Boit_K__Cifrovaya_yelektronika_BookZZ_or g (К. Бойт - Цифровая электроника), страница 10

5.3а. Таблица ис- Ал ВлС. Соответственно для варианта 5 полная конъюнкция ААж ВлС, а для варианта 8 полная конъюнкция А л В л С. Нормальная форма ИЛИ является суммой всех полных конъюнкций: У = (А л В л С) и (А л В л С) и 1А л В л С) . Эта нормальная форма ИЛИ представляет содержание таблицы истинности, изображенной на рис. 5.8а. Как и любое другое уравнение алгебры логики, нормальную форму можно преобразовать в таблицу истинности. Для выведенной нормальной формы получается таблица истинности (рис. 5.8а).

Это можно проверить. Результат показан на рис. 5.9. С помощью нормальной формы ИЛИ возможно для любой заданной или составленной по описанию проблемы таблицы истинности записать Рве. 5.9. Обратное преобразование нормальной формы ИЛИ в таблицу истинности. соответствующее уравнение алгебры логики. Метод подбора уже не нужен. Теперь можно без особых трудностей осуществлять синтез достаточно сложных логических схем. 5.2.2.

Нормальная форма операции логического умножения И Нормальная форма записи лашческого умиоагевия И, также называемая нормальной конъюнктивной формой записи (от конъюнкция — умножение), является формой записи уравнения алгебры логики, в котором так называемые полные дизъюнкции связаны друг с другом операцией логического умножения. Под полной дизъюнкцией понимают операцию логического сложения„в которой учаетвуют все имеющиеся переменные или их инвертированные значения (от дизъюнкция — сложение).

Если имеются две переменные, например А и В, то получаются четыре возможные полные дизъюнкции: АлВ АлВ АлВ АлВ Нормальная форма И состоит из нескольких полных дизъюнкций, которые логически перемножаются операцией И. Она может состоять также из одной- единственной полной дизъюнкции. Если работа с нормальной формой ИЛИ не вызывает затруднения, то нормальная форма И уже не особенно нужна Нормальную форму И можно легко преобразовать в нормальную форму ИЛИ. Пример Переведите нормальную форму И У = (А ж В) м (А л В) в нормальную фору ИЛИ: У =(Ам В)л(Ам В); У = (Ам В)л(Ам В); У =(А гВ)ч(АгВ); У =(АлВ)м(АлВ); У =(АлВ)ч(АлВ). 53. мю ц ю тр р ф р Вл» ~ бр 63) 5.3.

Упрощение и преобразование нормальной формы ИЛИ с помощью алгебры логики 5.3.1. Упрощение нормальной формы ИЛИ Нормальная форма ИЛИ воспроизводит содержание таблицы истинности в виде логического уравнения. По этому уравнению может быть синтезирована нужная схема. По нормальной форме ИЛИ можно синтезировать схему, удовлетворяющую соответствующей таблице истинности. Часто зта схема не является самым простым вариантом из возможных. Во многих случаях нормальные формы ИЛИ можно упростить.

Это упрощение может быть выполнено с помощью алгебры логики. Пример 1 Упростите нормальную форму ИЛИ У = 1А л В) ч (А л З). Так как обе полные конъюнкции содержат переменную А, то она с помощью распределительного закона может быть вынесена за скобки: .с = 1АлВ) ч(Ал В); .с = Ал(ВчВ). Выражение В ч В всегда равно 1 (см. гл. 4). У=Аж 1. Логическое сложение переменной с 1 дает в итоге переменную. Результат упрощения нормальной формы ИЛИ: Пример 2 Упростите следующую нормальную форму ИЛИ: У = (А л В л С) ч (А ж З ж С) ч (А л В ж С) ч (А и В ж С) .

О1 От Ф О4 Сначала упрощают полные конъюнкции О1 и Ф. А ж В рассматривается как одна переменная и выносится за скобки: ((А л В) ж С) ч ((А ж В) л С) = (А л З) л (С ч С) = (А ж В) л 1 = (А ж В) . Также можно упростить полные конъюнкции ® и Ох. А ж В рассматривается как одна переменная и выносится за скобки: ((А ж В) л С) ч ((А л В) л С) = (А л В) ж (Сч С) = (А ж В) ж 1 = (А л В). Для 2" тогда: У = (А л В) ч (А л В). В этом уравнении А может быть вынесена за скобки как совместная пере- менная: У = Ал(ВчВ); У=Ал1; Достаточно сложная нормальная форма ИЛИ сильно упростилась в этом примере. Такое сильное упрощение во многих случаях невозможно.

Существует много нормальных форм ИЛИ, которые не упрощаются. Пример 3 Упростите следующую нормальную форму ИЛИ: У =(АлВлС)ч(АлВлС). Так как обе полные конъюнкции содержат переменную, то она с помощью распределительного закона может быть вынесена за скобки: У = Сл((АлВ) ч(АлВ)). Можно поспорить, является ли вынесение за скобку С упрощением исходного выражения. Ответ будет очевиден только при сборке схемы на реальных элементах, Существенного преимущества в любом случае не получится. 5.3.2.

Преобразование нормальной формы ИЛИ Схема, которая строится согласно нормальной форме ИЛИ, должна базироваться на основных логических элементах. Во многих случаях можно использовать другие элементы, например И-НЕ или ИЛИ-НЕ. Нормальная форма ИЛИ в этих едуча~и должна быть преобразована. Перевести нормальную форму ИЛИ на элементы И-НЕ очень просто.

Нормальная форма ИЛИ сначала подвергается двойному отрицанию. Двойное отрицание, как известно, не меняет содержание уравнения. Затем нижняя черта инверсии разделяется согласно второй теореме де Моргана. Пример 1 У =(АлВлС)ч(АлВлС); У =(Ал Вл С)ч(Ал ВлС); 2 =АлВлСлАлВлС. 5.4.М р р кр 6Д Рие. 5,10. Схематолъкос элементами И-НЕ 4 в Получающаяся из уравнения схема представлена на рис.

5.10. Если требуется преобразовать нормальную форму ИЛИ так, чтобы схема состояла только из элементов ИЛИ-НЕ, то рекомендуется дважды инвертировать каждую полную коньюнкцию и каждую нижнюю черту инверсии преобразовать в соответствии с первой теоремой де Моргана.

Затем все выражение еще раз подвергается двойному отрицанию. Пример 2 У =(Вл ВлС)ч(Ал ВлС); У =(АлВлС)ч(АлВлС); У=АчВчСчАчВчС; У=АчВчСчАчВчС. Схема к этому уравнению изображена на рис. 5.11. в с Рис. 5.11. Схема только с элементами или-не. 5.4. Метод карт Карно Метод карт Карно служит для наглядного представления и упрощения нормальной формы ИЛИ. Он был придуман математиком Карно, и его еще называют методом диаграмм Карно.

5.4.1. Карта Карно для двух переменных Карты Карно могут быть представлены в виде таблиц истинности для полных конъюнкций. (~66 Г 5о Карты Карно всегда имеют количество полей, равное количеству возможных полных конъюнкций. При двух переменных возможны 4 полные конъюнкции. Таким образом, карта Карно для двух переменных должна иметь 4 поля (см. рис. 5.12). По краям карты записываются переменные. Каждая переменная величина должна быть представлена в инвертированной и в неинвертированной форме (рис. 5.12).

Переменные по краям являются координатной сеткой. Они определяют, какая полная конъюнкция какому полю принадлежит. На рис. 5.13 по своим полям расписаны 4 полных конъюнкции. л л л л Рие. 5.13. Карта Карно для в д в ляух переменных (А, Лу, эаполненная полными конь- в л в юнкциями. л в х в Рие.

5.12. Карта Карно для двух переменных (А, Л). 1 в поле карты Карно означает наличие полной конъюнкции. На карте Карно (рис. 5.14) отмечены полные конъюнкции А л В и А л В. Карта Карно отражает следующую нормальную форму ИЛИ: У = (А л В) м (А л В) . Символ Ув верхнем левом углу карты на рис. 5.14 показывает, что полные конъюнкции относятся к Е Отсутствующие полные конъюнкции обозначены нулем в соответствующем поле, или поле не заполняется.

Присваивание переменных координатам карты Карно производится произвольным образом. Также возможно менять местами А и В на карте (рис. 5.15). Разумеется, переменные могут иметь совершенно другие обозначения, например Е, и Е,. Прямое и инверсное значения переменной должны обязательно находйться на одной стороне карты. Другое распределение координатных переменных ведет, естественно, к другому распределению полных конъюнкций по полям карты. Желательно придерживаться определенной схемы распределения переменных и не менять ее без причины. Для облегчения работы рекомендуется первую переменную, например А, и ее инверсию все время ставить на верхнюю часть карты. Вторую переменную (например В) и ее инверсию ставить на левую часть карты. Поле полной конъюнкции А л В обозначено координатами А и В (рис.

5.13). Соответственно поле полной конъюнкции А л В находится по координатам А и В. Так как полные конъюнкции определяются координатами, то нет необходимости записывать их в полной форме, как на рис. 5.13. Наличие полной конъюнкции может обозначаться 1 в соответствующем поле. 5.4.М» д Хм ббпр в в Е, Е, Рнс. 5.15.

Карта Карно с изме- неннымн координатами. Покажем на примере заполнение карты Карно нормальной формой ИЛИ и восстановление нормальной формы ИЛИ по карте Карно. Пример 1 Занесите в карту Карно нормальную форму ИЛИ: У = (А л В) м (А дъ В) ч (А дъ В) . Сначала нужно нарисовать карту Карно с данными координатами. Затем найти поля с полными конъюнкциями, присутствующими в нормальной форме и обозначить их 1. Результат показан на рис. 5.1б. Рнс. 5лб. Карта Кар- но для нормальной формы ИЛИ.

Рнс. 5.17. Карта Кар- но для нормалъной формы ИЛИ. Пример 2 Запишите нормальную форму ИЛИ, представленную на карте Карно (рис. 5.17). Нормальная форма ИЛИ содержит 2 полные конъюнкции: одна А л В, вторая А л В. Следовательно, нормальная форма: И" = (А л В) м (А л В). Представленная на карте Карно нормальная форма ИЛИ может быть упрощена при наличии определенных условий. «Соседние» полные конъюнкции можно объединять в «группы». Соседними считаются полные конъюнкции, клетки которых имеют общие стороны (рис.

5.18). Если клетки с полными конъюнкциями имеют только общий угол, то они не являются соседними. А А А А А А Неаааелние пенные конъюмкции Сооеиние ионные комъюмкции Рнс. 5.1й. Соседние н несоседнне полные конъюнкции. Рнс. 5.14. Карта Кар- но для нормальной ф р ы или У = (А п В) г (А А й) Я :Н ~6В г 5.о В одной группе могут быть объединены 2 или 4 соседние полные коньюнкции. Содержание группы характеризуется ее координатами. Переменные, чьи координаты присутствуют в прямой и инверсной форме одновременно, исключаются, Представленная на рис. 5.19 группа имеет координаты А, В и В.

Переменная В имеет как прямую, так и инверсную формы. Следовательно, она исключается. Значение группы будет А. Нормальная форма ИЛИ У = (А л В) ч (А л В) упростилась до Т= А. У =(АлВ)ч(АлВ); Т =Ал(Вч В); У =Ал1; У = А. Это упрощение может быть проверено с помощью алгебры логики.