Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(государственный технический университет)Н. И. САВОСТЬЯНОВАМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯк выполнению расчетно-графической работыпо математическому анализуРекомендовано учебно-методической комиссиейкафедры "Математическая кибернетика" МАИдля студентов 4 факультетаI курс, I семестрМосква2009Оригинал-макет подготовлен Слободской П.С. и Никаноровой Е.А.Оглавление1. Типовой вариант расчетно-графической работы2.

Построение кривой, заданной в параметрической форме или в полярной системе координат (методическиеуказания к п. I расчетно-графической работы)2.1. Параметрические задание кривой2.2. Построение кривой в полярной системе координат3. Исследование функции f (x) на непрерывность3.1. Исследование функции f (x ) на непрерывность в точке (методические указания к п.

II а)3.2. Исследование функции f (x ) на непрерывность на промежутке (методические указания к п. II б)4. Комплексные числа, действия над ними, решение уравнений в комплексной области (методическиеуказания к п. III а, б)4.1. Основные определения4.2.

Арифметические действия над комплексными числами4.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа4.4. Алгебраические действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Решениеуравнений5. Исследование функции и построение ее графика (методические указания к п. IV)6. Дифференцирование функций многих переменных и его приложения6.1. Исследование на экстремум функции u = f ( x, y , z ) (методические указания к п. V а)6.2. Геометрические приложения (методические указания к п. V б)7. Геометрические приложения определенного интеграла (методические указания к п.

VI)8. Отыскание области сходимости степенного ряда (методические указания к п. VII)Литература1. Типовой вариант расчетно-графической работыI.Построить кривую: x = 3 cos t , y = 2 sin t .IIа. Исследовать функцию f (x ) на непрерывность в указанной точке x 0 , если11, x0 = − .3x + 13Построить график f (x) в окрестности точки x 0 .f ( x) =IIб. Исследовать f (x) на непрерывность на данном промежутке; построить график f (x) на этомпромежутке, если⎧ x + 3, − 2 ≤ x < 0,⎪f ( x) = ⎨1, x = 0,⎪ 2⎩ x , 0 < x ≤ 2.⎛z ⎞IIIа. Вычислить: z1 z 2 , arg z 2 , Re( z1 z 22 ) , Im⎜ 1 ⎟ , если⎜z ⎟⎝ 2⎠z1 = 1 − i , z 2 = 3 + i .IIIб. Решить уравнение: z 3 = −2 + 2i .IV.

Исследовать функцию f ( x) и построить ее график, еслиf ( x) =x3x 2 −1.Vа. Исследовать функцию u ( x, y, z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 4 xy − 4 yz − 4 x + 4 z .Vб. Найти grad f ( M ) и производную в направлении grad f ( M ) , еслиf ( x, y, z ) = x 3 + 2 xy 2 + 3 yz 2 , в точке M (0, 1, 1) .VI. Найти площадь, ограниченную осью OX и одной аркой циклоиды: x = a (t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) .VII.

Найти область сходимости степенного ряда∞( x − 2) n∑ (n + 1) ln(n + 1) .n =12. Построение кривой, заданной в параметрической формеили в полярной системе координат(методические указания к п. I расчетно-графической работы)Условие: построить кривую. Кривая задана либо в параметрической форме, либо в полярной системекоординат.2.1. Параметрическое задание кривой⎧ x = x(t ) → X — множество значений функции x(t ),⎪⎨ y = y (t ) → Y — множество значений функции y (t ),⎪t ∈ T— множество значений параметра t.⎩Для функции y (x) множество X есть область определения, множество Y — область значений.

Криваястроится в декартовой системе координат по точкам с использованием табл. 1.Таблица 1ytxt0x(t 0 )y (t 0 )………⎧ x = 3 cos t ,Пример 1. Построить кривую ⎨заданную в параметрической форме.⎩ y = 2 sin t ,Решение.Заметим, что t ∈ [0;2π ] , так как T = 2π — период для функций x(t ) и y (t ) .При этом: x = [− 3;3] , y = [− 2;2] , так как −1 ≤ cos t ≤ 1 и −1 ≤ sin t ≤ 1 .В данном случае можно получить дополнительные сведения о кривой, исключив параметр t :⎧x⎪⎪ 3 = cos tx2 y2⇒+= 1 , так как cos 2 t + sin 2 t = 1 .⎨y94⎪ = sin t⎪⎩ 2Пусть точка ( x; y ) лежит на этой кривой, т.е. для нее справедливо(− x) 2y2x2 y2+= 1 , но тогда точка (− x; y ) также94x2 y2+= 1 . Это означает, что кривая симметрична9494относительно оси OY . Аналогично точка ( x;− y ) также лежит на кривой, отсюда следует симметрия кривойотносительно оси OX .Эта двойная симметрия позволяет построить кривую в одной четверти плоскости OXY и затем отразитьотносительно осей OX и OY .Составим таблицу:лежит на этой кривой, так какТаблица 2ytx03π3 362π3 242π332π02+≈ 2,6012≈ 2,13 ≈ 1,732 ≈ 1,432= 1 , илиНайденные точки лежат в I-ой четверти: от точки (3;0) на оси OX до точки (0;2) на оси OY .

Строим поточкам график в первой четверти и отражаем симметрично. Результат изображен на рис. 1.y21−30x1 2 3−2Рис. 1⎧t3,⎪x =⎪1+ t2Пример 2. Построить кривую ⎨заданную в параметрической форме.t2⎪⎪⎩ y = 1 + t 2 ,Решение.Заметим, что t ∈ (−∞;+∞); x(0) = 0 ; y (0) = 0 ;Вычислим пределы:⎫t3lim x(t ) = lim= +∞ ⎪2t → +∞t → +∞ 1 + t⎪⎬ ⇒ X = (−∞;+∞) ;3t⎪lim x(t ) = lim= −∞ ⎪t → −∞t → −∞ 1 + t 2⎭⎫= 1⎪t →∞t →∞ 1 + t 2⎪⎬ ⇒ Y = [0;1) .2t⎪y (t ) =≥0⎪21+ t⎭lim y (t ) = limt2Составим таблицу:txy−28−54−11−215200011212Таблица 33282,7540,95Из табл.

3 видно, что кривая симметрична относительно оси OY . Строим график по точкам в первой четвертии отражаем симметрично. Результат изображен на рис. 2.yy =110,90,80,5−3- 2 −1,6 −1 −0,50 0,5Рис. 21 1,622,7 3x2.2. Построение кривой в полярной системе координатM (r; ϕ )rточка O — полюс, OP — полярная ось,r и ϕ — полярные координатыϕOPРис.

3r ≥ 0 - расстояние от точки M на плоскости до точки O (полярный радиус);0 ≤ ϕ < 2π , ϕ - угол между OM и OP (полярный угол). В точке O угол не определен.Уравнение кривой: r = r (ϕ ) , ϕ ∈ [a; b] .Кривая существует только для тех значений ϕ , для которых r (ϕ ) ≥ 0 . При построении на луче ϕ 0 от точки Oоткладывают расстояние r0 = r (ϕ 0 ) , повторяя эту процедуру для всех ϕ ∈ [a; b] .Пример 1. Построить кривую r = a (1 + cos ϕ ) , где a > 0 .Решение.Так как −1 ≤ cos ϕ ≤ 1 , то r ≥ 0 при всех ϕ ∈ [0;2π ) .Здесь можно также заметить, что r (−ϕ ) = r (ϕ ) : a(1 + cos(−ϕ )) = a (1 + cos ϕ ) , а это означает, что криваясимметрична относительно полярной оси (рис.

4).r (ϕ )ϕOP-ϕr (−ϕ )Рис. 4Поэтому можно составить таблицу для ϕ ∈ [0; π ] , а затем использовать симметрию относительно полярной оси.Таблица 4ϕ0r2aπ4a(1 +2)2≈ 1,7 aπ3π2a4a(1 −π2)20≈ 0,3aϕ=ϕ=3π2ϕ=4aϕ=πππ41,7 a0Рис. 5Полученная кривая называется кардиоидой (рис. 5).a2aPПример 2. Построить кривую r = sin 2ϕ .Решение.Найдем те значения ϕ , для которых sin 2ϕ ≥ 0 : 0 ≤ 2ϕ ≤ π ; 0 ≤ ϕ ≤π2, или на всей оси: πk ≤ ϕ ≤2+ πk , k ∈ Z .3πи π ≤ϕ ≤, так как полярный угол ϕ ∈ [0;2π ) .22Функция r = sin 2ϕ имеет период T = π , так как sin 2(ϕ + π ) = sin 2ϕ , поэтому значения для r на лучах ϕ иϕ + π одинаковы.На отрезке [0;2π ] получаем два промежутка: 0 ≤ ϕ ≤ππ⎡ π⎤Таблицу сделаем для ϕ ∈ ⎢0; ⎥ :⎣ 2⎦ϕrТаблица 50πππ6012124132π5ππ312203212На лучах (ϕ + π ) откладываем расстояние r (ϕ ) .ϕ=πϕ=2ϕ=5ππ3ϕ=12π4ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=π12π6ϕ=01+π12+ππ4+πϕ=ϕ=π35π+π12+πϕ=Рис.

63π2=π2+ππ6π12ϕ =0P3. Исследование функции f (x) на непрерывностьПри исследовании функции на непрерывность следует вычислить ее односторонние пределы в точке разрыва иохарактеризовать разрыв.Разрыв I рода: односторонние пределы существуют и конечны. Если они при этом и равны, то разрывназывают устранимым (если функция не определена в точке).Разрыв II рода: хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.3.1. Исследование функции f(x) на непрерывность в точке(методические указания к п.

II а)Исследовать f (x) на непрерывность в указанной точке; начертить график функции f (x) вблизи точкиразрыва.Пример 1. f ( x) =11, x =− .3x + 1 03Решение.1Вычисляем односторонние пределы:⇒ x 0 = − – точка разрыва II рода.31lim f ( x) = lim= −∞;11x→ − − 0x→ − − 0 3x + 13lim1x→ − + 033f ( x) =1= +∞ ;1x → − + 0 3x + 1lim3График f (x) изображен на рис. 7.y−1130xРис. 7Пример 2. f ( x) =sin xx, x0 = 0 .Решение.Вычисляем односторонние пределы:sin xsin xlim f ( x) = lim= lim= −1 ;x→ − 0x→ − 0 xx→ − 0 − x⇒ x 0 = 0 – точка разрыва I рода.lim f ( x) = limx→ + 0x→ + 0sin xx= limx→ + 0sin xxГрафик f (x) изображен на рис. 8.=1;y10x−1Рис. 8xПример 3. f ( x) =22 9− x, x0 = 3 .Решение.xНайдем знаки функцииx9− x2-+:-+−3x30x→ −∞ при x → 3 + 0 .9− x9 − x2Тогда при вычислении односторонних пределов имеем:откуда ясно, что2→ +∞ при x → 3 − 0 иxf (3 − 0) = lim f ( x) = lim22 9− xf (3 + 0) = lim f ( x ) = lim22 9− xx→ 3 − 0x→ 3 − 0= +∞ ;⇒ x 0 = 3 – точка разрыва II рода.xx→ 3 + 0x→ 3 + 0= 0;График f (x) изображен на рис.

9.y03xРис. 9Пример 4. f ( x) =x 2 − 3x + 2x 2 −1, x0 = 1 .Решение.Заметим, что x 0 - точка разрыва, так как f (x) не определена в этой точке.Вычисляем односторонние пределы:( x − 1)( x − 2)x 2 − 3x + 21f (1 − 0) = lim= lim=− ;2x→1 − 0x → 1 − 0 ( x − 1)( x + 1)2x −1f (1 + 0) = limx→1 + 0x 2 − 3x + 22x −1= limx→1 + 0( x − 1)( x − 2)( x − 1)( x + 1)=−12.1Очевидно, f (1 − 0) = f (1 + 0) = − , следовательно, x 0 = 1 - точка устранимого разрыва I рода.2График f (x) изображен на рис. 10.y0−1x12Рис. 103.2. Исследование функции f(x) на непрерывность на промежутке(методические указания к п. II б)Исследовать f (x) на непрерывность на промежутке; построить график функции f (x) на этом же промежутке.Здесь следует исследовать точки, в которых f (x) не определена; точки, в которых f (x) слева и справа заданапо-разному, а также концы промежутка, если они входят в промежуток.⎧ x + 3, − 2 ≤ x < 0;⎪Пример 1.

f ( x) = ⎨2, x = 0;⎪ 2⎩ x , 0 < x ≤ 2.Решение.Исследуем поведение функции в точках x = 0 , x = −2 , x = 2 .Следует отметить, что f (x) непрерывна на (−2;0) и (0;2) , так как совпадает на этих интервалах снепрерывными функциями x + 3 и x 2 .x = −2 :Вычисляем предел справа:f (−2 + 0) = lim f ( x) = lim ( x + 3) = 1 ;x→ − 2 + 0x→ − 2 + 0f (−2) = 1 ⇒ f ( x) непрерывна справа в точке x = −2 , так как f (−2 + 0) = f (−2) .x = 0:Вычисляем односторонние пределы:lim f ( x) = lim ( x + 3) = 3⎫x→ − 0x→ − 0⎪⎬ ⇒ x = 0 – точка разрыва I рода.2lim f ( x) = lim x = 0 ⎪x→ + 0x→ + 0⎭x = 2:Вычисляем предел слева:lim f ( x) = lim x 2 = 4 ;x→ 2 − 0x→ 2 − 0f (2) = 4 ⇒ f ( x) непрерывна слева в точке x = 2 , так как f (2 − 0) = f (2) .Замечание. В точке x = −2 считаем только предел справа, так как слева от x = −2 функция f (x) не задана, а вточке x = 2 — только предел слева, так как справа от x = 2 функция не задана.График f (x) изображен на рис.