Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Конспект лекций (2005), страница 2

. . . . . . . .Классификация связей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Виртуальные перемещения. Виртуальная работа силы. Идеальныесвязи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Принцип виртуальных перемещений . . . . . . . . . . . . . . .

. . .Общее уравнение динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125127129ЛЕКЦИЯ 21. Метод обобщенных координат . . .Обобщенные координаты и скорости . . . . . .Обобщенные силы и способы их вычисления . .Условие равновесия в обобщенных координатах130130132133.........................

. . .. . . . .. . . . .. . . . .123123124ЛЕКЦИЯ 24. Устойчивость равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . 145Определение устойчивого положения равновесия . . . . . . . . . . 145Теорема Лагранжа – Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Потенциальная энергия в малой окрестности положения равновесия148Условие устойчивости консервативных механических систем . . . 149ЛЕКЦИЯ 25. Малые колебания механических систем с одной степенью свободы . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Кинетическая энергия механической системы в малой окрестностиустойчивого положения равновесия . . . . . . . . . . . . . . . 150Дифференциальные уравнения движения механических системоколо устойчивого положения равновесия . . . . .

. . . . . . 151Малые колебания системы с одной степенью свободы . . . . . . . . 152ЛЕКЦИЯ 26. Малые колебания механических систем с двумя степенями свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Малые свободные колебания механических систем с двумя степенями свободы. Главные колебания . . . . . . . . . . . . . . . . 154Вынужденные колебания механических систем с двумя степенямисвободы .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Понятие о виброзащите. Динамический гаситель колебаний . . . . 157Дифференциальные уравнения малых колебаний упругих систем . 157Колебания упругой системы с двумя степенями свободы . . . . . . 160Вынужденные колебания упругих систем с двумя степенями свободы1618ОГЛАВЛЕНИЕЛЕКЦИЯ 27. Элементы теории удара . . . . . . .

. . . . . . . . . .Явление удара. Основные допущения при ударе . . . . . . . . . . .Основное уравнение теории удара . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Общие теоремы динамики при ударе . . . . . . . . . . . . . . . . .Коэффициент восстановления при ударе . . . . . . . . . . . . . . .Удар о неподвижную поверхность . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Удар двух тел .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Теорема Карно (теорема об изменении кинетической энергии) . . .Удар по вращающемуся телу. Определение импульсов ударных реакций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .Центр удара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163163163164165166167168169170Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172ЛЕКЦИЯ 1Введение. Основные понятия статики1. Предмет механики.2. Основные понятия и аксиомы статики.3. Связи и реакции связей.Предметный указатель . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Предмет механикиМеханика — это наука, изучающая основные законы механическогодвижения, т. е. законы изменения взаимного расположения материальныхтел или частиц в сплошной среде с течением времени.

Содержанием курсатеоретической механики в техническом вузе является изучение равновесия и движения абсолютно твердых тел, материальных точек и их систем.Теоретическая механика является базой для многих обще-профессиональных дисциплин (сопротивление материалов, детали машин, теория машини механизмов и др.), а также имеет самостоятельное мировоззренческоеи методологическое значение. Иллюстрирует научный метод познания закономерностей окружающего нас мира — от наблюдения к математическоймодели, её анализ, получение решений и их применение в практическойдеятельности.Курс теоретической механики традиционно делится на три части. Статика — изучает правила эквивалентного преобразования и условия равновесия систем сил. Кинематика — рассматривает движение тел с геометрической стороны, без учета сил, вызывающих это движение.

Динамика —изучает движение тел в связи с действующими на них силами.Основные задачи статики:1. Изучение методов преобразования одних систем сил в другие, эквивалентные данным.2. Установление условий равновесия систем сил.10ЛЕКЦИЯ 1ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯОсновные понятия и аксиомы статикиСила — мера механического воздействия одноготела на другое. Физическая природа сил в механике нерассматривается.Сила задается модулем, направлением и точкойприложения. Обозначается большими буквами латин~ N~ , . .

. , |F~ | = F — модуль силы.ского алфавита: F~ , R,Аналитически силу можно задать ее проекциями на оси координат: Fx , Fy , Fz , а направление в пространстве — направляющимикосинусами: cos α ==FyFx, cos β =, cos γ =FFFz.FСовокупность нескольких сил, действующих на твердое тело, называется системойсил. Две системы сил эквивалентны (∼)между собой, если, не нарушая состояния тела, одну систему сил можнозаменить другой.Сила,n эквивалентнаяo данной системе сил, называется равнодейству~ Не всегда систему сил можно заменитьющей: F~1 , F~2 , .

. . , F~n ∼ R.равнодействующей.Систему сил, приложенную к свободному твердому телу, находящемуся в равновесии, и не выводящуюего из этогоo состояния, называют уравnновешенной системой сил F~1 , F~2 , . . . , F~n ∼ 0. Абсолютно твердоетело — тело, у которого расстояние между любыми двумя точками остаетсянеизменным.Аксиомы:1. Абсолютно твердое тело находится в равновесиипод действием двух сил тогда и только тогда, когда этисилы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела,к нему можно прикладывать или отбрасывать уравновешенную систему сил.Следствие. Точку приложения силы можно переносить вдоль линиидействия силы.СТАТИКИ11ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.~К телу в точке A nприложенаo сила F .

Добавимв точке B систему сил, F~ 0 , F~ 00 ∼ 0: F = F 0 = F 00 .onon o nF~ ∼ F~ , F~ 0 , F~ 00 , но F~ , F~ 00 ∼ 0, следовательn o n oно, F~ ∼ F~ 0 . Следствие доказано.3. Две силы, приложенные к телу в однойточке, имеют равнодействующую, проходящуючерез этуo их геометрическойn точкуonи равную~ = F~1 + F~2 , R =~ ∼ F~1 , F~2 , Rсумме. Rp= F12 + F22 + 2F1 F2 cos α.Из этой аксиомы следует, что силу можноразложить на любое количество составляющихсил по заранее выбранным направлениям.4.

Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены поодной прямой в противоположные стороны.5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если это тело отвердеет. Иными словами, необходимые условия равновесия деформируемыхи абсолютно твердых тел совпадают, что позволяет применять получаемыерезультаты для реальных тел и конструкций, не являющихся абсолютнотвердыми.Связи и реакции связейТело называется свободным если его перемещение в пространственичем не ограничено.

В противном случае тело называется несвободным,а тела, ограничивающие перемещения данного тела, — связями.Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей.Основные виды связей и их реакции:1. Гладкая поверхность (без трения):Реакция гладкой поверхности направленапо нормали к этой поверхности (перпендикулярна общей касательной).12ЛЕКЦИЯ 1ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯСТАТИКИ132.

Опорная точка (ребро):Реакция перпендикулярна опирающейся поверхности.3. Идеальная нить (гибкая, невесомая, нерастяжимая):Моделирует трос, канат, цепь, ремень, . . .Реакция идеальной нити направлена по нити кточке подвеса.4. Идеальный стержень (жесткий, невесомый стержень, на концах которого шарниры):Реакция связи направлена по стержню.В отличие от нити стержень может работатьи на сжатие.6. Сферический шарнир:Такая связь не дает точке закрепления тела перемещаться ни в одномиз направлений.

Положение реакции не определено, но она может бытьпредставлена тремя взаимно перпендикулярными составляющими.7. Подпятник:Реакция данной связи задается аналогично предыдущему случаю.8. Жесткая заделка:5. Цилиндрический шарнир:Такая связь позволяет телу перемещаться вдоль оси, поворачиваться вокруг оси шарнира, но не позволяет точке закрепления перемещатьсяв плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Реакция лежит в плоскости,перпендикулярной оси шарнира, и проходит через нее.

Положение этойреакции не определено, но она может быть представлена двумя взаимноперпендикулярными составляющими.Такая связь препятствует перемещению и повороту вокруг точки закрепления. Контакт тела со связью осуществляется по поверхности.

Имеемраспределенную систему сил реакции, которая, как будет показано, можетбыть заменена одной силой и парой сил.Аксиома освобождаемости от связей: Всякое несвободное тело можносчитать свободным, если мысленно освободиться от связей, а их действиезаменить соответствующими реакциями.Литература:[1, § 1–3];[2, § 1–3];[4, п. 1.1–1.4].СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ15СИЛМодуль и направление равнодействующей определяются формулами:qR = Rx2 + Ry2 + Rz2 ,ЛЕКЦИЯ 2Система сходящихся сил~ Oy = Ry ,cos R,R~ Ox = Rx ,cos R,R~ Oz = Rz .cos R,RУсловия равновесия системы сходящихся сил1. Теорема о существовании равнодействующей сходящихся сил.2. Условия равновесия системы сходящихся сил.3.

Теорема о трех силах.Теорема о существовании равнодействующейсходящихся силСилы называются сходящимися, если линии ихдействия пересекаются в одной точке.Теорема. Система сходящихся сил имеет равнодействующую, которая равна геометрической суммеэтих сил и проходит через точку пересечения их линийдействия.ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Перенесем все силы по линии действия в точку пересечения.

Последовательно складывая по аксиоме 3:~ 123 = R~ 12 + F~3 и т. д., находим~ 12 = F~1 + F~2 , RRnX~R=F~k .k=1Теорема доказана.Геометрически равнодействующая может бытьнайдена как замыкающая сторона силового многоугольника.Аналитически по проекциям на оси координатnnnXXXFkx , Ry =Fky , Rz =Fkz .Rx =k=1k=1k=1Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно,чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут(условие равновесия в геометрической форме).Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточноравенство нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной системына каждую из координатных осей (условие равновесия в аналитическойформе).ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Из теоремы о существовании равнодействующей условие равновесия~ = 0, т.