L-15-Autmn2017 (Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017)

‹…Š–ˆŸ ü15„ â : 13.12.2017‘¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¬ âà¨æ ¬¨, § ¤ î騬¨ ¢ à §­ëå ¡ §¨á å®¤­® ¨ â® ¦¥ «¨­¥©­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥Œ â¥à¨ « ¤ ­­®£® ¯ à £à ä  | ¯®¢â®à¥­¨¥ ¬ â¥à¨ « , ª®â®àë© ¨§« £ «áï ¢ªãàᥠ«¨­¥©­®©  «£¥¡àë, §¤¥áì à §¬¥é¥­ ¤«ï 㤮¡á⢠ ¤ «ì­¥©è¥£® ¨§«®¦¥­¨ï.ãáâìC=c11...c1n...cn1...=cnnc11...cn1......c1 n’| ¬ âà¨æ  ¯¥à¥å®¤  ®âcnn¡ §¨á  {e1 , .

. . , en } ª ¡ §¨áã {e~1 , . . . , e~n } ¢ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V , â. ¥. e~1 = c11 e1 + · · · + c1n en ,...e~n = cn1 e1 + · · · + cnn en .ãáâì A = (aij )i,j =1,...,n | ¬ âà¨æ  «¨­¥©­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï f , ª®â®à®¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ¡ §¨á¥ {e1 , . . . , en }:n³Xfj =1´x j ej=nXj =1xj f (ej ) =nXj =1xj e^j=nXj =1xjnXj =1aji ei ,£¤¥ {e^1 , . . . , e^n } | ­¥ª®â®àë© ­ ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¨§ V .ãáâì B = (bij )i,j =1,...,n | ¬ âà¨æ  ⮣® ¦¥ á ¬®£® «¨­¥©­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ïf , ª®â®à®¥ ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¢ ¡ §¨á¥ {e~1 , .

. . , e~n }:fn³Xj =1xj e~j´=nXj =1xj f (~ej ) =nXj =1xj e^j=nXj =1xjnXi=1bji e~i .‚ëïá­¨¬ ¢§ ¨¬®á¢ï§ì ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï A ¨ B . Œë ¨¬¥¥¬f (~ej ) =nXi=1bji e~i=nXi=1bjinXk=1cik ek=nXk=1eknXi=1bji cik .‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë,f (~ej ) = fn³Xi=1´cji ei=nXi=1cji f (ei ) =nXi=1cjinXk=1aik ek=nXk=1eknXi=1aik cji .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稫¨, çâ®nXk=1eknXi=1bji cik=nXk=1eknXi=1aik cji ⇒nXi=11bji cik=nXi=1aik cji ,j, k= 1, . . .

, n.2¥á«®¦­® ¢¨¤¥âì, çâ® í⨠⮦¤¥á⢠ íª¢¨¢ «¥­â­ë ⮬ã, çâ®c11...c1n......⇐⇒ CBcn1cnnb11...b 1n......bn1=bnna11...a1n......an1annc11...c1n......cn 1cnn= AC⇐⇒ A = CBC −1⇐⇒ B = C −1 AC(ª ª § ¯¨á âì ý­®¢ãîþ ¬ âà¨æã ¢ ýáâ à®¬þ ¡ §¨á¥)(ª ª § ¯¨á âì ýáâ àãîþ ¬ âà¨æã ¢ ý­®¢®¬þ ¡ §¨á¥).’¥¯¥àì ¯®á¬®âਬ ­  ­¥á®¡á⢥­­ë¥ «¨­¥©­ë¥ ®à⮣®­ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠á â®çª¨ §à¥­¨ï ¨§«®¦¥­­®£® ¢ëè¥ ¬ â¥à¨ « .

 áᬮâਬ®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ë© ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨽⮣¤ v1αv2αµ= cos α2 e1 + sin α2 e2 ,= − sin α2 e1 + cos α2 e2 ,¶µ¶cos α2 − sin α2 , C −1 = C ’ = cos α2 sin α2 ,C=sin α2 cos α2− sin α2 cos α2¨ ­¥á®¡á⢥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠ᵶα cos α¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï A = sinsin α − cos α ¨¬¥¥â ¢¨¤C−1µ1AC =00−1¶(15.0),â. ¥. ­¥á®¡á⢥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï A ï¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨  ¡æ¨áá ¢á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®© ª®®à¤¨­ â­ë¬ ९¥à®¬ (O, v1α , v2α ).‘®¡á⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á«  «¨­¥©­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©‹¥¬¬  15.1.

ãáâì A | (n × n)-¬ âà¨æ , λ ∈ R. ’®£¤ det(A − λE ) = 0 ⇔ ∃v 6= 0Av= λv.„®ª § â¥«ìá⢮. det(A − λE ) = 0 ⇔ á⮫¡æë ¬ âà¨æë (A − λE ) «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë⇔ ∃v ∈ Rn , v 6= 0 â ª®©, çâ® (A − λE )v = 0 ⇔ Av = λv .¥Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 15.1. ãáâì ¢ ¢. ¯. V § ¤ ­® «¨­¥©­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ f . …᫨¢¥ªâ®à v 6= 0 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î f v = λv ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ç¨á«  λ, â® ¢¥ªâ®à v3­ §ë¢ ¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï f ,   ç¨á«® λ | ᮡá⢥­­ë¬ç¨á«®¬ (§­ ç¥­¨¥¬) í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï, ¯à¨ç¥¬ £®¢®àïâ, ç⮠ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®àv ®â­®á¨âáï ª ᮡá⢥­­®¬ã ç¨á«ã λ (®â¢¥ç ¥â ¨«¨ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᮡá⢥­­®¬ãç¨á«ã λ).‘¢®©á⢮ 15.1. ’ ª ª ª v 6= 0, â® ç¨á«® λ, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î f v = λv,®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤«ï v ®¤­®§­ ç­® (¯à®¢¥à¨âì!).‘¢®©á⢮ 15.2. ‘®¡á⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë, ®â¢¥ç î騥 à §«¨ç­ë¬ ¢¥é¥á⢥­­ë¬á®¡á⢥­­ë¬ ç¨á« ¬ «¨­¥©­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï f , «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë.„®ª § â¥«ìá⢮.

„®ª § â¥«ìá⢮ ¡ã¤¥¬ ¯à®¢®¤¨âì ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã ¢¥ªâ®à®¢.k = 1. Ž¤¨­ ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à, ¡ã¤ãç¨ ®â«¨ç­ë¬ ®â ­ã«ï, á®áâ ¢«ï¥â «¨­¥©­®­¥§ ¢¨á¨¬ãî á¨á⥬ã.k → k + 1. ãáâì f vi = λi vi , i = 1, . . . , k + 1, λi 6= λj ¢ á«ãç ¥ i 6= j . ãáâìᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë vi , i = 1, . . . , k + 1, «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë, â. ¥. vk+1 = µ1 v1 + · · · +µk vk ,   ¢¥ªâ®àë vi , i = 1, . . .

, k , «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë. ’®£¤ λk+1 vk+1= f (µ1 v1 + · · · + µk vk ) = µ1 f v1 + · · · + µk f vk = µ1 λ1 v1 + · · · + µk λk vk ,λk+1 vk+1= µ1 λk+1 v1 + · · · + µk λk+1 vk ,®âªã¤  ¯®«ãç ¥¬0 = v1 µ1 (λ1 − λk+1 ) + · · · + vk µk (λk − λk+1 ).(15.1)‘®¡á⢥­­ë¥ ç¨á«  λ1 , . . . , λk+1 à §«¨ç­ë, µ1 , . . . µk ­¥ ¢á¥ à ¢­ë 0, ¯®í⮬㠭 ©¤¥âáï å®âï ¡ë ®¤­® ç¨á«® µl (λl − λk+1 ), ­¥ à ¢­®¥ ­ã«î,   íâ® §­ ç¨â, ãç¨â뢠ï (15.1),çâ® ¨«¨ ¢¥ªâ®àë v1 , . . . , vk «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë, ¨«¨ ª ª®©-â® ¢¥ªâ®à ¨§ v1 , . . . , vkà ¢¥­ ­ã«î. à®â¨¢®à¥ç¨¥.¥‹¥¬¬  15.2. ‚ᥠᮡá⢥­­ë¥ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ç¨á«  ¬ âà¨æë A ∈ O(n) ¯® ¬®¤ã«îà ¢­ë 1.„®ª § â¥«ìá⢮. ãáâì Av = λv, ⮣¤  hv, vi = hAv, Avi = λ2 hv, vi.¥’¥¯¥àì ¯®á¬®âਬ ­  ­¥á®¡á⢥­­ë¥ «¨­¥©­ë¥ ®à⮣®­ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠á â®çª¨ §à¥­¨ï ¨§«®¦¥­­®£® ¢ëè¥ ¬ â¥à¨ « .

 áᬮâਬ­¥á®¡á⢥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥f ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠ᵶsinα cos α¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï Aα = sin α − cos α .  ­¥¥ ¬ë ãáâ ­®¢¨«¨, çâ® ¢¥ªâ®à v1α ®áâ ¥âáï ­¥¯®¤¢¨¦­ë¬ ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï, â.¥.µsin αsin αcos α− cos ᶵcos α2sin α2¶µ¶α2= cosαsin 2 ;4¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢¥ªâ®à v1α ï¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ âà¨æë Aα , ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ᮡá⢥­­®¬ã ç¨á«ã λ = 1. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ fï¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨ á ­ ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ v1α , ¯®í⮬㵶 µ¶¶µαsinα cos α− sin α2sinαα2f (v2 ) = Aα v2 =sin α − cos αcos α2 = − cos α2 ;¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢¥ªâ®à v2α ï¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ âà¨æë A, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ᮡá⢥­­®¬ã ç¨á«ã λ = −1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¬¨ ãáâ ­®¢«¥­  á«¥¤ãîé ï’¥®à¥¬  15.1. ‹î¡®¥ ­¥á®¡á⢥­­®¥ «¨­¥©­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®¬ ¡ §¨á¥ ¨§ ᮡá⢥­­ë墥ªâ®à®¢ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ï¥âáï ᨬ¬¥âਥ© ®â­®á¨â¥«ì­® ®á¨  ¡æ¨áá.¥á®¡á⢥­­ë¥ ®à⮣®­ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨋¥¬¬  (® ᤢ¨£¥ 業âà   ä䨭­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â).

 áᬮâਬ ­¥ª®-â®à®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : D → D0 , £¤¥ D, D0 | ¬­®¦¥á⢠ áâ ­¤ àâ­®£® ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®áâà ­á⢠ Rn á  ä䨭­®© á¨á⥬®© ª®®à¤¨­ â, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®© ९¥à®¬ (O, e1 , . . . , en ). ’®£¤  ¢ «î¡®© ¤à㣮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®©e e1 , . . . , en ), ®â®¡à ¦¥­¨¥ f ¨¬¥¥â ¢¨¤ fb = L−b ◦ f ◦ Lb : Db → D0 ,९¥à®¬ (O,be£¤¥ b = (b1 , . . . , bn ) | ª®®à¤¨­ âë â®çª¨ O ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, e1 , .

. . , en ),Db = L−b D, Db0 = L−b D0 .„®ª § â¥«ìá⢮. ‘­ ç «  ®¯¥à æ¨¥© ᤢ¨£  Lb ý¢®§¢à é ¥¬áïþ ª á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, e1 , . . . , en ) (⥬ á ¬ë¬ ¬­®¦¥á⢮ Db áâ ­®¢¨âáï ¬­®¦¥á⢮¬ D), § â¥¬®â®¡à ¦¥­¨¥ f ý¯¥à¥­®á¨âþ D ­  ¬¥áâ® D0 ,   ¯®á«¥ ¯®á।á⢮¬ ᤢ¨£  L−b ¬ëe e1 , . .

. , en ) | ¢ ¢¨¤¥ ¬­®¦¥á⢠ D0 .ý¯®¬¥é ¥¬þ D0 ¢ á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â (O,¥b€ä䨭­®¥ ­¥á®¡á⢥­­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ fα,b ¨¬¥¥â ¢¨¤µ ¶µ¶µ ¶ µ ¶xcosαsinαxb1fα,b :→+.ysin α − cos αyb2‡ ¯¨è¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ fα,b ¢  ä䨭­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, v1α , v2α ), £¤¥ O |­ ç «® ª®®à¤¨­ â ¯«®áª®áâ¨, v1α , v2α | ¡ §¨á ¨§ ᮡá⢥­­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¬ âà¨æë Aα .Œë ¨¬¥¥¬, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå,µ ¶ µ¶µ ¶µ ¶ µ¶µ ¶ααααxcos−sinsinx~x~cosx= sin α2 cos α2⇔= − sin2α cos α2yy~y~y2222£¤¥ (~x, y~) |  ä䨭­ë¥ ª®®à¤¨­ âë, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¥ ९¥à®¬ (O, v1α , v2α ), ⮣¤ ,á¬.

(15.0), ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ ª®®à¤¨­ â å (~x, y~) ®â®¡à ¦¥­¨¥ fα,b ¨¬¥¥â ¢¨¤µ ¶¶µ ¶µ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ µαα~b1x~ → 1 0sinb1x~ + ~b1 ,cos22.(15.2)~b2~b2 = − sin α2 cos α2y~b20 −1y~5Žâ®¡à ¦¥­¨¥ (15.2) ¬®¦­® § ¯¨á âì ª ª(~x, y~) → (~x + ~b1 , −y~ + ~b2 ).(15.3) ©¤¥¬ ­¥¯®¤¢¨¦­ë¥ â®çª¨ ®â®¡à ¦¥­¨ï (15.3). „«ï í⮣® à¥è¨¬ á¨á⥬㠫¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©½x~ + ~b1 = x~,(15.4)−y~ + ~b2 = y~.®­ïâ­®, çâ® ¢ á«ãç ¥ ~b1 6= 0 à¥è¥­¨© ã á¨á⥬ë (15.4) ­¥â, ®¤­ ª® ¥á«¨ ~b1 = 0,¢¡­¥¯®¤¢¨¦­ë¥ â®çª¨ ®â®¡à ¦¥­¨ï f~α,b ¨¬¥îâ ª®®à¤¨­ âë x~, ~b22 .e v α , v α ), £¤¥ â®çª  Oe ¨¬¥¥â‡ ¯¨è¥¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ (15.2) ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O,1 2¡ ~b2 ¢ª®®à¤¨­ âë 0, 2 ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â (O, v1α , v2α ).

ãáâì (x­ , y­ ) |  ä䨭­ë¥e v α , v α ). ’®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï «¥¬¬ã ® ᤢ¨ª®®à¤¨­ âë, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¥ ९¥à®¬ (O,1 2£¥ 業âà   ä䨭­®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â, ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ âe v α , v α ) ®â®¡à ¦¥­¨¥ (15.2) ¨¬¥¥â ¢¨¤(O,1 2µx­y­¶µ→100−1¶µx­ + 0~y­ + b22¶µ~b1 ¶ µ 0 ¶ µ x­ + ~b1 ¶+ ~ − ~b2 =.b2−y­2’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¬ ãáâ ­®¢«¥­  á«¥¤ãîé ï’¥®à¥¬  15.2 (£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« ­¥á®¡á⢥­­ëå ®à⮣®­ «ì­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨© ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®áâ¨). ‹î¡®¥  ä䨭­®¥ ­¥á®¡á⢥­­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ㣮«ì­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â ï¥âáï ª®¬¯®§¨æ¨¥© ®á¥¢®© ᨬ¬¥âਨ ¨ ᤢ¨£  ¢¤®«ì ®á¨á¨¬¬¥âਨ.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 15.2.

Š®¬¯®§¨æ¨ï ®á¥¢®© ᨬ¬¥âਨ ¨ ᤢ¨£  ¢¤®«ì ®á¨ ᨬ¬¥âਨ­ §ë¢ ¥âáï ᪮«ì§ï饩 ᨬ¬¥âਥ©.‘«¥¤á⢨¥ 15.3. ‹î¡®¥ ­¥á®¡á⢥­­®¥  ä䨭­®¥ ®à⮣®­ «ì­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¯àאַ㣮«ì­®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â ï¥âáï᪮«ì§ï饩 ᨬ¬¥âਥ©.‹¨­¥©­ë¥ ®à⮣®­ «ì­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï3-¬¥à­®£® ¥¢ª«¨¤®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 15.3. ‚¥ªâ®à v 6= 0 ­ §®¢¥¬ ¨­¢ à¨ ­â­ë¬ ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬(n × n)-¬ âà¨æë A, ¥á«¨ Av = v.

‚¥ªâ®à v 6= 0 ­ §®¢¥¬ ¨­¢ à¨ ­â­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬«¨­¥©­®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï f : V → V ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®áâà ­á⢠ V , ¥á«¨ f (v) = v.6’¥®à¥¬  15.3 (® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨­¢ à¨ ­â­®£® ᮡá⢥­­®£® ¢¥ªâ®à ).ãáâì A ∈ SO(3). ’®£¤  ­ ©¤¥âáï ¢¥ªâ®à v ∈ R3 â ª®©, çâ® Av = v.„®ª § â¥«ìá⢮. Ž¡®§­ ç¨¬A=a11 a12a13a21a22a23a31a32 .a33 ©¤¥¬ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« ¬ âà¨æë A, ¤«ï í⮣® ¯® «¥¬¬¥ 15.1 ­¥®¡å®¤¨¬® ­ ©â¨ ª®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï0 = det(A − λE ) = −λ3 + (a11 + a22 + a33 )λ2 + bλ + det A,(15.4)£¤¥ b | ­¥ª®â®à ï ª®­áâ ­â .