Феодосьев В.И (Сопротивление материалов - В.И. Феодосьев - С возможностью поиска), страница 68

13.20)А = АР*.(13.35)При малых отклонениях точек осевой ли­нии стержня от оси z вертикальное пере­мещение точки приложения силы Р* равно(см. рис. 13.20)А =11102J dX = j(dz — dz cos 0) = J - dz,000Рис. 13.20dy ,или, так как 0/1 = —dzA = i У j/'2 dz.(13.36)o18*631В результате получаемIIЭ = | / EJy"2 dz-I у'2 dz.(13.37)ОоВ соответствии с принципом Лагранжа, состояние равно­весия консервативной системы устойчиво тогда и только то­гда, когда ее полная потенциальная энергия в этом состоя­нии минимальна. Сформулированный принцип часто называ­ют теоремой Лагранжа-Дирихле, Необходимое условие мини­мальности полной энергии заключается в том, что ее перваявариация равна нулю, т.е.(13.38)6Э = 0.Первая вариация это аналог первой производной при иссле­довании функции на экстремум.

Об устойчивости состоянияравновесия, где выполняется условие (13.38), можно судить познаку второй вариации 62Э. Если 62Э > 0, то данное состояниеравновесия устойчиво, если 62Э < 0, то состояние равновесиянеустойчиво; и, наконец, при <$2Э = 0 имеет место безразлич­ное состояние равновесия.Рассмотрим вначале простейший случай, когда прибли­женное выражение для прогиба у имеет видУ=где fa - произвольный постоянный множитель; «1(г) - функция, удовлетворяющая граничным условиям задачи.

Подста­вив у в выражение (13.37), получимУ EJv'i2 dz - У 01 УоПервая вариация Э/ равна<5Э = 60!532оПриняв <5Э/ = 0, получаемSpdj EJv'fdz-Pj= 0.(13.39)ОоТак как вариация параметра /31 / 0, то из уравнения (13.39)следует= 0,ооилиI EJv'fdz,кр _- о(13.40)ОНапример, для шарнирно закрепленного стержня (см.1Г2рис. 13.9, а), полагая у = /31 sin—, из уравнения (13.39) по­лучаем уже известное выражение для критической силы:~/2'Следует подчеркнуть, что выражение (13.40) получено длястержня с переменным сечением. Приближенное значение кри­тической силы (13.40) можно уточнить, взяв двучленное при­ближение для прогиба у:у=+/3г«2,где функция 1)2, так же как и функция di, должна удовле­творять граничным условиям.

В этом случаеS3 =dpi+»Р2602 = 0.В результате имеем= 0533Так как вариации 6/3j независимы, то линейное соотношениеможет выполняться только тогда, когдаAi =0,А2 = 0.(13.41)Здесь-Р(/?1Ц2 +p2v'i «з) dz;оl-P+ ^2U22)dz.0Из условий (13.41) получаем систему, состоящую из двух ал­гебраических однородных уравнений относительно /31 и /?2:+ (ai2 -(ап -(«21£>21Р)+ («22 “IЬ\2Р)02 =Ь22Р){32 =0;Idz; a\2 = J EJv^v^dz;00II£>12 = У(13.42)Iгде ап = j EJv"2dz; £>ц — j00;v\v2dz;а21 = ^12! £>21 = £>12; «22 =0j EJv22 dz; b22 =0If'2J= / v2 dz.0Приравняв определитель системы (13.42) к нулю (чтобы полу­чить нетривиальное решение), получим уравнение относитель­но Р. Наименьший корень Р\ этого квадратного уравненияесть уточненное значение критической силы.Можно получить и более точное решение, представив ввиде рядап(13-43>»=j=i534В этом случае« = t %= о-(13.44)Из соотношения (13.44) получаем п однородных алгебраиче­ских уравнений относительно /Зу, аналогичных системе (13.42),а из условия равенства нулю определителя находим Ру (у == 1,2,..., п).

Наименьший корень Pj есть критическая сила,т.е. Ркр = Pi.Определим энергетическим методом критическую силудля случая, рассмотренного в примере 13.2. Поскольку силаприложена посередине длины стержня (см. рис. 13.15), ин­тегрирование в знаменателе формулы (13.40) следует вести от//2 до /, т.е.IJ EJy"2 dz---------------- •/ у'2 dz</2Примем, что у = /31 sin —. Тогда после интегрирования нахор2тг2£/18,7EJдим Ркр = —^2—• точное решение равно Ркр = ——.Рассмотренные примеры убеждают нас в том, что при­ближенным методом можно без особого труда получить доста­точно точное значение критической силы.Рассмотрим в заключение еще один пример.Пример 13.6. Определить критическую силу для защемленногостержня, находящегося под действием собственного веса q (рис. 13.21).Задаемся уравнением упругой линии изогнутого стержня в виде» = C(l-coaS)Легко убедиться в том, что это выражение удовлетворяет граничнымусловиям.535Определяем энергию изгиба:V.,r =Ii J EJv"2dz=±EJC2lОДля того чтобы налети работу сил д при пе­реходе от прямолинейной формы к криволиней­ной, подсчитаем, согласно выражению (13.36),(рис.

13.21):I .— sinXРабота сил д будет следующей:Приравнивая эту работу энергии изгиба, находим_ EJ **6,29EJ’жр - 2Р ^4 ~Р:точное решение дает* рЧ_ 7,83£J—й*Характерной особенностью энергетического метода явля­ется то, что ошибка в определении критических нагрузок всег­да имеет один знак. Приближенное значение критической си­лы оказывается завышенным по сравнению с точным. Объ­ясняется это тем, что, задаваясь приближенно формой упру­гой линии, мы как бы накладываем на систему лишние связи,заставляем ее деформироваться несвойственным ей образом итем самым увеличиваем в среднем ее жесткость.13.7. Продольно-поперечный изгибРассмотрим нагружение прямого шарнирно закрепленно­го стержня (рис. 13.22) продольной силой и системой попереч536s tW!iiuuiiuiwnnРис.

13.22ных сил. Такой вид нагружения принято называть продольно­поперечным изгибом.При составлении дифференциального уравнения упругойлинии изгибающий момент можно рассматривать как суммумомента поперечных сил Л/п и момента продольной силы Ру.При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент Мпзависит в явном виде только от z и не зависит ни от у, ни отпродольной силы Р:EJy" = -Ру + Мп.(13.45)Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид»" + ^ = У7’(13.46)£jJоткудау = С\ sin kz + С? cos kz + у* ,где у* - частное решение уравнения (13.46), зависящее отфункции Мп, т. е. от вида поперечной нагрузки. Напри­мер, для двухопорного равномерно загруженного стержня (см.рис.

13.22) имеем££Тогдау"+ к2у =*2);У2EJk2и, следовательно,у = С\ sin kz + С% cos kz +q2EJk2537Постоянные Ci и С2 подбирают с таким расчетом, чтобы про­гиб у при z = 0 и z = I обращался в нуль.В итогеУQ/,.5111**.Л /f2\-(1cosА/)———+1coskz+—(lz~zz)EJk4k' sin kl2 v7Изгибающий момент(1 — cos kl)M = E Jy11sin kz+ cos kz — 1sin klНаибольший изгибающий момент имеет место при z = 1/2:■Mm ахq 1 — cos(fcZ/2)к2 cos(A//2)(13.47)При малых значениях сжимающей силы Р (при малом к)это выражение после раскрытия неопределенности, как и сле­довало ожидать, принимает вид Л/тах = ql2/8, т.е.

макси­мальный момент совпадает с тем, который дает поперечнаяраспределенная сила д. По мере роста силы Р максимальныйизгибающий момент резко возрастает.При более сложных видах поперечной нагрузки, напримерпри нескольких поперечных силах, определение изгибающихмоментов описанным выше способом становится затрудни­тельным, поскольку изгибающий момент на различных участ­ках описывается различными функциями. В таких случаяхудобнее применять приближенные, менее точные, но более про­стые приемы расчета. Один из таких весьма распространен­ных способов мы сейчас и рассмотрим.Обратимся к выражению (13.45)EJy" = МП- Ру.При отсутствии прощальной силы оно принимает видEJy1; = Ма,где индекс “п” соответствует нагружению стержня только по­перечными силами. Исключая Л/п, получаемEJy" = EJy1; - Ру.538(13.48)Теперь примем, что форма упругой линии как при нали­чии продольных сил, так и без них близка к синусоиде:.

. 7Г2, . 1TZу = j sin —; з/п = /nSin—.Подставляем у и уп в уравнение (13.48). Тогда7Г27Г2EJf^ = EJfnlT + Pf.откудаf = 1 - Р/Ркр •(13.49)В случае других способов закрепления стержня часто пользу­ются той же формулой (13.39), но подставляют другое значениекритической силы.Предполагая изгибающие моменты пропорциональнымипрогибам, можно написатьи =(13 50)Проверим полученную формулу на примере рассмотрен­ного выше стержня с равномерно распределенной нагрузкой q.Пусть Р = РКр/2. Тогда, согласно формуле (13.50), М == 2Л/П.

Но поперечная нагрузка дает изгибающий моментЛ/п = д/2/8. Таким образом, в этом случае имеем Л/тах == 0,25g/2.Теперь посмотрим, что дает точная формула (13.47). Вы­ражение для fc, входящего в эту формулу, принимает при за­данном значении Р следующий вид:— == —EJV 2EJly/2'Тогда, согласно выражению (13.47),« 0,252g/2.Мтах =*cos----639Сопоставляя полученные значения Л/т4Х, видим, что они прак­тически совпадают.Хуже обстоит дело при явно несимметричных видах рас­пределения поперечных сил. Но в подобных случаях основноевнимание следует уделять не уточнению расчетных формул,а поиску средств, с помощью которых можно было бы вообщеизбавиться от подобных видов нагружения.Глава 14МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГОИССЛЕДОВАНИЯ ДЕФОРМИРОВАННОГОИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЙ14.1. Испытание материалов и конструкцийГоворя об экспериментальных методах замера деформа­ций и напряжений, необходимо делать различие между механи­ческими испытаниями материалов и испытаниями конструк­ций.Испытания материалов проводят с целью определения ме­ханических характеристик, таких, как предел текучести, вре­менное сопротивление, модуль упругости и т.д.

Кроме того,их можно проводить в исследовательских целях, например дляизучения условий прочности в сложных напряженных состоя­ниях или выявления механических свойств материала.Для испытания материалов используют образцы, разме­ры и форму которых варьируют в зависимости от имеющейсяизмерительной аппаратуры и самих условий испытания.Для получения объективных характеристик материаланеобходимо соблюдать условиеоднородности напряженного541состояния, т.е. необходимо обеспечить постоянство напря­женного состояния для всех точек испытуемого образца.

Этоусловие соблюдается, например, при растяжении, частичнопри сжатии короткого образца и при кручении тонкостеннойтрубки. Изменение свойств материала в этих испытаниях про­исходит одновременно во всем объеме образца и легко подда­ется количественной оценке. При кручении сплошных образ­цов, а также и при изгибе напряженное состояние являетсянеоднородным. Качественные изменения свойств материала вотдельных точках не влекут за собой заметных изменений вхарактеристиках образца.Требование однородности напряженного состояния накла­дывает серьезные ограничения на результаты многих видовиспытаний. В частности, до сих пор не удается провести объ­ективные испытания в условиях однородного всестороннего ра­стяжения.

Это напряженное состояние можно создать покатолько в отдельных точках образца, например в центре сплош­ного шара, быстро нагреваемого извне.Одним из видов механических испытаний являются тех­нологические пробы, дающие не объективные, а только срав­нительные характеристики свойств материала при строго ре­гламентированных условиях испытания.