Г.Г. Спирин - Механика, молекулярная физика и термодинамика, страница 3

Величина их не может бытьустановлена до опыта. Их возникновение вызвано неточностьюизмерения (случайными ошибками экспериментатора, неточнымсоблюдением методики измерения и т.д.) и непостоянством самойизмеряемой величины (например, диаметра цилиндра или толщиныпластины).Систематическая погрешность - это составляющая погрешностиизмерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаясяпри повторных измерениях одной и той же величины.

Она может бытьучтена или исключена изменением метода измерения, введениемпоправок к показаниям приборов, учетом систематического влияниявнешних факторов и т.п. Например: поправка, связанная с изменениемдлины измерительной линейки и тела в результате тепловогорасширения; поправка, связанная с потерей веса при взвешивании ввоздухе, величина которой зависит от температуры, влажности воздухаи атмосферного давления.Исключение систематических погрешностей всегда связано сдополнительными расчетами или измерениями.Грубые ошибки (промахи) являются также случайными, однако иххарактер существенно отличается от характера случайных ошибокизмерения.

Если случайные ошибки измерения возникают приисправно работающей аппаратуре и правильных действияхэкспериментатора, то причиной грубых ошибок являютсянеисправность измерительной техники или ошибки в работеэкспериментатора. Поэтому, когда грубые ошибки значительны, ониобнаруживаются без большого труда и этот результат должен бытьисключен.Основным объектом изучения теории ошибок являются случайныеошибки при отсутствии систематических ошибок. Если какая-либовеличина измеряется в одинаковых условиях несколько раз, товозникает необходимость в статистической обработке результатовизмерений этой величины, чтобы учесть и оценить случайные ошибки.Основным математическим аппаратом для статистических методовобработки результатов является теория вероятностей и математическаястатистика.Обозначим х0 не известное нам точное значение измеряемойвеличины.Произведя n измерений, получим х1, х2, х3, ..., хn - значенияизмеряемой величины, которые называются результатами наблюдения.Величины хi (i = 1, 2, 3, ..., n) отличаются друг от друга и от х 0.

Есливеличины хi измерены с одинаковой точностью, то для оценки х015применяютсреднеенаблюдений:арифметическоезначениерезультатовnx1 x 2xx 3 ... x nnxii 1n.(0.1)Среднее арифметическое x называется результатом измерений.Поскольку величины результатов наблюдений хi носят случайныйхарактер, то результат измерения – величина x – тоже будет случайнойвеличиной; и отклонения от x результатов наблюдения хi будутслучайными:xixix, i = 1, 2, 3, ..., n .(0.2)Следует отметить, что величина хi значительно меньше величиныхi. При большом числе измерений влияние каждого отдельногорезультата наблюдения хi на величину x примерно равноценно.Абсолютная погрешность результата измеренийх, равнаяотклонению x от х0, тоже будет величиной случайной:(0.3)x x 0 x.Так как величина х0 нам не известна, оценим величину х через хi.х состоит из многих случайных величин хi, из которых ни одна недоминирует над остальными. При этом условии случайныепогрешности хi подчиняются нормальному закону распределенияГаусса, который справедлив при следующих предположениях:1) погрешности измерений( хi)могут принимать непрерывныйряд значений;212) появление равных по22величине, но противоположных21познакуслучайныхпогрешностей равновероятно;3)малыеслучайныепогрешности обладают большей0хiвероятностью появления, чемdxбольшие.Рис.

0.7Законнормальногораспределения характеризуется кривыми, представленными на рис.0.7.Вид кривых отражает эти три условия.По оси абсцисс отложена величина случайной погрешности хi, пооси ординат - значения функции ( хi), характеризующей вероятностьпоявления данной погрешности. Функция( хi) называется16плотностью распределения вероятности ошибкиГаусса и имеет видхi или функциейx i212 2.(0.4)2Произведение ( хi) на dx - длину интервала ( хi, хi + dx), равноезаштрихованной площади на рис.0.7, дает вероятность dw того, чтовеличина ошибки заключена между хi и хi + dx, то есть( xi )edw = ( хi) dx.(0.5)Доверительная вероятность w выражается в процентах или доляхединицы и задается экспериментатором. В лабораторном практикумеобычно достаточно w = 0.9 = 90%.Соотношение (0.5) справедливо, если функция ( хi) подчиняетсяусловию нормировки:( x i ) dx 1.(0.6)Равенство (0.6) означает следующее: вероятность того, что),погрешность измерения будет заключаться в интервале ( ,равна единице.

Это соответствует равенству единице всей площади подкривой Гаусса.В формуле (0.4):е - основание натуральных логарифмов;2- дисперсия случайной величины;- среднее квадратическое отклонение результата наблюдения.Дисперсия (рассеяние) 2 характеризует разброс значений хiотносительно х0. Чем меньше (хi – х0), тем меньше дисперсия, темточнее измерения. Дисперсия 2 характеризует быстроту уменьшениявероятности появления погрешности х с ростом этой погрешности, тоесть при большей дисперсии (рис.0.7) кривая нормальногораспределения расплывается, менее ярко выражен максимум, большевероятность больших отклонений.Так как истинное значение х0 неизвестно, оценкой дисперсии 2является так называемая дисперсия результата серии из n измерений.При ограниченном числе измерений ее приближенное значение можноопределить по формулеn2х( xi )2i 1n (n 1).(0.7)17Наиболее точно нормальный закон распределения ошибокхарактеризуется среднеквадратичной ошибкой.

Среднеквадратичнаяпогрешность серии измеренийn( xi )2i 1xn (n 1).(0.8)Все эти формулы тем справедливее, чем больше число измерений.( хi)-3-2-0 ++2+3хРис. 0.8На рис.0.8 показана кривая нормального распределения с указанием, 2 , 3 . Например, доверительная вероятность интервала (хi – ,хi + ) - заштрихованная площадь под кривой Гаусса – равна 0.68.

Этоозначает, что при достаточно большом числе измерений примерно 68%их приведет к результатам, отличающимся от истинного не более, чемна. Для доверительного интервала (хi – 2 , хi + 2 ) доверительнаявероятность будет составлять 0.95, а для интервала (хi – 3 , хi + 3 ) –0.997.Записывается это с указанием доверительной вероятности:х i;х i;х i;хi от – до + ; w = 0.68хi от –2 до +2 ; w = 0.95хi от –3 до +3 ; w = 0.997.(0.9)Для экспериментов в лабораторном практикуме характернонебольшое число измерений одной величины (3...5).В 1908 г.

В. Госсет (псевдоним “Стьюдент”) доказал, чтостатистический подход справедлив и при малом числе измерений.18На рис.0.9 приведено сопоставление распределений Гаусса иСтьюдента ( ----- - кривая распределения Гаусса,- криваяраспределения Стьюдента). Распределение Стьюдента при числеизмерений n(начиная, примерно, с n = 20) переходит враспределение Гаусса, а при( хi)малом числе измерений малоотличается от него.Доверительнуюграницупогрешности х для заданной wи при малом n определяют поформулехгрt w,n(0.10)x,гдекоэффициентt w ,nСтьюдента,зависящийотРис. 0.9доверительной вероятности ичисла измерений, находится по табл.

0.1 для заданных w и n.х0Таблица 0.1Значения коэффициента Стьюдентаnwn0.90.950.9926.312.763.732.94.342.456w0.90.950.9971.92.43.79.981.92.43.53.25.891.92.33.42.12.84.6101.82.23.22.02.64.0111.82.23.1Обычно в лабораторных работахдоверительная вероятность w = 0.9.считаетсядостаточнойОкончательный результат представляется в виде:х;хгр от ( t w , nx)до ( t w , nx );w,(0.11)что означает: измеряемая величина принадлежит интервалу значений( x t w ,n x ; x t w,n x ) c доверительной вероятностью w.В итоге измерений и вычислений получают число, в которомразличают цифры: верные, не содержащие ошибок, и сомнительные, вкоторых содержатся ошибки.19Абсолютная ошибка x t w ,n x показывает, в каком знаке этогочисла содержится неточность.

Поэтому абсолютная ошибкаокругляется до одной значащей цифры.В окончательном результате оставляют все верные цифры и однусомнительную. В промежуточном результате пишут еще одну цифру,что дает возможность точнее округлить окончательный результат.Для сравнения точности измерений величин обычно вычисляетсяотносительная погрешностьx грx100% .(0.12)По величине относительной погрешности удобно сравнивать ирезультаты измерений однородных величин.При прямых измерениях может оказаться, что результатыотдельных измерений одинаковы, и тогда хi = 0. В этом случаедоверительная граница погрешности прямых измерений определяетсяпогрешностью прибора.Систематическая составляющая погрешности приборас(связанная, например, со смещением начала отсчета шкалы, снеравномерностью нанесения штрихов шкалы и т.п.) может бытьисключена введением соответствующих поправок к показаниямиспользуемого прибора, полученных сравнением с эталонным.Случайная составляющая погрешности прибора  (погрешностьвследствие трения в деталях прибора, ошибки “мертвого хода” егоподвижных частей, погрешность округления при отсчете по шкалеприбора и т.п.) неотличима от прочих случайных погрешностейизмерения.Суммарная погрешность прибора обычно задается величинойпредельной погрешности , указанной в его паспорте или нанесеннойна шкалу прибора.