Презентация 2. Элементарные преобразования (Лекции в виде презентаций)

1.2.4. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦДля любой матрицы a11 a12  a1n  a 21 a 22  a 2 n A=  a a a mn  m1 m 2матрица a11 a 21  a m1 aaam2 ,AT =  12 22   a a a mn  1n 2 nполучающаяся из матрицы A заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов –соответствующими строками, называется транспонированной матрицей.Чтобы по данной матрице A получить матрицу AT , нужно первую строку матрицы Aзаписать как первый столбец матрицы AT , вторую строку матрицы A записать как второйстолбец матрицы AT и т.д.

Эта операция называется транспонированием матрицы A .1Квадратная матрица называется симметрической, еслии кососимметрической, еслиAT = A ,AT = − A .У симметрической матрицы элементы, расположенные симметрично относительноглавной диагонали, равны между собой.У кососимметрической матрицы элементы, расположенные симметричноотносительно главной диагонали, имеют противоположные знаки, а все диагональныеэлементы равны нулю.Свойства операции транспонированияПусть λ – любое число; A , B – произвольные матрицы, для которых определеныоперации умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств.

Тогдаопределены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства:1. (λ ⋅ A)T = λ ⋅ AT ;2. ( A + B )T = AT + B T ;3. ( A ⋅ B )T = B T ⋅ AT ;4. (AT ) = A .T2Пример 1.14. Найти AT , B T , C T , если4 − 51 4 5 01 2 3 , B =  − 4 06  , C =  4 2 6 .A = 0 1 2 5 6 3 5 −6 0 2× 3 Согласно определению, при транспонировании первая строка матрицы A являетсяпервым столбцом матрицы AT , вторая строка – вторым столбцом:1 0A = 2 1 . 3 2T(3×2 )Аналогично находим 0 −4 5 B = 40 − 6 ,−5 60 T1 4 5C =  4 2 6 . 5 6 3TТак как B T = − B , то матрица B – кососимметрическая.Поскольку C T = C , то матрица C – симметрическая.

3Пример 1.15. Найти матрицы (λ ⋅ A) T , λ ⋅ AT , ( A + B )T , AT + B T , ( A⋅ B )T , B T ⋅ AT , (AT ) ,Tеслиλ=2, Найдем(2 ⋅ A)T1 2 ,A = 3 4T 5 6 .B = 7 8T 1 2 2 6 2 4 , =   = =  2 ⋅  4 86 8 3 4TT(A + B) 1 2   5 6  6 10 6 8 , =  =  + =  8 12 10 12  3 4   7 8 (A ⋅ B) 1 2   5 6  19 43  19 22  . =  =  ⋅ = 225078435034 TTTЗаметим, чтоTT1 21 3  2 6 = 2 ⋅  =  = (2 ⋅ A)T ,2 ⋅ A = 2 ⋅ 3 4 2 4  4 8TTT1 2  5 6 1 3   5 7   6 10  +  =  +  =  = ( A + B )T ,A + B = 3 4  7 8 2 4   6 8   8 12 TTTT 5 7   1 3   19 43  5 6 1 2 = ( A ⋅ B )T , =  ⋅  =  ⋅ B ⋅ A =  6 8   2 4   22 50 7 8 3 4TT(A )T TTT  1 2 T 1 31 2 = = A,= = 3 4 2 43 4 т.е.

(λ ⋅ A)T = λ ⋅ AT , ( A + B )T = AT + B T , ( A ⋅ B )T = B T ⋅ AT , (AT ) = A . T41.2.5. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИЧисловая матрица A размеров m × n , разделенная горизонтальными и вертикальнымилиниями на блоки (клетки), которые представляют собой матрицы, называется блочной(клеточной) матрицей.Элементами блочной матрицы A являются матрицы Aij размеров mi × n j , i = 1,2,..., p ,j = 1,2,..., q ,причем m1 + m2 +  + m p = m и n1 + n2 +  + nq = n .Операции сложения, умножения на число и произведения блочных матрицвыполняются по тем же правилам, что и для обычных матриц, только вместо элементов вформулах используются блоки.Если числовые матрицы A и B равных размеров одинаково разбиты на блоки A = (Aij )и B = (Bij ) , то их сумму C = A + B можно аналогичным образом разбить на блоки C = (Cij ) ,причем для каждого блока Cij = Aij + Bij .Если блочную матрицу( )( )A = Aijумножить на число, то получим матрицуλA = Aλ = λAij .При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежит блочнаяструктура и все ее блоки, напримерAA =  11 A21TTT A11A12  = TAA22  12T A21.T A22 5Пример 1.16.

Даны блочные матрицы 2 3 4 AA =  3 4 5  =  11 4 5 6   A21A12  иA22 1 1 0 BB =  2 1 2  =  11 3 0 1   B21B12 .B22 Найти матрицы C = A + B , D = 5B , B T . Матрицы A и B имеют блоки одинаковых размеров: блоки A11 и B11 имеютразмеры m1 × n1 = 1× 2 ; блоки A12 и B12 – m1 × n2 = 1×1 ; блоки A21 и B21 – m2 × n1 = 2 × 2 ; блоки A22и B22 – m2 × n2 = 2 × 1 .CC Матрица C = A + B будет иметь такие же по размерам блоки C =  11 12  . Для каждого блока C21 C22 находим: C11 = A11 + B11 = (2 3) + (1 1) = (3 4) ;С12 = A12 + B12 = (4) + (0) = (4) ; 3 4  2 1   5 5 ; =  + C21 = A21 + B21 =  4 5   3 0  7 5Следовательно, матрица C будет иметь вид:5  2 7С22 = A22 + B22 =   +   =   .6 1 7 3 4 4 CC12  .С =  5 5 7  =  11 7 5 7   C21 C22 Матрица D = 5B будет иметь блоки тех же размеров, что и B :D12 = 5B12 = 5 ⋅ (0) = (0) ;D11 = 5 B11 = 5 ⋅ (1 1) = (5 5) ; 2 1  10 5  2  10  ; = D22 = 5 B22 = 5 ⋅   =   .D21 = 5 B21 = 5 ⋅  3 0  15 0 1  5 Поэтому матрица D будет иметь вид5 5 0 DD = 10 5 10  =  1115 0 5   D21D12 .D22 Используя правило транспонирования блочных матриц, получаем BTB =  11 BT 12T 1 2 3T  B21 = 1 1 0 .

T B22  0 2 16Операция умножения блочных матриц A и B .Блочные матрицы A и B называются согласованными, если разбиение матрицыA = ( Aik ) на блоки по столбцам совпадает с разбиением матрицы B = (Bkj ) по строкам, т.е.блоки Aik имеют размеры mi × pk , а блоки Bkj – pk × n j ( k = 1,2,, s ). У согласованных блочныхматриц блоки Aik и Bkj являются согласованными матрицами.Произведением C = A ⋅ B согласованных блочных матриц A и B называется блочнаяматрица C = (Cij ) , блоки которой вычисляются по следующей формуле:Cij = Ai1 B1 j + Ai 2 B2 j +  + Ais Bsj .Это означает, что блочные матрицы, разделенные на блоки надлежащим образом, можноперемножать обычным способом. Чтобы получить блок Cij произведения, надо выделитьстроку блоков матрицы A и j -й столбец блоков матрицы B .

Затем найти суммупопарных произведений соответствующих блоков: первый блок i -й строки блоковумножается на первый блок j -го столбца блоков, второй блок i -й строки блоковумножается на второй блок j -го столбца и т.д., а результаты умножений складываются.i -ю7Пример 1.17. Даны блочные матрицы 2 3 4 AA =  3 4 5  =  11 4 5 6   A21A12 A22 и 1 1 0 BB =  2 1 2  =  11 3 0 1   B21B12 .B22 Найти произведение C = AB . Матрица A разбита на блоки: A11 размеров m1 × p1 = 1× 2 ; A12 – m1 × p2 = 1×1 ;A21 – m2 × p1 = 2 × 2 ; A22 – m2 × p2 = 2 × 1 .

Матрица B разбита на блоки: B11 размеров p1 × n1 = 2 × 2 ;B12 – p1 × n2 = 2 × 1 ; B21 – p2 × n1 = 1 × 2 ; B22 – p2 × n2 = 1 × 1 . Блочные матрицы A и B согласованы.Матрица A разбита по столбцам на два и один (считая слева), матрица B разбита построкам на две и одну (считая сверху). Поэтому произведение AB определено. МатрицаC = ABCC будет иметь блоки C =  11 12  .

Для каждого блока находим: C21 C22  1 1 + (4) ⋅ (3 0) = (8 5) + (12 0) = (20 5) ;C11 = A11B11 + A12 B21 = (2 3) ⋅  2 10С12 = A11B12 + A12 B22 = (2 3) ⋅   + (4) ⋅ (1) = (6) + (4) = (10) ; 2С22 3 4   1 1  5  +   ⋅ (3 0) = ⋅ C21 = A21B11 + A22 B21 =  4 5   2 1  6  11 7  15 0   26 7  +  =  ;= 14 9  18 0   32 9  8   5  13  3 4  0 5 ⋅   +   ⋅ (1) =   +   =   .= A21B12 + A22 B22 = 10   6  16  4 5  2 6Следовательно, матрица С будет иметь вид 20 5 10 С12  С. С =  26 7 13  =  11 32 9 16   С 21 С 22 81.2.6.

МЕТОД ГАУССА ПРИВЕДЕНИЯ МАТРИЦЫ К СТУПЕНЧАТОМУ ВИДУЭлементарными преобразованиями матрицыпреобразования:I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.называютсяследующиеееII. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число,отличное от нуля.III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементовдругого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.Матрица B , полученная из исходной матрицы A путем конечного числа элементарныхпреобразований, называется эквивалентной.

Это обозначается A ~ B .Квадратную матрицу, полученную из единичной при помощи конечного числаэлементарных преобразований, будем называть элементарной.Ступенчатый вид матрицы:000000 0 1 ∗ ∗ 0 0 1 ∗ 0 0 0 0      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 1 ∗      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗   ∗ 0 1 0 0   0 0    0 0 0 0  0 0 0 0 0 0  0 0       0 0 0 0 0  0 000∗∗00 ∗ ∗ ∗  ∗ . ∗ 0  0 (1.1)Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей)обозначены единичные элементы матрицы, символом ∗ – элементы с произвольнымизначениями, остальные элементы матрицы – нулевые.К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточноиспользовать только элементарные преобразования строк матрицы.Замечания.1.