L-15-Autmn2017 (Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
ª ª ª (15.4) ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ 3-© á⥯¥¨, â®®¤¨ ¨§ ¥£® ª®à¥© | ¢¥é¥á⢥ë©. ¡®§ 稬 ¥£® λ1 . ®£¤ ¯® «¥¬¬¥ 15.2 ¬ë¨¬¥¥¬ λ1 = ±1. § å®à®è® ¨§¢¥á⮩ ý®á®¢®© â¥®à¥¬ë «£¥¡àëþ ¢ë⥪ ¥â, çâ®0 = −λ3 +(a11 +a22 +a33 )λ2 +bλ+det A = −(λ−λ1 )(λ−λ2 )(λ−λ3 ),λi ∈ C, i = 1, 2, 3.(15.5) ᫨ ¬ë à áªà®¥¬ ᪮¡ª¨ ¢ (15.5) ¨ ¯à¨à ¢ï¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®íää¨æ¨¥âë¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå á«¥¢ ¨ á¯à ¢ , â® ¯®«ã稬λ1 λ2 λ3= b3 = det A = 1.(15.6) ᫨ ç¨á«® λ2 | ª®¬¯«¥ªá®¥, â® λ3 = λ2 (ç¥àâ ᢥàåã | ª®¬¯«¥ªá®¥ ᮯà殮¨¥), ¨ ¯®í⮬ã λ2 λ3 = |λ2 |2 .
«¥¤®¢ ⥫ì®, ãç¨âë¢ ï (15.6), ¬ë ¨¬¥¥¬ λ1 |λ2 |2 =1 ⇒ λ1 = 1. ᫨ ¦¥ λ2 , λ3 ∈ R, â® ¬ë ¨¬¥¥¬ λ2 = ±1, λ3 = ±1. ® ¥ ¬®¦¥â ¡ëâìâ ª, çâ® λ1 = λ2 = λ3 = −1 (¨ ç¥ det A = −1). ç¨â, ª ª®¥-â® ç¨á«® ¨§ λ1 , λ2 ,λ3 à ¢® 1.¥«¥¤á⢨¥ 15.4 (áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¥¯®¤¢¨¦®© ¯àאַ© ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ᮡá⢥®£® «¨¥©®£® ®à⮣® «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 ). î¡®¥ ᮡá⢥®¥ ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥f+áâ ¤ à⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 ¢á¥£¤ ®áâ ¢«ï¥â ¥¯®¤¢¨¦®© 楫ãî ¯àï¬ãî, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â, ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ª®â®à®© | ¨¢ ਠâë© ¢¥ªâ®à ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï f + .®ª § ⥫ìá⢮.
î¡®¥ ᮡá⢥®¥ ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 ¨¬¥¥â ¢¨¤ xa11+f : y → a12za13a21a22a23 a31xa32y ,a33zf+áâ ¤ àâ-7£¤¥a31a32 = A ∈ SO(3). ® ⥮६¥ 15.3 áãé¥áâ¢ã¥â ¨¢ ਠâë©a33¬ âà¨æë A, ®¡®§ 稬 ¥£® ç¥à¥§ v. ®£¤ f + (v) = v ⇒ f + (tv) = tv ∀t ∈ R.a11 a12a13¢¥ªâ®àa21a22a23¥¥®à¥¬ 15.4. ãáâì v, u, w | ¯®«®¦¨â¥«ì® ®à¨¥â¨à®¢ ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢¢¨¤R3 , A ∈ SO(3), Av= v. ®£¤ ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ¬ âà¨æ 1 0eA = 0 cos ϕ0 sin ϕA¨¬¥¥â0− sin ϕ .cos ϕ(16.10)®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì W | ¬ âà¨æ á® á⮫¡æ ¬¨ v, u, w, à ᯮ«®¦¥ë¬¨ ¢ ⮬¦¥ ¯®à浪¥. ¡®§ 稬 v = (v1 , v2 , v3 ).
ë ¨¬¥¥¬W ∈ SO(3) ⇒ W −1 AW ∈ SO(3).®£¤ ¢ ¡ §¨á¥ {v, u, w} ¬ âà¨æ A § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ªv1−1−1 ev2A = W AW = Wv3ë ¨¬¥¥¬1e ∈ SO(3) ⇒ a21Aa310a22a320a22a32a23a331a23 0a330a21a22a023a21a22a23 1 a21a31a32 = 0 a220 a023a033 a311a32 = 0a330a31a32 .a0330 01 0 ⇒ a21 = a31 = 0,0 1â ª¨¬ ®¡à §®¬1e = 0A00a22a320a23 ⇒a33¤«ï ¥ª®â®à®£® ç¨á« ϕ.µ¶µ∈ SO(2) ⇒a22a32a23a33¶µϕ= cossin ϕ− sin ϕcos ϕ¶¥«¥¤á⢨¥ 15.5 (£¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¨â¥à¯à¥â æ¨ï ᮡá⢥ëå «¨¥©ëå®à⮣® «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© áâ ¤ à⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 ).î¡®¥ ᮡá⢥®¥ «¨¥©®¥ ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ áâ ¤ à⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 ¥áâì ¯®¢®à®â ¥ª®â®àë© ã£®« ϕ ¢®ªà㣠¥ª®â®à®© ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â.¥¯¥àì à áᬮâਬ á«ãç © A ∈ O(3), det A = −1.
áá㦤 ï ¢ â®ç®á⨠⠪¦¥,ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ SO(3), ¬ë ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî8¥®à¥¬ 15.5. ãáâì A ∈ O(3), det A = −1. ®£¤ 10 ©¤¥âáï ¢¥ªâ®à v ⊂ R3 â ª®©, çâ® Av = −v;20 ¯ãáâì v, u, w | ¯®«®¦¨â¥«ì® ®à¨¥â¨à®¢ ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢R3 . ®£¤ ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¢¨¤e=A−1000cos ϕsin ϕ0− sin ϕ .cos ϕý®à¬ «ìë¥þ ä®à¬ë «¨¥©ëå ®à⮣® «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3ç¨âë¢ ï ⥮६ë 15.4, 15.5, «î¡®¥ ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ áâ ¤ à⮣®¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 ¨¬¥¥â ¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ㣮«ì®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ ⮤㠨§ á«¥¤ãîé¨å ý®à¬ «ìëåþ ä®à¬.1 0 010 0 1 0 | ⮦¤¥á⢥®¥ «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥; ®áâ ¢«ï¥â ¬¥áâ¥0 0 1¢á¥ ¢¥ªâ®àë ¨§ R3 .−1 0 020 0 1 0 | ®âà ¦¥¨¥ (ᨬ¬¥âà¨ï); ®áâ ¢«ï¥â ¬¥á⥠¯«®áª®áâì Y OZ .0 0 11 0 000 −1 0 | æ¥âà «ì ï ᨬ¬¥âà¨ï ¢ ¯«®áª®á⨠Y OZ ; ®áâ ¢«ï¥â 30 0 −1¬¥á⥠®áì OX .1 0040 0 cos ϕ − sin ϕ | ¯®¢®à®â ¢®ªà㣠®á¨ OX 㣮« ϕ; ®áâ ¢«ï¥â ¬¥áâ¥0 sin ϕ cos ϕ⮫쪮 ®áì OX ¢ á«ãç ¥ ϕ 6= 2πk, k ∈ Z.−10050 0 cos ϕ − sin ϕ | ¯®¢®à®â ¢®ªà㣠®á¨ OX 㣮« ϕ, ᮥ¤¨¥ë©0 sin ϕ cos ϕá ᨬ¬¥âਥ© ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®á⨠Y OZ .
᫨ ϕ 6= 2πk, k ∈ Z, â® ¬¥á⥮áâ ¥âáï ⮫쪮 ç «® ª®®à¤¨ â..