Презентация 4. Ранг (Лекции в виде презентаций), страница 2

Вектор a = o тогда и только тогда, когда(a , a ) = 0⇔xa2 + y a2 + z a2 = 0⇔xa = y a = z a = 0 .2. Ненулевые векторы a и b ортогональны тогда и только тогда, когда( a,b ) = 0⇔x a ⋅ xb + y a ⋅ y b + z a ⋅ z b = 0 .3. Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда[a , b ] = o⇔ixaxbjyaybkza = ozb⇔xaxb=yayb=zazb.4. Векторы a , b , c компланарны тогда и только тогда, когда( a,b ,c ) = 0⇔xaxbxcyaybyczazb = 0 .zc125. Длина вектора a вычисляется по формулеa = (a , a ) =x a2 + y a2 + z a2 .6. Угол ϕ между ненулевыми векторами a и b вычисляется по формулеcos ϕ =(a , b )( a , a ) ⋅ (b , b )=x a ⋅ xb + y a ⋅ y b + z a ⋅ zbx a2+y a2+z a2⋅xb2+y b2+.z b27.

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора a на ось,задаваемую вектором b ≠ o , находится по формулепрb a =(a , b )b=x a ⋅ xb + y a ⋅ y b + z a ⋅ zbxb2+y b2+.zb28. Ортогональная проекция вектора a на ось, задаваемую вектором b ≠ o :пр b a =(a , b )(b , b )⋅b =x a ⋅ xb + y a ⋅ y b + z a ⋅ zbxb2 + y b2 + zb2()⋅ xb ⋅ i + y b ⋅ j + zb ⋅ k .139.

Направляющие косинусы вектора a находятся по формуламcos α =(a , i )=axax a2+cos γ =y a2+(a , j )=acos β =;z a2(a , k )=azax a2 + y a2 + z a2yax a2+y a2+;z a2.10. Единичный вектор e , одинаково направленный с вектором a , находится поформулеe=a= i ⋅ cos α + j ⋅ cos β + k ⋅ cos γ .a11. Площадь S #a ,b параллелограмма, построенного на векторах a и b , вычисляетсяпо формуле: S # a ,b = [a , b ] . Площадь S ABC треугольника ABC равна половине площади S # AB, ACпараллелограмма, построенного на векторах AB и AC , т.е. S ABC = 1 ⋅ S # AB, AC .212. Объем V#a ,b ,c параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , вычисляется поформуле V# a ,b ,c = (a , b , c ) .

Объем V ABCD треугольной пирамиды ABCD равен одной шестойобъема V# AB, AC , AD параллелепипеда, построенного на векторах AB , AC , AD , т.е..V ABCD = 1 ⋅V6 # AB , AC , AD1413. Тройка некомпланарных векторов a , b , c – правая (левая) тогда и только тогда,когда ( a , b , c ) > 0 (соответственно, ( a , b , c ) < 0 ).14. Высота h параллелограмма, построенного на векторах a , b , вычисляется поформуле (см.

рис.8.18,б)h=S # a ,ba=[a , b ].(a , a )15. Высота h параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , находится поформулеh=V# a , b , cS # b ,c=(a , b , c ).[b , c ]1516. Угол ψ между вектором a и плоскостью, содержащей векторы b и c ,дополняет до прямого угла угол ϕ между вектором a и вектором n = [b , c ] ,перпендикулярным плоскости (рис.8.21,а), и вычисляется по формулеsin ψ = cos ϕ =(a , b , c )a ⋅ [b , c ].17. Угол δ между плоскостями, содержащими векторы a , b и c , dсоответственно, вычисляется как угол между векторами m = [a , b ] , n = [c , d ] ,перпендикулярными данным плоскостям, по формуле (рис.8.21,б)cos δ =( [a , b ], [ c , d ] )[a , b ] ⋅ [ c , d ].m = [a , b ]n = [b , c ]aϕdψсn = [c , d ]δbсbаaРис.8.21бПриведенные свойства 1–3,5–11,14 применяются также для векторов на плоскости,полагая, что их аппликаты равны нулю.16Пример 8.13.

На векторах OA = 4 ⋅ i + 3 ⋅ j и OB = 12 ⋅ i − 5 ⋅ j построен треугольник OAB(рис.8.22). Требуется найти:а) длины сторон треугольника;б) величину угла AOB ;в) площадь треугольника;г) координаты вектора BH (в стандартном базисе), где отрезок BH – высотатреугольника.BO HРис.8.22Aa) Длины сторон OA и OB находим по свойству 5:OA = (OA, OA) = 4 2 + 32 = 5 ;OB = (OB, OB ) = 12 2 + ( −5) 2 = 13 .Чтобы найти длину стороны AB , определим сначала координаты вектораAB = OB − OA = 12 ⋅ i − 5 ⋅ j − (4 ⋅ i + 3 ⋅ j ) = 8 ⋅ i − 8 ⋅ j , а затем – его длину:AB = ( AB, AB ) =8 2 + ( −8) 2 = 8 2 .б) Величину ϕ угла AOB находим по формуле п.6:cos ϕ =(OA, OB )(OA, OA) ⋅ (OB, OB )=4 ⋅ 12 + 3 ⋅ (− 5) 33.=5 ⋅ 1365Следовательно, ϕ = arccos 33 .6517в) Площадь S треугольника OAB равна половине площади параллелограмма,построенного на векторах OA и OB : S = 1 S #OA,OB (см.

п.11). Чтобы найти площадь2параллелограмма, добавим к векторам OA и OB нулевые аппликаты, т.е. OA = 4 ⋅ i + 3 ⋅ j + 0 ⋅ k ;OB = 12 ⋅ i − 5 ⋅ j + 0 ⋅ k , и вычислим их векторное произведение:ij k3 04 04 3[OA, OB ] = 4 3 0 = i ⋅− j⋅+k ⋅= 0 ⋅ i − 0 ⋅ j + (− 56) ⋅ k .−5 012 012 − 512 − 5 0Отсюда получаемS#OA,OB= [ OA, OB ] = 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + ( −56) ⋅ k = 0 2 + 0 2 + ( −56) 2 = 56 .Значит, площадь треугольника S = 1 ⋅ 56 = 28 .2г) Найдем вектор BH = OH − OB . Проекцию OH вектора OB на ось, задаваемуювектором OA , определяем по формуле п.8:OH =(OB, OA)(OA, OA)⋅ OA =()12 ⋅ 4 + ( −5) ⋅ 313299⋅ 4 ⋅i + 3⋅ j =⋅i + ⋅ j .252525Отсюда BH = 132 ⋅ i + 99 ⋅ j − (12 ⋅ i − 5 ⋅ j ) = − 168 ⋅ i + 224 ⋅ j .

Следовательно, его координаты − 168 ,25252525224 . Вычислим длину этого вектора, т.е. высоту треугольника: BH =252522 − 168  +  224  = 56 .5 25   25 Заметим, что площадь треугольника S = 28 , поэтому высоту можно вычислить поформуле BH =2 ⋅ S 2 ⋅ 28 56. Результаты совпадают. ==OA5518Пример 8.14. На векторах OA = 1 ⋅ i + 3 ⋅ j − 1 ⋅ k , OB = 2 ⋅ i + 1 ⋅ j − 2 ⋅ k , OC = 3 ⋅ i − 2 ⋅ j + 4 ⋅ kпостроена треугольная пирамида OABC (рис.8.23).CBOAРис.8.23Требуется найти:а) длины ребер OA , OB , OС ;б) величину ϕ угла AOC ;в) площадь S OAC треугольника OAC ;г) объем пирамиды OABC ;д) высоту пирамиды hB , опущенную из вершины B ;е) высоту ha треугольника OAC , опущенную из вершины A ;ж) угол ψ между ребром OA и плоскостью грани OBC ;з) величину δ угла между плоскостями граней OAC и OBC ;и) направляющие косинусы вектора OB ;к) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора OA на направлениевектора OB ;л) ортогональную проекцию вектора OA на прямую, перпендикулярную грани OBC ;м) единичный вектор e (орт), имеющий направление вектора AB ;н) вектор a , имеющий длину вектора AB и направление вектора AC .19 a) Длины ребер OA , OB и OC находим по формуле п.5:OA = (OA, OA) = 12 + 32 + ( −1) 2 = 11 ;2 2 + 12 + ( −2) 2 = 3 ;OB = (OB, OB ) =OС = (OС , OС ) =32 + ( −2) 2 + 4 2 = 29 .б) Величину ϕ угла AOC находим как угол между векторами OA и OС по формулеп.6:cos ϕ =т.е.

ϕ = π − arccos(OA, OC )OA ⋅ OC=1 ⋅ 3 + 3 ⋅ ( −2) + ( −1) ⋅ 411 ⋅ 29=−7,3197 .319в) Сначала вычисляем площадь параллелограмма, построенного на векторах OA иOC , по формуле п.11. Для этого находим векторное произведениеijk[ OA, OC ] = 1 3 − 1 = 10 ⋅ i − 7 ⋅ j − 11 ⋅ k ,3 −2 4а затем его модуль: S #OA,OС = [OA, OС ] = 10 2 + ( −7) 2 + ( −11) 2 = 270 . Искомая площадьтреугольника в 2 раза меньше: SOAC = 1 ⋅ S #OA, OС = 270 .2220г) По формуле п.12 найдем объем V#OA, OB, OC параллелепипеда, построенного навекторах OA , OB , OC :3 −11 − 2 = −353 −2 41( OA, OB, OC ) = 2⇒ V#OA, OB , OC⇒= ( OA, OB, OC ) = − 35 = 35 .Искомый объем пирамиды в 6 раз меньше: VOABC = 1 ⋅V#OA, OB,OC = 35 .66д) Высоту пирамиды hB находим по формуле п.15:hB =V# OA, OB , OCS=35.270# OA, OCе) Высоту ha треугольника OAC , опущенную из вершины A , находим по формулеп.14:ha =S# OA, OСOС=27029.ж) Сначала определяем вектор n , перпендикулярный грани OBC :ijkn = [OB, OC ] = 2 1 − 2 = 0 ⋅ i − 14 ⋅ j − 7 ⋅ k .3 −2 4Затем вычисляем угол ψ между вектором OA и плоскостью грани OBC по формуле п.16:sin ψ ==т.е.

ψ = arcsin 5 .11(OA, OB, OC )OA ⋅ [OB, OC ]1 ⋅ 0 + 3 ⋅ (− 14 ) + (− 1) ⋅ (− 7 )11 ⋅(− 14)2+ (− 7 )2==(OA, n )OA ⋅ n3511 ⋅ 7 ⋅ 5==5,1121з) Находим вектор m , перпендикулярный плоскости грани OAC :ijkm = [OA, OC ] = 1 3 − 1 = 10 ⋅ i − 7 ⋅ j − 11 ⋅ k .3 −2 4Вектор n , перпендикулярный грани OBC , определен в п."ж". Искомыйугол δ вычисляем по формуле п.17:cos δ ==([OA, OC ], [ OB, OC ])[OA, OC ] ⋅ [ OB, OC ](m , n )=10 ⋅ 0 + (− 7 ) ⋅ (− 14) + (− 11) ⋅ (− 7 )10 + (− 7 ) + (− 11) ⋅ 7 ⋅ 522=m ⋅ n5=2,3 6т.е. δ = arccos 5 .3 6п.9:и) Направляющие косинусы вектора OB находим по формуламcos α =(OB, i )=OBcos β =(OB, j )OB=1;32 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + (− 2 ) ⋅ 02 2 + 12 + (− 2 )2cos γ ==(OB, k )OB2;3=−2.3222Заметим, что cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =  2  +  1  +  − 2  = 1 . 3 3 322к) Алгебраическое значение прOB OA длины проекции находим по формуле п.7( a = OA , b = OB ):прOBOA =(OA, OB )=OB1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 + (− 1) ⋅ (− 2 ) 7= .33л) Искомую ортогональную проекцию пр n OA определяем по формуле п.8 ( a = OA , b = n ),используя вектор n , найденный в п.

"ж":пр n OA =()(OA, n )1 ⋅ 0 + 3 ⋅ ( −14) + ( −1) ⋅ ( −7)⋅n =⋅ 0 ⋅ i + ( −14) ⋅ j + ( −7) ⋅ k =(n , n )0 2 + ( −14) 2 + ( −7) 2= 2⋅ j + k .м) Определяем координаты вектора AB и его длину:() ()AB = OB − OA = 2 ⋅ i + 1 ⋅ j − 2 ⋅ k − 1 ⋅ i + 3 ⋅ j − 1 ⋅ k = 1 ⋅ i + 4 ⋅ j − 1 ⋅ k ;AB = 12 + 4 2 + (− 1)2 = 3 2 ,а затем искомый вектор e = AB = 1 ⋅ i + 4 ⋅ j − 1 ⋅ k .3 23 2AB3 2н) Определяем координаты вектора AC и его длину:() ()AC = OC − OA = 3 ⋅ i − 2 ⋅ j + 4 ⋅ k − 1 ⋅ i + 3 ⋅ j − 1 ⋅ k = 2 ⋅ i − 5 ⋅ j + 5 ⋅ k ;AC =2 2 + (− 5)2 + 52 = 3 6 ,а затем искомый векторa=ABAC⋅ AC =()3 2⋅ 2 ⋅i − 5⋅ j + 5⋅ k = 2 ⋅i − 5 ⋅ j + 5 ⋅ k . 3 633323.