения:F ( p) 11.p 1 ( p 1) 2  1Применив теорему произведения изображений т теорему сдвига изображений, получим:ttf (t )  e  e  sin t.Определим свертку функций:tttue  e  sin t   e  et u0=ttf (t )  2 sintt00e (cos 0  cos t )  e (1  cos t )  2 sinИтак:ttsin(t  u )du  e  sin(t  u )du  e cos(t  u ) 2t te22t te .2есть частное решение данного дифференциального урав-нения.Пример 28.

Решить уравнение y  y  sin 2t  0 при y() 1; y() 1.Решение: При переходе к операторному уравнению возникает трудность,заключающаяся в том, что в изображение y будут входить начальные условия искомой функции и ее производной не в точке t   , а в точке t  0. Чтобыобойти эти затруднения, применим следующий прием:Будем считать, что решение данного уравнения есть функция с запаздыванием на . Поэтому найдем решение y() до включения функции с запаздыванием, а затем полученное решение сдвинем на  вправо.Тогдаy(0)  y() 1y(0)  y() 11). ПустьТогдаy  F ( p).22y  p F ( p)  py(0)  y(0)  p f ( p)  p 1.2sin 2t  2.p 42). Составляем операторное уравнение:2p F ( p)  p  1  F ( p) 20p 42253). Решаем операторное уравнение:2F ( p)( p  1)  p  1 F ( p) p2p 12p 4212 222p  1 ( p  1)( p  4)4).

Находим оригинал y  f (t ) по данному изображению. Для упрощения решения последнюю дробь разложим на простейшие:Ap  B Cp  D2 2 222( p  1)( p  4) p  1 p  4222  ( Ap  B)( p  4)  (Cp  D)( p  1)322  p ( A  C )  p ( B  D)  p(4 A  C )  (4B  D)Сравнивая коэффициенты, получим: AC 0 B D04 A  C  04 B  D  0 A0 B 23 C 02D  32222222( p  1)( p  4) 3( p  1) 3( p  4)Отсюда: F ( p)  2p  21  22  22 p  1 p  1 3( p  1) 3( p  4)p12 222p  1 3( p  1) 3( p  4)Значит f ()  cos   13 sin   13 sin 2.Итак:Произведя сдвиг на вправо, получим:1111f (t )  cos(t  )  sin(t  )  sin(2t  2)   cos t  sin t  sin 2t.333311Ответ: f (t )   cos t  3 sin t  3 sin 2t.Пример 29.

Найти при t > 0 решение уравнения1, если 0  t  2y  y  0, если t  2 при нулевом начальном условии.Решение: График правой части уравнения есть ступенька.2 pyПоэтому изображение этой функции будет равно1(смотри решение примера №7). Операторное уравнение имеет вид:02tpF ( p)  F ( p) Отсюда:F ( p) 2 p1 ep2 p1 e.p( p  1)По полученному изображению найдем оригинал:F ( p) Разложим2 p11e .p( p  1) p( p  1)1на простейшиеp( p  1)1AB p( p  1) p p  1дроби:26( p) 1 ep1  A( p 1)  BpA  B  0 A 1 A 1 B  1t111 1  ep( p  1) p p  1Следовательно:2 p  1(t 2)11  2 pe 1  eep( p  1) p p 1 (Применили теорему сдвига оригинала приИтак:=tf (t )  (1  e )  (1  e 1  e t t 2e (e  1)припри(t 2)t 1 e ,)(t  2)   t (t 2) если 0  t  2 =, если t  2 e  e0t 2t  2.Ответ: f(t) = 1  e t t 2e (e  1)f(t)10t  2 ).2tприпри0t 2t  2.График этой функции – непрерывная кривая,имеющая угловую точку при t = 2.Замечание: Указанный выше метод можно также применить к определению общего решениядифференциального уравнения.Пример 30.

Найти общее решение уравненияРешение:1). y  pF ( p)  y(0).2). pF ( p)  y(0)  F ( p)  0y(0)C.p 1 p 13).F ( p) 4).tCC e .p 1Ответ:y  y  0.y C et– общее решение данного уравнения.2. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами.Применение операторного метода к одному дифференциальному уравнению приводит к линейному алгебраическому уравнению относительно изображения искомой функции. Используя этот метод для решения системы таких уравнений, мы сведем ее решение к решению системы алгебраическихуравнений относительно изображений искомых функций.Пример 31. Решить системуРешение:1). Пусть y  3z  ytz  y  z  ey(t )  F ( p)z (t )  ( p).Тогдаy(t )  pF ( p)z(t )  p( p)27, еслиz (0)  0,y (0)  0.te 1.p 12).

Переходим в пространство изображений.pF ( p)  3( p)  F ( p) p( p)  F ( p)  ( p)  1p 1F ( p)( p  1)  3( p)  0 F ( p)  ( p)( p  1)  1p 13). Решаем систему операторных уравнений по правилу Крамера:0331p 1  p 1p 1F  Отсюда:p 1  32 p 41 p 1p 10p 1.1 p 1p 1132( p 1)( p  4)p 1( p) .2( p  1)( p  4)F ( p) 4). Для полученных изображений находим оригиналы.F ( p) 3;( p 1)( p  2)( p  2)( p ) p 1.( p 1)( p  2)( p  2)Используем вторую теорему разложения Хевисайда.p1 1; p2  2; p3  2 – простые полюса.2F1 ( p)  p  1F1(p) = 3F2 ( p)  3 p  2 p  4F1 (1)  3F1 (1)  2F2 (1)  3F1 (2)  3F1 (2)  3F2 (2)  4F1 (2)  3Так какF1 (2)  1F1 ( pk ) p k tek 1 F  ( p )3f (t )  2kиF2 (2) 12F1 ( pk ) p k teFk 1 2 ( pk )3(t )  , тоt3 2t 1 2ty  f (t )  e  e  e442 t 3 2t 1 2tz  (t )   e  e  e .3412Таким образом мы получили частное решение данной системы.28Таблица .

Оригиналы и их изображения.Оригинал1eИзображение1p1pa22p patsin tcos tshtchtatsin tatcos teeeateat2222p 22p pp 22( p  a)  pa22sin(t  )( p  a)  cos   ( p  a) sin cos(t  )( p  a)  ( p  a) cos   sin ttnnt eatt sin t2222( p  a)  12pn!n 1pn!n1( p  a)2 p22 2(p  )22t cos tp t sht(p  )2 p22 222 2( p  )2p t cht222 2( p  )29ЛИТЕРАТУРА1. Пискунов Н.С.

Дифференциальное и интегральное исчисление.Т.2. М.,Наука. Любой год издания.2. Диткин В.А. Прудников А.П. Операционное исчисление. М., Высшаяшкола. 1966г.3. Жевержеев В.Ф., Кальницкий Л.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для втузов. М., Высшая школа. 1970г.4.

Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука.1968г.5. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М., Высшая школа. 1968г.6. Шелковников Ф.А., Такайшвили Л.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению. М., Высшая школа. 1968г.30.