Руководство к решению задач по операционному исчислению (1013271), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

На (  , +  ) (t )  1; (t  )  1  f (t )  1 – 1 = 0.L f (t )  L [(t )  (t  )] = L (t ) – L (t  ) =Итак :f (t ) t  <0. p1  p 1 1  ee  ppp. p1 ep.Пример 8. Найти изображение функции1, при 0  t  a;f (t )  2, при a  t  2a;1, при 2a  t  3a;0, при t  3a.Решение. Построим график заданнойфункции.f(t)2Используя единичную функцию, зададим f (t ) в виде одного аналитическоговыражения.10a2at3af (t )  [(t )  (t  a)]  2[(t  a)  (t  2a)]  [(t  2a)  (t  3a)].Раскрывая скобки, получим:f (t )  (t )  (t  a)  (t  2a) (t  3a). pа1 eppОтсюда: L f (t )  L (t ) + L (t  а) – L (t  2а) – L (t  3а) =–e2 pаp–Итак:e3 pаpf (t ) =1p1p(1+(1 +ee ap ap–e) (1 –2 ape–2 ape3ap1p)=(1 +e ap) (1 –e–2 ap).).Замечание 3.

Правило сдвига оригинала применяется также при определении изображений периодических оригиналов. Пусть f (t ) = f (t  Т )f(t)иf (t )  F(p).Тогда F(p) =е ptf (t )dt=0T=  е  pt f (t )dt +02T0T2T3T4Tt+  е  pt f (t )dt +T3T+  е  pt f (t )dt + … =2T ( n1)T pt en0f (t )dt.ПроведемnTзамену переменных в интеграле: U = t – nT; dU = dt; Uн = 0; Uв = T. ТогдаF(p) =10 T=e p (U  nT )T=  e  pnT  e  pU f (u)dUn 0f (U  nT )dU0 n0 0T0n0n0=  e  pU f (U )dU  e  pnT = (здесь  e  pnTпостоянная величинаесть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, так какe pnTe ST1)Итак, если==1 pT1 eTe pUf (U )dU0f (t ) = f (t  Т ), то.TПример 9.

Найти pU1ef (U )dU pT1  e функцииизображениеf(t)0f (t ) = |sin 2t|.Решение. Данная функция периодическая с периодом Т =  .f(t)1π02π3πtНайдем изображение этой функции |sin 2t|= pt1e sin 2tdt = p1 e0 p12 21 e. p1 ep 4Итак:|sin 2t| p12 21 e. p1 ep 45 свойство. Теорема смещения (правило затухания).Теорема 5. Если f(t)  F(p), то et f (t )  F ( p  ) при Re p > S0 + Re  ,где  - любое комплексное число.Доказательство.

L( et f (t ) ) =e ptt e f (t )dt =0e( p  )tf (t )dt =0= F(p –  ) Так как интеграл Лапласа сходится на полуплоскостиRe p > S0, то в данном случае Re( p –  ) > S0,, следовательно ,Re p – Re  > S0 или Re p > S0 +Re  .Замечание. Теорема смещения дает возможность определить изображениепроизведения показательной функции на оригинал, изображение которогоизвестно.Пример 10. Найти изображение функций e t sin mt; e t cos mt.Решение. Известно: sin mt  2 m 2 ; cos mt  2 p 2 .p mp mПрименив правило затухания, получим:tme sin mt . et cos mt  p 2 2 .22 p    m p    m11Пример 11.

Найти изображение функцииРешение.=tcht ttte e,2тогдаf (t )  cht  cos t.f (t )  cht  cos t =te e1 t cos t  e cos t  e cos t .22Применим теперь свойства однородности, линейности и теорему смещеp 1 1  p 1=f (t )  cht  cos t  22   p 1  1  p  12  1 1  p 1 p 2  2  2 p   p  1 p 2  2  2 pp 1p 11 2 222  p 2 2p p 2 2p 222p 2 4pния.

Получим:=3=3p1 2p.2 p4  4 p4  4f (t )  cht  cos t Итак:p43p 4.§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ.Определение. Сверткой функцийΨ(t), определяемая равенствомf (t ) и (t )называется функцияt(t )   f (u )  (t  u )du.0Обозначение:  f  t  функция f (t ) свернута с функцией (t ) .Пример 12. Найти свертку функций f (t ) = sin t и (t ) =cos 3t.Решение.t f  t   sin u  cos 3(t  u)du =0==12tt0sin(u  3t  3u )  sin(u  3t  3u )du =2 sin3t  2u   sin4u  3t du =01  cos 3t  2u  cos 4u  3t   =2 240t1  cos t cos t cos 3t cos 3t  1 cos t  cos 3t .2  2424  81Итак:sin t  cos 3t  cos t  cos 3t .860 свойство.

Теорема умножения изображений.Теорема 6. Если f (t )  F ( p) и (t )  ( p), то ( f  )t  F ( p)  ( p), то есть умножение изображений равносильно свертыванию оригиналов.tДоказательство. Пусть ψ (t )   f  t   f (u)  (t  u)du. Покажем сначала, что0ψ(t) также является оригиналом. Для этого надо проверить выполнимостьтрех условий определения оригинала:1). ψ(t) – непрерывная функция для всех t , так как является первообразнойфункцией.122). ψ(t) = 0 при t < 0, так как f (t ) и (t ) обращаются в ноль при t < 0, а значити интеграл от их произведения также равен нулю.3).

Покажем, что ψ(t) есть функция ограниченного роста. Пусть S0 –наибольший из показателей роста функций f (t ) и (t ) , тогдаttf (u )  (t  u )du  M e0S 0ueS 0 (t u )tdu  M e0Так какtlimt  e t limS0tdu  MeS 0t t.010t  e tпри  0,то функцияf (t ) =t стремится к бесконечно-сти не быстрее показательной функции, то есть t <t f (u)  (t  u)du  Me( S 0  ) tили(t )  Me( S 0  )teS 0t, где0.Итак:, значит ψ(t) есть функция ограниченного0роста.Так как ψ(t) =  f  t является оригиналом, то можно найти ее изображение.L ψ(t) =e pt(t )dt 0e pt0tdt f (u )(t  u )du.0Это двукратный интеграл, который распространен на сектор (t, u), заштрихованный на чертеже.

Так как рассматриваемый интеграл сходится абсолютно,то можно поменять порядок интегрирования в двукратном интеграле. Получим:UU=te pttdt f (u )(t  u )du =00=f (u )du e0 pt(t  u )dt .uВо внутреннем интеграле произведем заме0ну переменных:t – u =  ; dt = d  ;  н = 0;  в = +  .В результате получим:tf (u )du e0 pt(t  u )dt =u=f (u )e puf (u )du e0du e0 p p ( u )()d =0()d = F ( p)  ( p).0 f  t =Итак:t f (u)  (t  u)du  F ( p)  ( p).0Пример 13.

Найти изображение свертки функцийРешение.1 способ. f  t =2ttcht  e  chu  e0=2(t u )tdu 0ue e2tue2(t u )du t2t u2t 3u t 1 t2t1 2t u 2t 3u1 ee11 2teedu    e  e  e  e  22  1 3  2 330013f (t )  chtи(t )  e2t.1  4 2t 1 t t e  e  e .2  33=p1  4 2t 1 t t  1  4 11 11 e  e e      2.2  3323p23p1p1 p  1  p  2способ. cht  2p ; e 2t  p 1 2 .p 1Тогда2Тогда2tcht  e pp1 2.p2p 1p  1  p  22Пример 14. По заданному изображениюРешение.Так какcos t F ( p) p2p 12pp 122sin t ;му умножения, получим:tt00p2pp 122найти оригинал.1.p 1 p 12=F ( p) 21,p 12pто используя свойство однородности и теоре-2p 1222 2 cos t  sin t = 2 cos u  sint  u du  2 sin(t  u  u) 2 sin(t  u  u) du t=  sin t  sin(t  2u)du  u  sin t t0  cos(t2 2u)02pИтак:p 122t t sin t 0cos t cos t t sint.22 t  sin t.§ 5.

ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯОРИГИНАЛА.Теорема 7. Если f(t) непрерывная дифференцируемая функция на(0,  ) и если f (t ) - оригинал, то из выражения f (t )  F ( p) следуетf (t )  pF ( p)  f (0) , где f (0)  lim f (t ) .t0Доказательство. L f (t )   e  pt  f (t )dt 0bb  ptb pt pte f (t )  p e f (t )dt   p lim e f (t )dt = blimb 000 f (b)f (b) f (0)  pF ( p)  f (0). Здесь lim pb  0 ,+ blimb e  e pb pt ptdtu edu   pedv  f (t )dtv  f (t )b lim eb ptf (t )dt 0так какf (t ) -функция ограниченного роста.Итак:f (t )  pF ( p)  f (0)Следствие. Если f (t ) - функция, непрерывная в точке t = 0, то естьlim f (t )  lim f (t )  f (0) , то f (t )  pF ( p).t 0t 014Теорема 7 . Если f (t ) n раз непрерывно дифференцируемая функция на( n)(0, ) и если f (t ) - оригинал, то из выражения f (t )  F ( p) следует( n)nn1n2( n1)f (t )  p F ( p)  p f (0)  p f (0)      f(0) .Доказательство.f (t )  pF ( p)  f (0)Так как f (t )   f (t ) , то применим теорему 7 к функции f (t ) :2f (t )   f (t )   p pF ( p)  f (0) f (0)  p F ( p)  pf (0)  f (0).2f (t )   f (t )  pp F ( p)  pf (0)  f (0) f (0) = p3 F ( p)  p 2 f (0)  pf (0)  f (0).Повторяя эту операцию, получим формулу:f( n)n(t )  p F ( p)  pn1f (0)  pn2f (0)      f( n1)(0)Эта формула утверждает, что операция дифференцирования в пространстве оригиналов сводится к операции умножения на степень комплексногочисла р в пространстве изображений и прибавления к произведению многочлена, членами которого являются предельные значения функции и ее производных.Следствие.

Если f (n1) (t ) непрерывная функция в точке t = 0, то( n)n( n1)( n1)lim f(t )  lim f(t )  f (0) и f (t )  p F ( p) .t 0t 0Пример 15. Ранее было установлено, чтоpcos mt 2p m2.Выведем теперь эту формулу, используя теорему дифференцированияоригинала.Так как= 1 sin mt   cos mtmиsin mt m22p m, то 1 sin mt  m 1p1mm sin(0)   p  2 2.p22m  p 2  m2mp mp mcos mt Теорема 8. Еслиf (t )  F ( p) ,тоt f (u)du 0F ( p),pто есть при интегрированииоригинала изображение надо поделить на р.Доказательство. Еслиf (t ) -t f (u)du  (t ) - также ориги-оригинал, то0нал.Действительно:1). (t ) - кусочно-непрерывная функция для всех t как первообразная откусочно-непрерывной функции.2).

Приt 0f (t )  0иt f (u)du  0 , значит(t )  0 .03). Так как=S uMe 0S0t0f (t )  MeM S0te 1 .S0S 0t, то(t ) ttt000 f (u)du   f (u) du   MeЗначит функция(t ) -15S 0udu =функция ограниченного роста.Так как (t ) - оригинал, то существует изображение этой функциито есть(t )  p( p)  (0)  p( p) , так как(t )  ( p) , тогда( p) ,0(0)  f (u )du  0.0tНо с другой стороны (t )   f (u)du   f (t ) . 0сюда F ( p)  p( p). Или ( p)  F (pp) .t f (u)du Или0F ( p)pЗначит L (t )  Lf(t) = = F(p).

Характеристики

Список файлов книги