1. Системы инерциальной навигации аэрокосмических ЛА (Лекции), страница 4

Для определения навигационныхпараметров в инерциальном базисе необходимо использовать соотношения перепроектирования. Тогда~~(2.17)VI    VE   , R I    R E   .Схема интегрирования в связанной системе координат содержит алгоритмырешения кинематического уравнения (2.7), алгоритмы интегрирования (2.14), (2.16).Блок-схема такого интегрирования представлена на рис. 2.3.Рис. 2.3. Блок-схема алгоритма решения уравнений навигации вподвижном базисе с применением кватернионовСледует заметить, что в представленной схеме интегрирования информация огравитационном поле также задается в проекциях на связанный базис, т.е.

в видекватерниона G E . Анализ алгоритма интегрирования основного навигационногоуравнения в связанных осях показывает, что в целом вычисления по сравнению с ин-тегрированием в инерциальном базисе оказываются более громоздкими, так как вэтой схеме информация о вращении объекта управления используется не только ввиде кватернионов  , которые также необходимо рассчитывать, но и в виде непосредственного использования вектора угловой скорости ЛА  .

Тем не менее, в целом этот подход обеспечивает более точный результат.Имеется возможность по-другому организовать процесс первого интегрирования, а именно – использовать разделение действительной скорости на кажущуюся искорость свободного движения и определять действительную скорость VE по зависимости, аналогичной (2.4). Для каждой из них имеем соотношения перепроектирования (2.11). Дифференцируя первое из них, получим~ E W WI    WE  E . I , запишем последнее выражение в видеУчитывая равенство PI  W E  PE  WE  E ,Wоткуда после интегрирования получаемWE tWE0  PE  ( WE  E )dt.(2.18)0Аналогичным образом для скорости свободного движения имеем:~ ~ C CI    CE  E    G I    CE  E  G E  CE  E .EИ тогда в интегральной форме:C E  C0Et  G E  (C E  E )dt .(2.19)0Очевидно, что равенства (2.18) и (2.19) вместе эквивалентны соотношениюпервого интегрирования (2.14).

Однако тот факт, что интегрирование кажущейсяскорости и скорости свободного движения могут быть выполнены раздельно, даетвозможность каждое интегрирование выполнить как в связанном, так и в инерциальном базисе.Таким образом, действительная скорость может быть определена при использовании любого алгоритма интегрирования суммированием кажущейся скорости искорости свободного движения в одном базисе:~~~VI  WI  CI  WI    CE      WE    CI    (WE  CE )   ,~~~VE  WE  CE  WE    CI      WI    CE    (WI  CI )   .Схемы интегрирования основного навигационного уравнения в БИНС в связанных осях, для которой параметрами ориентации ЛА являются направляющие косинусы, аналогичны рассмотренным выше вариантам интегрирования при использовании параметров Родрига-Гамильтона.При алгоритмизации задачи и ее численного решения в любой схеме интегрирования необходимо осуществить переход к скалярным величинам и соотношениям.В этом смысле кватернионные равенства уже являются алгоритмическими соотношениями и поэтому дают выигрыш по времени при их реализации в БЦВМ.Основное навигационное уравнение в БИНС интегрируется с использованиемтрадиционных численных методов, применяемых в платформенных СУ с учетом осо-бенностей интегрирования кажущегося ускорения и ускорения силы притяжения,рассмотренных в разделе 1.

Алгоритм определения кажущейся скорости в БИНСучитывает необходимость установления связи между приращением кажущейся скорости WI n в инерциальном базисе и приращением кажущейся скорости WE n всвязанном базисе в момент времени t n . Используя формулу преобразования, можнополучить данное соотношение для пошагового процесса интегрирования в виде~(2.20)WI n   n 1  WE n   n 1 ,~где  n1 ,  n 1 – значения кватернионов в момент времени t n 1 .Тогда алгоритм интегрирования кажущегося ускорения в инерциальном базисе запишется следующим образом:~(2.21)WI n  WI n 1   n 1  WE n   n 1 ,где WI n , WI n 1 – кажущаяся скорость в инерциальном базисе в момент времени t nи t n 1 соответственно.Алгоритм определения кажущейся скорости в связанном базисе может бытьнайден таким образом.

По аналогии с (2.11) имеем:~WE n   n  WI n   n ,(2.22)Умножая соотношение (2.21) справа на  n   n 1  N n , а слева – на сопря~~~женное значение  n  N n   n 1 получим:~~~ n  WI n   n   n  WI n 1   n    WI n   n .(2.23)Тогда~~~~WE n  N n   n 1  WI n 1   n 1  N n  N n   n 1  WI n 1   n 1  N nили~WE n  N n  (WE n 1  WE n 1 )  N n ,~где N n , N n – значения кватернионов на интервале времени 0    (t n  t n 1 ) внутри шага.2.4.

Ошибки и схемная реализация интегрированиякинематических уравненийКинематические уравнения являются автономными уравнениями, не зависящими от основного навигационного уравнения. Поэтому решение кинематическихуравнений может быть реализовано независимо от основного навигационного уравнения, если известно угловое движение связанного базиса относительно инерциального, получаемое как первичная информация от датчиков угловой скорости БИНС.Ошибки реализации решения кинематических уравнений определяют точность математического моделирования инерциального базиса на ЛА и преобразования навигационных параметров в инерциальную систему координат.Точность решения кинематических уравнений определяется:– погрешностями первичной информации об угловой скорости ЛА– погрешностями схем и методов интегрирования.Первичную информацию можно разделить на:– информацию, получаемую аналитически (например, при моделировании БИНС);– информацию, получаемую с помощью датчиков угловой скорости.В первом случае величина угловой скорости может быть задана как функциявремени или получена в результате решения системы дифференциальных уравнений, описывающих вращательное движение объекта управления.

Для аналитическизаданной первичной информации могут использоваться традиционные численныеметоды интегрирования. Точность используемого численного метода может бытьтакже определена известными методами. Поэтому задача интегрирования кинематических уравнений в этом случае не отличается от любых других задач численногоинтегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.Во втором случае угловая скорость ЛА измеряется датчиками угловой скорости. По виду измеренной информации датчики угловой скорости могут быть разделены на:– датчики, измеряющие проекции вектора угловой скорости на их оси чувствительности;– на однократно интегрирующие датчики, сигналы которых соответствуютпроинтегрированным значениям проекций угловой скорости:tiE   iE dt, i  1, 3 ,(2.24)0имеющие размерность углов и называемые квазикоординатами углового положенияили проекциями угла кажущегося поворота.Таким образом, когда первичная информация измеряется, ее ошибками являются инструментальные ошибки датчика угловой скорости.

Так, для гироскопического датчика угловой скорости инструментальные погрешности характеризуются:– систематическими и случайными составляющими ухода,– ошибками масштабного коэффициента,– нелинейностью выходной характеристики,– ошибками квантования выходной информации и т.п.По аналогии с этими ошибками для гироскопических датчиков угловой скорости определяются или сводятся к подобным ошибки датчиков первичной информации, использующих другие физические принципы (лазерные и волоконно-оптическиеизмерители угловой скорости, волновые твердотельные гироскопы и т.п.).Методические ошибки решения кинематических уравнений возникают за счет:– ошибок алгоритма,– схемной реализации задачи.Так, в цифровых схемах интегрирования возникают погрешности, обусловленные использованием приближенного численного алгоритма интегрирования.Уравнение ошибок кинематических уравнений можно получить обычным методом вариации.

Так, для кинематических уравнений (2.7) уравнение ошибок имеет вид:    E    E .(2.25)2Величина E есть ошибка первичной информации, представленная в кватернионном (операторном) виде. Полагается, что эта ошибка задается тремя компонентами ошибок ДУС, оси чувствительности которых расположены в базисе E (связан-ном с объектом управления). Очевидно, что три компоненты ошибки первичной информации могут определять ошибку E как вектор, который может быть спроектирован на инерциальный координатный базис. Уравнение (2.25) для переменнойошибки положения  является неоднородным дифференциальным линейнымуравнением с переменными коэффициентами.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:    E .(2.26)2Таким образом, однородное уравнение ошибок подобно исходному кинематическому уравнению. Согласно теореме об общем решении кинематического уравнения,решение уравнения (2.26) может быть получено из любого частного решения уравнения~(2.7). Если ( t ) – решение уравнения (2.7), то  0  ( t ) – решение того же уравнения сединичными начальными условиями.

Поэтому решение (2.26) запишется в виде~(2.27)(t )   0   0  (t ) .Для определения частного решения неоднородного уравнения (2.25) можновоспользоваться методом вариации произвольных постоянных (в данном случае постоянной  0 ). Будем искать это решение в виде~(2.28)(t )  C(t )   0  (t ) .Подставляя данное выражение в уравнение (2.25), получаем~~~ (t )  (2.29)2C0  (t )  2C(t )   0  (t )  C(t )   0  (t )  E    E .Тогда с учетом зависимости (2.7) имеем:~ (t )  (2.30)2C0  ( t )    E .~Введем обозначения N    E и M   0   . Тогда полученное выше выражение перепишется в виде (t )  M  N .(2.31)2CУмножим справа данное уравнение на M 1 .

Получим~NM11 (t)  M  M  N  M .2CM~ ~ ~Так как M   0   и норма M  1 , тоt ~1 ~C( t )   0   ()  E  ()d    0 .2  0(2.32)(2.33)Тогда окончательно:t ~1 ~~( t )   0   0  ( t )   ()  E  ()d    0 .2  0(2.34)илиt ~1 ~(2.35)( t )   0   0  ( t )   I d    0 ,2  0~где I    E   – величина ошибки первичной информации в проекции наинерциальный базис.Анализ решения (2.35) показывает, что если ошибка первичной информацииопределяется (возникает) в связанном базисе, то её накопление происходит в томслучае, когда существуют её систематические составляющие в инерциальной системе координат.

Именно эта величина ошибки накапливается (интегрируется) и определяет уход вычислительного базиса I . Тот факт, что на величину ухода построенного положения инерциальной системы координат влияет не непосредственноошибка E , а её проекция I , используется на практике для компенсации систематической составляющей ухода.В качестве примера можно привести такой подход: траекторию движения ЛАразбивают на два интервала.