Методические указания к выполнению РГР по математичскому анализу, страница 5

22).⇒ 2x − x 2 = 0 ⇒ ⎨⎨⎪⎩ y = 0;⎩ x = 2,yy = 2x − x 21S023xy = −xРис. 2233⎛327 − 18 9x 3 ⎞ 3 27S = ∫ (2 x − x 2 − (− x))dx = ∫ (3x − x 2 )dx = ⎜ x 2 − ⎟| =−9 == .⎟⎜203 ⎠222⎝00Замечание.При параметрическом задании кривой x = x (t ), y = y (t ), a ≤ x ≤ b, следует найти нижний t н и верхний t впределы для переменной t из условий: x(t ) = a, x(t ) = b; если y (t ), x ′(t ) непрерывны на [t ; t ] , тонвнвtâS=∫ y(t ) x ′(t )dt ,y (t ) ≥ 0.tíПример 3. Найти площадь, ограниченную осью ОХ и одной аркой циклоиды x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t ).Решение.Для первой арки циклоиды t ∈ [0;2π ], при этом t = 0 ⇒ x = 0, t = 2π ⇒ x = 2πa (рис. 23).y2aS0πa2πaxРис.

23Для использования формулы вычислим x ′(t ) = a(1 − cos t ). Тогда2πS=2π2π11 + cos 2t ⎞22 ⎛∫ a(1 − cos t )a(1 − cos t )dt = a ∫ (1 − 2 cos t + 2 cos 2t )dt = a ∫ ⎜⎝1 − 2 cos t + 2 ⎟⎠dt =0002π2π313131= a 2 ∫ ( − 2 cos t + cos 2t )dt =a 2 ( t − 2 sin t + sin 2t ) | = a 2 ( 2π − 2 sin 2π + sin 4π − 0) = 3πa 2 .02224240В полярной системе координат кривая задается уравнением r = r (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β .r (ϕ )β0αРРис. 24Тогда площадь S криволинейного сектора: S =1β2 α∫r 2 (ϕ )dϕ .Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1 + cos ϕ ), a > 0.Решение.1В силу симметрии можно вычислить S , где 0 ≤ ϕ ≤ π (рис. 25).21S21 0S2012S=2aaРис. 25P2aπππ2000122222∫ a (1 + cos ϕ ) dϕ ⇒ S = a ∫ (1 + 2 cos ϕ + cos ϕ )dϕ = a ∫ (1 + 2 cos ϕ +π1 + cos 2ϕ2) dϕ =π3131313πa 2.= a 2 ∫ ( + 2 cos ϕ + cos 2ϕ )dϕ = a 2 ( ϕ + 2 sin ϕ + sin 2ϕ ) = a 2 ( π + 2 sin π + sin 2π − 0) =022424220|2.

Вычисление длины l дуги кривой L.ba) L : y = f ( x), x ∈ [a; b] ⇒ l = ∫ 1 + ( f ′( x)) 2 dx; явное задание кривой (в декартовой системе координат);ab) L : x = x(t ), y = y (t ), t ∈ [t1 , t 2 ] ⇒ l =t2( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dt ; параметрическое задание кривой;∫t1c) L : r = r (ϕ ), ϕ ∈ [α ; β ] ⇒ l =βr 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ )) 2 dϕ ; задание кривой в полярной системе координат.∫αПример 1. Найти длину дуги кривой y = ln sec x, содержащейся между x = 0 и x =Решение.Кривая задана в явном виде (п. а)): f ( x) = ln sec x, a = 0, b =y = ln sec x = ln1= − ln cos x;cos xf ′( x) = −πl=3∫π3π3.. Тогда(− sin x)= tg x;cos xπ1 + tg 2 x dx = 1 + tg 2 x =01cos 2 x=31∫ cos x0πdx = (ln tg x + sec x ) | 3 = ln 3 + 2 − ln 0 + 1 = ln(2 + 3 ),0так как ln 1 = 0.Заметим, что12cos x=11π, так как x ∈ [0; ] и, следовательно, cos x ≥ 0.=3cos x cos xПример 2.

Найти длину дуги одной арки циклоиды x = a(t − sin t ), y = a(1 − cos t ), t ∈ [0;2π ].Решение.Кривая задана в параметрической форме (п. b)). Вычислим:x ′(t ) = a(1 − cos t ), y ′(t ) = a sin t ,2πl=2π∫02π=a∫02(1 − cos t ) dt = 1 − cos t = 2 sin 20[0;2π ]2πa 2 (1 − cos t ) 2 + a 2 sin 2 t dt = a ∫ 1 − 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t dt = a ∫ 2 − 2 cos t dt =02πtt=a4 sin 2 dt =220∫sin 2tttt= sin = sin , так как sin ≥ 0 на22222πtt 2π= 2a sin dt = −2a ⋅ 2 cos | = − 4a(cos π − cos 0) = 8a.2200∫Пример 3. Найти длину l дуги кардиоиды r = a (1 + cos ϕ ).Решение.Кривая задана в полярной системе координат (п.

с)).1В силу симметрии (см. рис. 25 предыдущего пункта) можно найти2r = a(1 + cos ϕ ), r ′(ϕ ) = −a sin ϕ ;12π=a∫πl=∫a 2 (1 + cos ϕ ) 2 + a 2 sin 2 ϕ dϕ = a0∫1 + 2 cos ϕ + cos 2 ϕ + sin 2 ϕ dϕ = a02(1 + cos ϕ ) dϕ = 1 + cos ϕ = 2 cos 20Здесьπl, 0 ≤ ϕ ≤ π .4 cos 2ϕ= 2 cos2Тогда l = 2 ⋅ 4a = 8a.ϕϕ2∫2 + 2 cos ϕ dϕ =0π=aπ∫4 cos 20ϕϕϕ2π∫dϕ = 2a cos0ϕ2dϕ = 4a sinπϕπ| =20= 4a(sinπ2− sin 0) = 4a.ϕ= 2 cos , так как 0 ≤ ≤ и, следовательно, cos ≥ 0.2 22223. Вычисление объема тела по известной площади поперечного сечения.b∫V = S ( z )dz , где S (z ) − площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси OZ ; ограниченное телоaрасположено в полосе между плоскостями z = a и z = b ; S (z ) непрерывна на отрезке [a; b] .Пример 1.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностямиx2 y 2+− z 2 = 1, z = 0, z = 2.49Решение.В плоскости z = const имеем:y2x2x2 y2+= 1 + z 2 , или+= 1, т. е. сечение данной поверхности плоскостью,494(1 + z 2 ) 9(1 + z 2 )перпендикулярной оси OZ , есть эллипс. Каноническое уравнение эллипса:x2a2+y2b2= 1, тогда его площадьS = πab. Здесь a 2 = 4(1 + z 2 ) ⇒ a = 2 1 + z 2 , b 2 = 9(1 + z 2 ) ⇒ b = 3 1 + z 2 , тогда2∫S ( z ) = π ⋅ 2 1 + z 2 ⋅ 3 1 + z 2 = 6π (1 + z 2 ) ⇒ V = 6π (1 + z 2 )dz = 6π ( z +08z3 2) | = 6π (2 + ) = 28π .0334. Вычисление объемов тел вращения.b∫V x = π f 2 ( x) dx (рис.

26).А) При вращении криволинейной трапеции вокруг оси OX :ayL : y = f ( x) ≥ 00baxzРис. 26bБ) При вращении криволинейной трапеции вокруг оси OY :∫V y = 2π x f ( x)dx, a ≥ 0. (рис. 27)ayy = f ( x)abxzРис. 27Пример 1.Найти объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривымиy 2 = x 3 , y = 0, x = 1 :a) вокруг оси OX (рис. 28),b) вокруг оси OY (рис. 29).Решение.1∫а) V x = π x 3 dx = π0x41π|= ;4 0 4y10x1zРис. 2813157124b) V y = 2π ∫ x ⋅ x 2 dx = 2π ∫ x 2 dx = 2π ⋅ x 2 | = π ;0770033здесь из уравнения y 2 = x 3 имеем y = x 2 ≥ 0 , т. е.

f ( x) = x 2 .y1x1zРис.29t2t2t1t1В) При параметрическом задании кривой L имеем: V x = π ∫ ( y (t )) 2 x ′(t )dt , V y = 2π ∫ x(t ) y (t ) x ′(t )dt , гдеx(t1 ) = a, x(t 2 ) = b, x ∈ [a; b].Пример 2.Найти объем тела, образованного вращением астроиды x = a cos 3 t , y = a sin 3 t вокруг оси OY .Решение.0 ≤ t ≤ 2πya−aax−aРис. 30Тело вращения получается при вращении вокруг оси OY правой половины плоской фигуры (рис. 30).В силу симметрии фигуры относительно оси OX можно вычислять половину объема вращением вокруг осиππOY заштрихованной фигуры. Здесь x ∈ [0; a ], при этом x(0) = a cos 3 0 = a, x( ) = a cos 3 = 0, т.

е.22tн =π2, t в = 0, x ′(t ) = −3a cos 2 t ⋅ sin t , тогда:π1202∫∫V y = 2π a cos 3 t ⋅ a sin 3 t (−3a cos 2 t sin t )dt = 6πa 3 cos 5 t sin 4 t dt =πпри изменении порядка пределов02интегрирования интеграл изменил знак; cos 5 t = cos 4 t cos t = (1 − sin 2 t ) 2 cos t=π2∫= 6πa 3 (1 − sin 2 t ) 2 sin 4 t cos t dt =01sin t = u , du = cos t dt , u н = sin 0 = 0, u в = sinπ2=1=1⎛ u5 2 7 u9 ⎞ 1⎟ = 6πa 3 ( 1 − 2 + 1 ) == 6πa 3 (1 − u 2 ) 2 u 4 du = 6πa 3 (u 4 − 2u 6 + u 8 )du = 6πa 3 ⎜− u +⎟0⎜ 5 795 7 9⎠⎝0063 − 90 + 3581632 3= 6πa 3= 2πa 3=πa 3 .

Тогда V y =πa .1055⋅7 ⋅9105 105∫|∫C) При вращении криволинейного сектора вокруг полярной оси объем V p тела вращения равен:Vp =23ϕ2π ∫ r 3 (ϕ ) sin ϕ dϕ , где ϕ1 ≥ 0, r (ϕ ) − непрерывна на [ϕ1 , ϕ 2 ]. (рис. 31)ϕ1ϕ2r (ϕ )ϕ10PРис. 31Пример 3.Найти объем тела, которое получается при вращении кардиоиды r = a (1 + cos ϕ ) вокруг полярной оси.Решение.Тело получается при вращении верхней части кардиоиды, т.

е. 0 ≤ ϕ ≤ π (рис. 32).a02aPРис. 32π022V p = π a 3 (1 + cos ϕ ) 3 sin ϕ dϕ = u = 1 + cos ϕ , du = − sin ϕ dϕ , u н = 2, u в = 0 = − πa 3 u 3 du =3 032∫=232∫2πa 3 ∫ u 3 du = πa 303u4428|0 = 3 πa 3 .5. Вычисление площадей поверхностей вращения.Рассматривается криволинейная трапеция, ограниченная кривой L, отрезком [a; b] оси OX , отрезкамипрямых x = a, x = b. (рис. 33)При вращении этой фигуры вокруг оси OX криваяL описывает в пространстве поверхность, площадькоторой S x может быть вычислена с помощьюyL0определенного интеграла.abxРис. 33Рассмотрим различные случаи задания кривой:1) L : y = f ( x ), x ∈ [a, b]; f ( x) ≥ 0, f ′(x) непрерывна на [a; b] (явное задание кривой в декартовой системекоординат), тогдаbS x = 2π f ( x) 1 + ( f ′( x)) 2 dx;∫a2) L : x = x(t ), y = y (t ), t ∈ [α ; β ], y (t ) ≥ 0, y ′(t ), x ′(t ) непрерывны на [α ; β ] (параметрическое заданиекривой), тогдаβS x = 2π y (t ) ( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 dt ;∫α3) L : r = r (ϕ ),ϕ ∈ [ϕ1 ; ϕ 2 ].

Кривая L задается в полярной системе координат. (рис. 34)Lϕ2ϕ10РРис. 34Тогда при вращении криволинейного сектора вокруг полярной оси кривая L описывает поверхность,площадь которой S p может быть вычислена по формуле:ϕ2S p = 2π r (ϕ ) sin ϕ r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ )) 2 dϕ .∫ϕ1Пример 1.Определить площадь поверхности шарового пояса, полученного при вращении части полуокружностиx 2 + y 2 = R 2 , где a ≤ x ≤ b, вокруг оси ОХ . (рис. 35)yx2 + y2 = R2a0Рис. 35bRxРешение.

Кривая задана в декартовой системе координат, поскольку L : x 2 + y 2 = R 2 , или y = R 2 − x 2 , т. к.y ≥ 0, x ∈ [a; b]. Тогда используем формулу из пункта 1).Здесь y ′ = ( R 2 − x 2 ) ′ =bS x = 2π∫R2 − x2 ⋅ 1+ab−2 x22 R −x2⇒ y′ =bx22R −xdx = 2π2∫−x; поэтому2R − x2R2 − x2 + x2R2 − x22R −xa2bdx = 2πR∫R2 − x2 ⋅a1R2 − x2dx =b= 2πR dx = 2πR ⋅ x | = 2πR (b − a ).∫aaПример 2. Найти площадь, образованную вращением первой арки циклоиды x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t )вокруг оси OX (рис. 36).Решение.y2aДля первой арки циклоиды 0 ≤ t ≤ 2π .Кривая задана в параметрической форме,поэтому используем формулу из пункта 2).L0πa2πaxРис.

36Вычислим x ′(t ) = a(1 − cos t ), y ′(t ) = a sin t и( x ′(t )) 2 + ( y ′(t )) 2 = a 2 (1 − cos t ) 2 + a 2 sin 2 t = a 1 − 2 cos t + cos 2 t + sin 2 t = a 2 − 2 cos t == a 2(1 − cos t ) = a 2 ⋅ 2 sin 2ttttt= 2a sin = 2a sin , т. к. для t ∈ [0;2π ] имеем: 0 ≤ ≤ π и sin ≥ 0, тогда222222π2π2π2πtttttS x = 2π a(1 − cos t )2a sin dt = 8πa 2 sin 3 dt = 8πa 2 sin 2 dt = 8πa 2 (1 − cos 2 ) sin dt =222220000∫∫= замена : cos∫1ttt= u , du = − sin dt ⇒ sin dt = −2du , u н = cos 0 = 1, u в = cos π = −1 =2222−11∫∫= 8πa 2 ⋅ (−2) (1 − u 2 )du = 16πa 2 (1 −u 2 )du = 16πa 2 (u −−11= 16πa 2 (1 −∫11u3 1) | = 16πa 2 (1 − − (−1) + (− )) =1−333114 64+ 1 − ) = 16πa 2 = πa 2 .333 3Пример 3.