Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика, страница 4

Если представляется возможность исключитьсистематическую составляющую погрешности сравнением с эталоном,.то за случайную составляющую погрешности прибора принимают Если же исключить систематическую погрешность прибора покаким-либо соображениям не удается, то ее необходимо учесть,расширив соответствующим образом границу доверительногоинтервала. За величину с приходится принимать с, так как доляее в суммарной погрешности неизвестна.Иногда предельная погрешность задается классом точности100прибора, где хN равно максимальному значению рабочейхN20хN. Например:100класс точности милливольтметра= 0.5, максимальное значениерабочей части его шкалы хN = 150 мВ.

Тогда = 0.005 150 мВ = 0.75мВ и постоянна для всей шкалы прибора.Если в паспорте и на шкале прибора нет указаний о величине , тозапринимают половину цены наименьшего деления шкалы илицелое деление, если они трудно различимы.В случае однократных или повторных измерений величины х 0 ссовпадающими результатами при нормальном распределениислучайной погрешности приборадоверительная границарассчитывается по формулечасти шкалы.

Тогда предельная погрешность( x гp )пpkw3(0.13),где k w - коэффициент, зависящий от значения доверительнойвероятности w;- абсолютная максимальная погрешность прибора,определяемая его классом точности либо половиной цены егонаименьшего деления.Значения коэффициента k w для различной доверительнойвероятности w приведены в табл.0.2.Таблица 0.2w0.90.950.990.997kw1.6451.9602.5763.000В общем случае, если значение доверительной границы случайнойпогрешности прямых измерений оказывается сравнимым со значениемдоверительной погрешности прибора, результирующая доверительнаяпогрешность прямого измерения находится из выраженияnx гpt w ,n2x i2i 1n (n 1)2kw3.(0.14)Минимальное значение погрешности измерений есть приборнаяпогрешность.21Результатинтервалаизмеренийx;представляютх отввидехгp додоверительногохгp ; w = 0.9.Косвенные измеренияОбычно приходится вычислять искомую величину по результатамизмерений других величин, связанных с этой величиной определеннойфункциональной зависимостью.

Такие измерения называютсякосвенными. Например, плотность тела (пластины)определяетсячерез массу тела и его объем:mVm,L b hгде L, b, h - линейные размеры пластины.Величины m, L, b, h можно измерить, а затем вычислить плотность.Итак, чаще всего искомая величина является функцией несколькихпеременных:А = f(x, y, z, ...)(0.15)Если величины x, y, z, ... случайны, то А тоже будет случайнойвеличиной.Из теории вероятностей известно, что среднее значение функциислучайной величины приближенно равно функции от среднихзначений ее аргументов при условии, что погрешности измеренийаргументов х, y, z,...

малы по сравнению с величинами x, y, z, ..., тоестьA f ( x, y, z,...),(0.16)где А - среднее значение величины А, х, y, z, ... - средние значениявеличин x, y, z, ... (см формулу 0.1).Для оценки доверительной границы случайной погрешностикосвенного измерения применяют формулу:Aгpгдех гp ,Ax22x гpx xyгp ,Ay22yгpy yAz22zгp...(0.17)z zzгp , ... - доверительные границы случайныхпогрешностей величин x, y, z, ... при одинаковой w;Ах,x x22Ay,y yAz, ... - частные производные функции А по x, y, z, ...,z zвычисленные при xx, y y, z z,...Относительная величина случайной погрешности косвенногоизмерения определяется в этом случае какА гpA100%.A(0.18)Если распределения величин хi, yi, zi,...

нормальные(i порядковый номер измерения), то распределение величины Аi тожебудет нормальным, поэтому для определения доверительной границыслучайной погрешности косвенного измеренияАг р можноприменить метод обработки случайных погрешностей прямыхизмерений.Для этого найдем значенияА f ( x, y, z,...) и Aif ( x i , yi , zi ,...)(0.19)для каждого номера измерений.Аналогично формуле (0.2) находят величины Аi:АiAiA.(0.20)Оценкой средней квадратической погрешности величины Ааналогично формулам (0.8) и (0.10) будетn( Ai )2i 1An (n 1),(0.21)если случайные погрешности заведомо больше приборных.Доверительная погрешность Агр при малом числе измерений(расчетов):nА грt w,nAt w,n( Ai )2i 1n (n 1),(0.22)где t w , n - коэффициенты Стьюдента (см. табл.0.1) для заданных w и n.Результат косвенного измерения величины А представляется вформеА; А от ( t w , n A ) до ( t w , n A ) ; w.(0.23)23После этого по формуле (0.18) находится относительная величинаслучайной погрешности.В случае, если А = f(x, y, z, ...) - логарифмируемая функция, тоотносительная погрешность может быть определена из следующих1 A 1 A(ln A)соображений: так как, тоA xx AxA(ln A)x2(ln A)y2x грx x22y грy y(ln A)z22z гр....(0.24)z zРасчет погрешностей при графическойобработке результатов измеренийВ лабораторных работах 1, 2, 3, 11, 22, 23, 27, 44, 45 значенияопределяемых величин рассчитываются по угловому коэффициентунаклонаkпрямолинейногографика,построенногопоэкспериментальным точкам, к оси абсцисс.

Прямую проводят такимобразом, чтобы точки находились как можно ближе к ней.Соответствующая процедура в статистике называется линейнойрегрессией и сводится к определению коэффициентов k и b линейнойзависимости вида y kx b по совокупности результатов наблюденийx1, y1; x2, y2; ... xn, yn.Расчет коэффициентов выполняется с помощью методанаименьших квадратов по формуламkxy( x )(y)22(x 2 ) yx ( xy )(x ) (x)b2(0.25)(0.26)2 2(x ) (x )Здесь x, yсредние арифметические значения величин x и y(см.формулу (0.1)), xy и x 2 для n измерений могут быть рассчитаныследующим образомnnx i yixyi 1; x2i 1x i2.nnДля графика, построенного по коэффициентам, найденным поформулам (0.25) и (0.26), сумма квадратов расстояний по ординате отпрямой до точек с координатами xi и yi оказывается наименьшей.

При24вычислении этой суммы индекс i последовательно принимает значенияот 1 до n, где n - количество пар xi, yi результатов наблюдений.Если графическая обработка результатов проведена достаточноаккуратно, то построенный график оказывается близким коптимальному, а угловой коэффициент наклона графика y x малоотличается от коэффициента k, рассчитанного по методу наименьшихквадратов.

В этом случае для оценки погрешностейугловогокоэффициента наклона графика (k) и ординаты точки пересечения его свертикальной осью (b) допустимо использовать выражения,применяемые при статистической обработке результатов по методунаименьших квадратов.Среднее квадратическое отклонение углового коэффициентанаклона графика k и коэффициента b:0k,n(0.27)x)2(x ii 1bx2 .0(0.28)y0 , а y0 - оценка среднего квадрата отклонения поЗдесь 0ординате результатов наблюдений yi от величин, рассчитанных поформуле y kx b с помощью вычисленных по методу наименьшихквадратов коэффициентов:y0n1(n2) i[ yi(kx ib)]2 .(0.29)1При графической обработке y0 это сумма квадратов вертикальныхотклонений результатов наблюдений от построенной прямой, деленнаяна (n 2) .

Если делить на число наблюдений n, то получаетсязаниженная, т.е. смещенная оценка среднего квадрата отклонения.Величина y0 не зависит от количества наблюдений n, а k, как следуетиз выражения (0.27), должна уменьшаться с возрастанием n. Дляуменьшения погрешности величины k следует стремиться кувеличению ширины интервала значений x, это видно из формулы (0.27).Если график отличается от оптимального, то сумма квадратовотклонений экспериментальных точек от прямой не будет наименьшей,возрастут величины y0 и k, как того и следует ожидать.Доверительная граница случайной погрешности и относительнаяпогрешность вычисляются по известным формулам (0.10) и (0.12):k грt w ,nk;kk грk100% ,(0.30)25где tw,n - коэффициент Стьюдента, определяемый по табл.0.1.В некоторых работах требуется по графику определить координатуx0 точки пересечения графика с горизонтальной осью.

Есликоэффициенты k, b и их граничные погрешности определены, тоbx0, х0 рассчитывается, как погрешность косвенных измерений:kx 0грx0bгрb2k грk2.(0.31)Суммируя вышесказанное, приведем краткие рекомендации порасчетупогрешностейграфическогометодаопределениякоэффициентов k и b линейной зависимости y kx b .1. Выбрать масштабы по осям так, чтобы разность максимальных иминимальных значений каждой величины была не менее 10 см.2. Изобразить экспериментальные данные на графике точками,кружками или крестиками и провести прямую между точками так,чтобы расстояния от нее до экспериментальных точек были как можноменьше.3.

Выбрать на построенной прямой две достаточно удаленные другот друга точки с координатами xl, yl, хh, yh и рассчитать коэффициент kпо формуле:y h yl.kxh xl4. Если необходимо, определить коэффициенты b и х0 – ординату иабсциссу точек пересечения прямой с ОY и ОХ.5. Измерить вертикальные отклонения экспериментальных точек отграфика с учетом масштаба и определить величину y0 по формуле(0.29).6.

Рассчитать среднее отклонениенайденного угловогоkкоэффициента наклона k по формуле(0.27) и его граничнуюпогрешность kгр по формуле (0.30).7. Если требуется, определить погрешности коэффициентов b и х 0по формулам (0.28) и (0.31).Правила приближенных вычисленийПри физических измерениях принято писать только значащиецифры, особенно в окончательном результате. При этом принятосчитать, что разряд сомнительной цифры числа совпадает с разрядомпервой значащей цифры его абсолютной погрешности.26Числовые результаты удобно представлять следующим образом:ставить запятую после первой отличной от нуля цифры, а все числоумножить на соответствующую степень десяти.