Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 4

е.~ R~ 0) = mm(~ R,~2+m~ 1.Теорема доказана.В частном случае:Две пары, лежащие в одной плоскости, эквивалентны одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.Из теоремы следует, что любую систему пар можно заменить однойпарой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар. Это позволяет получить условие равновесия системы пар.Условие равновесия системы парДля равновесия системы пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:nXm~ k = 0 — в случае пространственной системы пар;k=1nXmk = 0 — для системы пар, расположенных в одной плоскости.k=1Литература:[1, § 8–10, 14];[2, § 13–22];[4, п. 3.1–3.4].ЛЕММА ПУАНСО25Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному моментусистемы сил относительно этой точки.ЛЕКЦИЯ 4Основная теорема статики~ системы сил называется геометрическая суммаГлавным вектором RnP~=всех сил системы RF~k ,k=11.

Лемма Пуансо.2. Основная теорема статики. (Теорема Пуансо.)3. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.4. Условия равновесия системы параллельных сил.5. Условия равновесия произвольной плоской системы сил.Лемма Пуансо1Лемма. Не изменяя действия силы натвердое тело, ее можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.К телу в точке A приложена сила F~ . Добавим в точке B уравновешенную систему сил: F~ 0 , F~ 00 ∼ 0, F = F 0 = F 00 , 0 00 0F~ ∼ F~ , F~ , F~ ∼ F~ , F~ 00 , F~ .

F~ , F~ 00 — пара сил с моментом~ B F~ .m~ F~ , F~ 00 = mЛемма доказана.Основная теорема статики. (Теорема Пуансо)Теорема. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело,можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил.1 Пуансо Луи (3.1.1777–5.12.1859) — франц. математик и механик, член Французской АН.Основные исследования посвящены теории чисел и механике. В работах по механике использовал геометрические методы; предложил теорию пар сил. Исследовал вращение твердого телавокруг неподвижной точки.Rx =nXFkx ,Ry =k=1nXFky ,Rz =k=1R=nXFkz ;k=1qRx2 + Ry2 + Rz2 .~ O системы сил относительно данного центраГлавным моментом Mназывается сумма моментов всех сил системы относительно этого центра: n~O = P mM~ O F~k .k=1Главный момент определяется своими проекциями на оси координат:MOx =nXk=1 mOx F~k ,MOz =nXk=1MOy =nXk=1mOz F~k , mOy F~k ,или, с учетом определения момента силы относительно оси:MOx =nXk=1 mx F~k ,MOy =MO =qnXk=1 my F~k ,MOz =nXk=1 mz F~k ,2 + M2 + M2 .MOxOyOzДОКАЗАТЕЛЬСТВО.~Точка O — центр приведения.

По лемме Пуансо перенесем силу F1в точку O: F~10 = F~1 , m~1 =m~ O F~1 . Аналогично перенесем все остальные силы. F~k0 = F~k , m~k =m~ O F~k .В результате получим систему сходящихся сил и систему пар сил. Потеореме о существовании равнодействующей системы сходящихся сил их26ЛЕКЦИЯ 4ЛЕММА ПУАНСО27Условия равновесия могут быть использованы для решения задач наравновесие при определении неизвестных величин (реакций связей). Чтобызадача была статически определимой, число неизвестных должно быть неболее шести.Условия равновесия системы параллельных силn~ = P F~k , равной главному вектору. Системожно заменить одной силой Rk=1му пар по теореме о сложении пар можно заменить одной парой, момент n~O = P mкоторой равен главному моменту M~ O F~k . Теорема доказана.k=1Условия равновесия произвольной пространственнойсистемы силИз основной теоремы статики вытекает условие равновесия произвольной системы сил.Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системыравнялись нулю:~ = 0,R~ O = 0.MВ аналитической форме:Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатныеоси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю:nXFkx = 0,k=1nXk=1 mx F~k = 0,nXFky = 0,k=1nXk=1 my F~k = 0,nXFkz = 0,k=1nXk=1 mz F~k = 0.Для системы параллельных сил условиями равновесия являются равенства:nXFkz = 0,k=1nXk=1 mx F~k = 0,nXk=1 my F~k = 0.Условия равновесия произвольной плоской системы силПлоская система сил — это такая система, все силы которой лежатв одной плоскости.В этом случае в результате приведения получаем силу и пару, лежащие в одной плоскости.

Главный вектор плоской системы сил определяетсяего проекциями на две координатные оси, а главный момент является скаляром и находится как алгебраическая сумма моментов всех сил системыотносительно выбранного центра приведения.Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобыглавный вектор и главный момент системы равнялись нулю:nXk=1Fkx = 0,nXk=1Fky = 0,nXk=1 mO F~k = 0.28ЛЕКЦИЯ 4Условия равновесия плоской системы сил могут быть записаны в следующих эквивалентных формах:nXFkx = 0,k=1nXk=1 mA F~k = 0,nXk=1 mB F~k = 0ЛЕКЦИЯ 5Равновесие плоской системы сил(отрезок AB не перпендикулярен оси Ox).nXk=1mAF~k = 0,nXk=1mBF~k = 0,(точки A, B, C не лежат на одной прямой).Литература:[1, § 11–13, 15, 16, 30];[2, § 19–25, 30];[4, п. 4.1–4.4, 5.1–5.3, 7.3].nXk=1 mC F~k = 01.

Равновесие системы тел.2. Расчет плоских ферм.3. Равновесие при наличии трения скольжения. Законы Амонтона – Кулона.4. Равновесие при наличии трения качения.Равновесие системы телЕсли в равновесии находится не одно тело, а система тел, то для определения всех неизвестных величин необходимо расчленять систему, вводяв рассмотрение реакции внутренних связей.

При этом возможны два способа составлений уравнений равновесия. Проиллюстрируем их применениена примере равновесия двух тел.Первый способ (рассмотреть равновесие конструкции и одной ее части):Количество неизвестных реакций внешних связей превышает количество уравнений равновесия плоской системы сил.В этом случае помимо трех уравнений равновесия конструкции в целомсоставляются три дополнительных уравнения равновесия одной из частейконструкции.30ЛЕКЦИЯ 5РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛnPВторой способ (рассмотреть равновесие каждой части конструкции).Способ выбираем из соображений удобства решения системы уравнений равновесия.k=1nPk=1nPРасчет плоских фермk=1Ферма — жесткая (геометрически неизменяемая) конструкция изстержней, соединенных между собой шарнирами.

Шарнирные соединенияназываются узлами.Задачей расчета ферм является определение реакций внешних связейи усилий в стержнях. Основные допущения — это идеальность стержнейфермы и распределение внешней нагрузки по ее узлам.У статически определимых ферм количество стержней s и количествоузлов n связаны соотношением: s = 2n − 3.

Это равенство получаетсяиз того факта, что добавление к простейшей треугольной ферме каждогонового узла требует двух стержней: s = 2(n − 3) + 3.Основные методы расчета усилий в стержнях плоских ферм: метод вырезания узлов (последовательно вырезаются узлы, в которых сходится неболее двух стержней с неизвестными усилиями, и составляются уравненияравновесия системы сходящихся сил) и метод сечений (Риттера) (производится сечение фермы по трем стержням с неизвестными усилиями исоставляются уравнения равновесия одной части фермы).ПРИМЕР.XA + P = 0,Fky = 0YA + YB = 0,mA F~k = 0 −P · CE + YB · 3AE = 0.Отсюда YB = 10 кН, YA = −10 кН, XA = −30 кН.Определив реакции в т. A и в т. B, рассмотрим последовательно равновесие каждого узла, мысленно отбросив сходящиеся в них стержни и заменив их действия реакциями (усилиями).

Полагая, что стержни растянуты,направим их усилия от узлов.Покажем каждый узел в отдельности и составим уравнения их равновесия: nPFkx = 0 XA + S1 cos 45◦ + S2 = 0,k=1nPk=1nPk=1nPk=1Дано: P = 30 кН, AE = EC = EF = F B = 2 м. Найти усилияв стержнях.Вначале определим опорные реакции:Fkx = 031Fky = 0YA + S1 sin 45◦ = 0,Fkx = 0 P − S10 cos 45◦ + S4 = 0,Fky = 0−S10 cos 45◦ − S3 = 0,S10 = S1 ,и т. д.Для иллюстрации метода Риттера рассечем ферму по 4, 5 и 6 стержню ирассмотрим равновесие правой части. Действие отброшенной части фермызаменяется соответствующими реакциями.32ЛЕКЦИЯ 5nPk=1nPk=1nPk=1Получаем:Fky = 0РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ−S5 sin 45◦ + YB = 0,mD F~k = 0 YB · F B − S6 · F D = 0,mE F~k = 0√S5 = 10 2 кН,YB · 2F B + S4 · F D = 0.33Рассмотрим равновесие тела на шероховатойповерхности под действием силы P .nPFkx = 0 P sin α − Fmp = 0,k=1nPFky = 0k=1−P cos α + N = 0.Следовательно,S6 = 10 кН,S4 = −20 кН.Знак минус означает, что соответствующий стержень работает на сжатие.

При определении усилий в стержнях по методу сечений составляютсяуравнения равновесия, в каждое из которых входит по одной неизвестной.Равновесие при наличии трения скольжения. ЗаконыАмонтона – КулонаПри стремлении сдвинуть тело, лежащее на шероховатой поверхности, возникает сила реакции, которая имеет две составляющие — нормальную и силу трения скольжения.В результате экспериментальных исследованийбыли установлены: Законы Амонтона1 – Кулона2 :1. Сила трения скольжения при равновесии тела принимает значенияот нуля до максимального значения.2. Максимальное значение силы трения скольжения не зависит от площади контакта, а определяется величиной нормальной реакции, материаломmax= f N , где f — коэфи состоянием контактирующих поверхностей.

F mpфициент трения скольжения.Конус трения — поверхность, образованная линией действия максимальной реакции пристремлении сдвинуть тело в различных направлениях: tg ϕ =maxFmpfN== f,NNtg ϕ = f .1 Амонтон Гийом (31.08.1663–11.10.1705) — франц. механик и физик, член Французской АН. Работы по теории трения и термометрии.2 Кулон Шарль Огюстен (14.07.1736–13.08.1806) — франц. физик, механик, инженер, членФранцузской АН.