Изучение математических дисциплин в компьютерной среде, страница 15

Получим транспортную сеть. Если / —максимальный поток в этой сети, то f(aitbj) означает количествопродукта, которое нужно перевезти из а,- в bj, чтобы удовлетворитьпотребности в наибольшей степени.Глава 8. КОМПЬЮТЕРНЫЙКУРС ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ8.1. Структура и место компьютерного курса в обученииКК «Линейная алгебра» предназначен для изучения курса высшейматематики на всех специальностях технических вузов.

При работе сКК обучаемый может под руководством преподавателя или самостоя89Тема 3. Определенные системы линейных алгебраических уравнений.3.1. Метод обратной матрицы.3.2. Метод Крамера.3.3. Метод Гаусса.Тема 4. Системы линейных алгебраических уравнений общеговида.4.1. Теорема Кронеккера—Капелли.4.2.

Общий метод (базисного минора) решения систем.4.3. Метод Гаусса.Тема 5. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.5.1. Свойства решений5.2. Фундаментальная система решений (ФСР).5.3. Структура общего решения однородной системы по ФСР.5.4. Структура общего решения неоднородной системы по ФСРоднородной.8.3. Контроль понимания теорииВ КК «Линейная алгебра» контроль понимания реализован в форме вопросов самоконтроля и контрольных вопросов с альтернативными ответами.Вопросы самоконтроля формируются из базовых элементов каждой темы, без понимания которых изучение темы невозможно. Еслиобучаемый не знает ответа на вопрос самоконтроля, то КК дает ответ,но затем проверяет путем постановки контрольных вопросов, действительно ли материал усвоен.

Контрольные вопросы предназначены дляпроверки понимания изучаемого теоретического материала.Так, например, при изучении темы «Ранг матрицы» обучаемомупредлагаются следующие вопросы самоконтроля:1. Вы помните, что называется минором порядка £?2. Вы помните определение ранга матрицы?3. Вы помните, что называется базисным минором?4. Вы знаете, какие строки (столбцы) называются линейно независимыми?5.

Вы умеете записать явный вид линейной зависимости строк(столбцов)?6. Вы понимаете, что максимальное число линейно независимыхстрок матрицы не может отличаться от максимального числа линейнонезависимых столбцов матрицы?7. Вы помните, в чем состоит метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы?8. Вы помните, в чем состоит метод элементарных преобразованийвычисления ранга матрицы?9. Вы нашли базисный минор. Знаете ли Вы, как выписать линейнонезависимые строки (столбцы) матрицы?Этап ответов на вопросы самоконтроля заканчивается, если на всевопросы дан положительный ответ. Далее обучаемому предлагаютсяконтрольные вопросы с альтернативными ответами, соответствующиекаждому вопросу самоконтроля. Например, если обучаемый считает,что он знает, что называется базисным минором, то он должен датьправильные ответы на вопросы типа:*АльтернативныйответВопросыМожет ли ранг матрицы быть больше числа строк?Да НетМожет ли базисный минор содержать нулевую строку?Изменится ли ранг матрицы, если заменить нулевойстроку, не входящую в базисный минор?Да НетДа НетЕсли хотя бы на один из вопросов ответ дан неверный, то обучаемому указывается, что понимание понятия «базисный минор» им недостигнуто и будет предложено повторно изучить теорию.Общее число вопросов самоконтроля в курсе порядка 100, контрольных вопросов порядка 200.8.4.

УпражненияВ КК «Линейная алгебра» предлагается два типа упражнений —типовые и контрольные. Вначале на экране высвечивается текст типового упражнения и обучаемому предлагается выбрать, самостоятельноили с помощью КК (в КК этот режим носит название «по шагам») онбудет решать это упражнение. Если обучаемый выбрал решение «пошагам», то КК предлагает стандартный метод решения задачи и задаетвопросы к каждому из шагов метода. Если обучаемый неверно отвечает на вопрос, то КК подсказывает правильный ответ и отсылает обучаемого к тому вопросу самоконтроля, о непонимании которого свидетельствует неверный ответ.

После прохождения всех шагов с верными ответами обучаемому предлагается аналогичное типовому контрольное упражнение. При неверном ответе на контрольное упражнение обучаемый может повторить теорию и типовое упражнение.9592Рассмотрим в качестве примера одно из упражнений темы «Системы линейных алгебраических уравнений общего вида».Задача. Найти решение однородной системы двух уравнений с четырьмя неизвестными по ФСР.Шаги типового упражнения:Шаг 1. Вычислите ранг матрицы системы.Верный ответ: 2. Если ответ введен неверно, то на экране высвечивается комментарий «Ранг матрицы системы вычислен неверно. Существует минор второго порядка, отличный от нуля» и предлагаетсяповторить шаг задания.

КК фиксирует, что однажды обучаемый неверно вычислил ранг матрицы. В дальнейшем все ошибки будут записаныв протокол занятия.Контроль ответов следующих шагов проводится аналогично.Шаг 2. Вспомните, чему равно число элементов ФСР, если ран|матрицы системы г и число неизвестных п ? Воспользуйтесь этой фор|мулой и найдите число элементов фундаментальной системы.Шаг 5.

Выберите х 1 и х 3 базисными переменными, а х 2 и х 4 свсбодными. Найдите х 1 = а , х 3 = b при х 2 = 1, х 4 = 0. Введите а , Ь .Шаг 4. Пусть *2 = 0, JC4 = 1 . Найдите х 1 = а , хЪ = Ь . Ввведит]а, Ь.Шаг 5. Ф С Р состоит из элементов Xl = ( a , l ,b , 0 ) и Х2= (с , 0, d, 1). Введите а, Ъ , с , d.Шаг 6. Запишите общее решение в векторной форме Х=Х0+ cl*Xl+c2*X2. Запишите первую координату решения х 1 = а О+ с 1 * а 1 + с 2 * а 2 . Введите а 0, а 1, а 2.Шаг 7. Запишите вторую координату решения х2 = аО|+ с 1 * а 1 + с 2 * а 2 . Введите а0, а 1, а2.Шаг 8.

Запишите третью координату решения х2 = аО\+ c l * a l + c 2 * a 2 . Введите а 0, а 1, а 2.Шаг 9. Запишите четвертую координату решения х4 = аО ++ с 1 * а 1 + с 2 * а 2. Введите а 0, а 1, а 2.Если хотя бы один шаг типового упражнения выполнен неверно,то обучаемому предлагается контрольное упражнение.КК содержит около 40 типовых упражнений.8.5. Практикум Практикум по курсуты: «Линейная алгебра» содержит четыре рабо1. Операции над матрицами.Обучаемым предлагается решить пять задач:— вычислить сумму матриц;94— вычислить произведение матрицы на число;—■ транспонировать матрицу;— вычислить произведение строки на столбец;— вычислить произведение матриц.Числовые данные, включая размер матриц, выбираются случайноиз заданного набора.В результате выполнения работы обучаемый получает оценку.2.

Обратная матрица и матричные уравнения.Требуется решить три задачи:— вычислить обратную матрицу 2-го порядка;— вычислить обратную матрицу 3-го порядка;— решить матричное уравнение вида АХ = В или YA = В.Числовые данные выбираются случайно из заданного набора.При решении задач обучаемый может воспользоваться специализированным калькулятором. При решении первых двух задач обучаемый может обратиться к подпрограмме вычисления определителя 2-гоили 3-го порядка, а при решении третьей задачи — к подпрограммевычисления обратной матрицы.Если задача решена неверно, обучаемому дается рекомендациявновь решить типовые упражнения по теме, а затем повторить практикум.3.

Ранг матрицы.Требуется вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований.Числовые данные, включая размер матриц, выбираются случайноиз заданного набора.При решении задачи обучаемый пользуется специализированнымкалькулятором, выполняющим элементарные преобразования:— перестановку строк;— перестановку столбцов;— умножение столбца на число;— сложение строк;— сложение столбцов.После приведения матрицы к ступенчатому виду с использованием специализированного калькулятора обучаемый вводит ответ задачи.

Если ответ неверен, то обучаемый имеет возможность повторитьрешение задачи с другими числовыми данными.Рассмотрим работу обучаемого с компьютером по теме «Ранг матрицы».На рис. 8.1 приведен вид экрана, на котором слева изображенаматрица, ранг которой требуется определить, а справа меню специализированного калькулятора.Для вычисления ранга матрицы методом элементарных преобразований приведем сначала матрицу к ступенчатому виду. Для этогопреобразуем матрицу так,чтобы первый элемент первой строки былравен 1 (это упростит дальнейшие вычисления). Поменяем местамистроки 1 и 5.

На экране выберем пункт меню «Поменять местами столбцы» и введем числа 1 и 4. Следующий экран будет иметь вид, представленный на рис. 8.2.Поменяем местами столбцы 1 и 4. Справа на рис. 8.2 указанпункт меню и введенные числа. Результат преобразования дан слевана рис. 8.3.Преобразуем матрицу так, чтобы третий элемент первого столбцабыл равен 0. Для этого следует прибавить к 4-й строке 1-ю строку,умноженную на число 3. Задание на выполнение этого преобразования дано справа на рис.

8.3, а результат преобразования — слева нарис. 8.4.Дальнейшие преобразования, целью которых является обнулениеэлементов ниже главной диагонали, проводятся аналогично. В результате получаем матрицу ступенчатого вида, изображенную на рис. 8.5,ранг которой равен рангу исходной матрицы.Ранг этой матрицы по определению равен 4. Вводим число 4 иполучаем ответ компьютера:Задача решена. Выполучили оценку 5.1ОООО0-5-1ОООООО6ОВ Ы Ч И С Л Е Н И Е-1\--17-2Р А Н Г АМ А Т Р И Ц ЫО -117 -14ООО Поменять местами строки .- и *• Поменятьйестепаи столбцы •• м • Прибавить к строке .. строку ..умноженную на .. Прибавить кстолбпу .. столбец умноженный на. Умножить *■■.-"» строку на ..Умножить .«—й столйед на ..Разделить . .-ю строку на ..Разделить .„--й столбец на ...Вы готовы у»:ае>ать ответ(да sРис.