Boit_K__Cifrovaya_yelektronika_BookZZ_or g (773598), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Рне. 5.1Р. Образова- ние группы в карте Карно. Рнс. 5.20. Карта Кар- но с группой нз че- тырех полей. Особый случай представляет группа из 4 полных конъюнкций (рис. 5.20). Она имеет координаты А, А, В, В. Значит, переменные А и В исюпочаются. Значение группы равно 1. Справедливость этого можно доказать с помощью таблицы истинности.
Алгебра логики также приведет к этому результату: Я = (Ал В)ч(Ал В) ч(А лВ)ч(АлВ); У = ( А л (В ч В)1 ч ( А л (В ч В)1; У = (А л 1) ч (А л 1); У=АчА; Я =1. Каждая группа имеет определенные координаты. Группа слева наверху на карте Карно (рис. 5.18) имеет по одной стороне координату В, по другой— координату А и А. Рис. 521. Карта Кар- Рнс.
5.22. Карта Кар- но с несколькими но с двумя группами 4 в группами. из двух повей. На одной карте можно образовать несколько групп (рис. 5.21). Одна полная конъюнкция может присутствовать в нескольких группах. При наличии нескольких групп упрощенное уравнение получается в результате логического сложения значений отдельных групп. Для карты (рис. 5.21) значения групп получаются равными А и В. Упрощенное уравнение: У = А и В. На карте Карно (рис. 5.20) можно образовать также две группы из двух полей.
Тогда получится упрощенное уравнение, но не в самом простом виде. Покажем это. На рис. 5.22 показана карта Карно с такой группировкой. Значения групп равны В и В. Упрощенное уравнение, следовательно: х. = ВчВ. Сложение переменной величины с ее инверсией дает в итоге по правилам алгебры логики 1. Поэтому самой простой формой уравнения является .2'= 1. Для максимального упрощения уравнения необходимо образовывать группы как можно большего размера, Чтобы закрепить полученные знания, решим следующий пример.
Пример 3 Максимально упростите при помощи карты Карно нормальную форму ИЛИ. Запишите упрощенное уравнение: Х = (А л В) тг (А л В) и (А л В). Сначала полные конъюнкции заносятся в карту (рис. 5.23). Рнс. 5.23. Карга Карно к примеру 3. Затем образуются две группы по два поля. Они имеют значения А и В. Упрощенное уравнение: Х = А л В. ф г за 5.4.2.
Карта Карно для трех переменных Для трех переменных возможны 8 различных полных конъюнкций (рис. 5.24). Следовательно, карта Карно для трех переменных должна иметь 8 клеток. Распределение переменных по координатам может происходить, как и в карте для двух переменных любым образом. Однако целесообразно первые переменные поместить на верхнюю сторону диаграммы, а вторые величины — на левую сторону диаграммы. Третья переменная величина размещается на нижней стороне диаграммы.
Для переменных величин А, В и С карта Карно изображена на рис. 5.25. д Я с с с Рис. 5.24. Возмссхные полные конъюнкции Рис. 525. Карта Карно для трех переменных. лля трех переменнъос Третья переменная С должна быть размещена, как указано на рис. 5.25. Если обозначить обе левые стороны клетки как С, а обе правые как С, то для некоторых полных конъюнкций будет двойное место, а для некоторых — ни одного. На рис.
5.26 полные конъюнкции расписаны по ячейкам. Для карт Карно с тремя переменными действуют правила, установленные для карт Карно с двумя переменными, со следующими дополнениями: В одной группе могут быть объединены 2, 4 или 8 соседних полных коньюнкций. Если быть совсем точными, карта Карно для трех переменных имеет цилиндрическую форму (рис. 5.27). Поэтому клетки, находящиеся в противоположных концах одной строки, являются соседними. с с Рис. 5.24.
Карта Карно для трех переменных с занесенными полными коныонкпиями. Рис. 5.27. Карта Карно для трех переменных в виде цилиндра. с с с с с Рис. 5.2$. Группировка по принципу расширенного соседства. Карту Карно сложно представлять в виде цилиндра. Поэтому предпочитают форму на рис. 5.25, соблюдая принцип расширенного соседства. На рис. 5.28 представлены соседние полные конъюнкции и их группировки. Группа из двух клеток на верхней диаграмме имеет в итоге значение В и С. Группа из четырех клеток на нижней диаграмме имеет значение С. Группа доллгна быть прямоугольной или квадратной. Группа, изображенная на рис.
5.28а, недопустима. х 4 л Ряс. 5.2аа. Недопустимая группа с с с карты Карно. Рассмотрим несколько примеров работы с картами Карно для трех переменных. Пример 1 Заполните карту Карно полными конъюнкциями следующего уравнения: У = (А л В л С) ч (А л В л С) ч (А л В л С) ч (А л В л С) . Сначала надо правильно разместить полные конъюнкции по ячейкам Грие. 5.29). Запись лучше производить в алгебраической форме, тогда можно легко контролировать правильность выбора ячейки.
Каждую полную конъюнкцию обозначим 1 (рис. 5.30). При отсутствии затруднений можно сразу же рисовать обычную карту Карно. с с с с с с Рис. 5.29. Карта Карно с занесенными под- Рис. 5.36. Карга Карно к примеру 1. ными конъюнкциями к примеру 1. (У2 Г 5.е Пример 2 Занесите данную нормальную форму ИЛИ в карту Карно и максимально упростите: У = (А л В л С) ч (А л В л С) ч (А л В л Я~ч (А л В л С). Имеющиеся полные конъюнкции обозначаются 1 (рис. 5.31).
Затем производится группировка. Группу из четырех элементов образовать невозможно. Зато можно образовать 3 группы из двух клеток. Однако выделенная пунктиром группа является избыточной, так как двумя основными серыми группами все 1 уже охвачены. Если бы мы выбрали пунктирную группу в качестве основной, нагщенное уравнение не было бы максимально простым.
Я в с с с ' Рие. 5.31. Карта Карно к примеру 2. Верхняя серая группа (рис. 5.31) имеет значение А л В. Значение нижней серой группы — В л С. (Переменная А выпадает, так как встречается в координатах этой группы как в прямой, так и в инверсной формах.) Значения групп логически складываются. При этом получается упрощенное уравнение: У = (А л В) ч (В л С) . Пример 3 Зашипите нормальную форму ИЛИ, заключенную в карте Карно (рис.
5.32). Рис. 5.32. Карта Карно к примеру 3. с с с Максимально упростите нормальную форму ИЛИ. Нормальная форма ИЛИ по карте Карно: У = (А л В л С) ч (А л В л С) ч (А л В л С) ч (А л В л С) ч (А л В л С) ч А л В л С. Могут быть образованы 2 группы из четырех клеток. Одна имеет значение В, другая С. Упрощенное уравнение: .е = ВчС. Так как возможно образование двух больших групп из четырех клеток, то получается значительное упрощение нормальной формы.
5.4.3. Карта Карно для четырех переменных Карта Карно для четырех переменных должна иметь 16 клеток, так как возможны 16 различных полных конъюнкций (рис. 5.33). Карта Карно для четырех переменных изображена на рис. 5.34. ~х,~6~ с~о ~а~в с о ~х;в с о ~а в сто ~хлвлслО ма*в с о »а~в с~о ма*в с о .авсо ~алв сло хв с о .~авсо а~в с о -~а в*с о к*в*с о с с с ~алвлсло Рне.
5.33. Возможные полные коньюнюппт лла четырех переменных. Рис. 5З4. Карта Карно вла четырех пере- менных. Переменные обозначены, кнк и раньше, А, В и С. Плюс добавлена переменная величина Ю. Разумеется, переменные могут быль обозначены иначе, например Е„Е„Е„Е,. 16 полных конъюнкций показаны на рис. 5.35. Для карт Карно с четырьмя переменными действуют правила, ранее установленные для карт Карно, со следующими дополнениями: Рае. 5З5. Карта Карно лва четырех переменных е занесенными полными коньюикниами. хааа г а с В одной группе могут быть объединены 2, 4, 8 или 16 соседних полных конъюнкций. Карта Карно для четырех переменных имеет форму шара.
Поэтому клетки, находящиеся в противоположных концах одной строки или столбца, являются соседними. Разъясним подробнее принцип расширенного соседства. Рассмотрим рис. 5.3б. Карта (а) показывает, что группы из двух клеток можно образовать не толысо из полных конъюнкций, которые находятся на концах одной строки, но и из полных конъюнкций, находящихся на концах одного столбца. в! Рис. 5.3б. Группировка по принципу — ! с ° о расширенного соседства.
Диаграмма (б) показывает образование О группы из четырех клеток. Диаграмма (в) также показывает образование счетверенной группы. Единицы по углам являются соседними, так как при с с с форме шара поля прилегают друг к другу в смежными сторонами. Другое дело карта на рис. 5.37. Только две единицы по углам не могут образовать сдвоенную группу, так как они не являются смежными — как показано на виде снизу. Рассмотрим ряд примеров с картами Карно для четырех переменных. в! в~ Вад онаау даа фоРмы нара ! ! !- ! — +— ! с с с О о Рие. 5.37. Карта Карно дла несоседиих полных конь- юнкций.
рррр р р тр лрф Пример 1 Составьте карту Карно по следующей нормальной форме ИЛИ: К = (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р) ч Ор са ® ч (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р) . 04 ® Для большей наглядности полные конъюнкции отмечены серыми номерами. Они обозначают соответствующие клетки.
На рис. 5.38 показана искомая диаграмма. 1о Рис. 5.33. Карта Карно к примеру 1. С с С Пример 2 Для задач управления требуется схема, удовлетворяющая таблице истинности (рис. 5.39). Эта схема должна быль максимально простой. ~АлВлС. О ~А ВлСлО ~Арале О ~А~ ВлС О Ала С О =рА В ело Рис. 5.39. Таблица истинности к примеру 2. Из таблицы истинности может быть определена нормальная форма ИЛИ У = (А л В л С л Р)ч (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р) ч О1 ® ® ч (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
