Angem_ch_5 (Все лекции по АнГему)

Лекция 14Глава 5. Системы линейных алгебраических уравнений.§5.1. Основные понятия.5.1.1. Определение. Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с nнеизвестными x1 , x2 ,..., xn называется система уравнений видаì a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,ïïï a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 ,íï .......................ïïîam1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm .(5.1)Величины b1 , b2 ,..., bm , называемые свободными членами уравнений, и a11 , a12 ,..., amn ,называемые коэффициентами системы, предполагаются известными, а величиныx1 , x2 ,..., xn − неизвестными, подлежащими определению.

Каждый коэффициент имеет дваиндекса, первый из которых обозначает номер уравнения, а второй – номернеизвестного, при котором находится этот коэффициент.5.1.2. Определение.Система линейных алгебраических уравнений называетсяоднородной, если свободные члены всех ее уравнений равны нулю, то естьb1 = b2 = ... = bm = 0 . В противном случае, то есть если найдется уравнение с отличным отнуля свободным членом, система называется неоднородной.5.1.3. Определение. Система линейных алгебраических уравнений называетсяквадратной, если число составляющих ее уравнений m равно числу неизвестных n .5.1.4. Определение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений (5.1)называется упорядоченная совокупность n чисел c1 , c2 ,..., cn , которые при подстановке всистему обращает каждое ее уравнение в тождество.Замечание. Удобно такжеX = ( x ; x ;...; x0102)0 Tnзаписывать решения системы (5.1) в виде столбцов:.5.1.5. Определение.Система линейных алгебраических уравнений называетсясовместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее несуществует ни одного решения.5.1.6. Определение.

Два решения системы линейных алгебраических уравнений c1 , c2 ,..., cnи d1 , d 2 ,..., d n называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенствc1 = d1 , c2 = d 2 ,..., cn = d n .5.1.7. Определение. Совместная система линейных алгебраическихназывается определенной, если она имеет единственной решение.уравнений5.1.8. Определение. Совместная система линейных алгебраических уравненийназывается неопределенной, если она имеет хотя бы два различных решения.5.1.9. Определение. Совокупность всех решений системы линейныхуравнений (5.1) называется ее общим решением.алгебраических5.1.10. Определение.

Матрица коэффициентов системы линейныхуравнений (5.1) называется основной матрицей системы.алгебраическихæ a1 1ça 21A= çç ...çè am1a 12 ... a 1 n ö÷a 2 2 ... a 2 n ÷.......... ÷÷a m 2 ... a m n ø5.1.11. Определение. Блочная матрица видаæ a11 a12 ... a1nçç a21 a22 ... a2n( A B) = çç .............çç a a ...

amnè m1 m2b1 ö÷b2 ÷÷.. ÷÷bm ÷øназывается расширенной матрицей системы (5.1).5.1.12. Матричная форма записи системы линейных алгебраических уравнений.Введем в рассмотрение столбец неизвестныхX = ( x1 ; x2 ;...; xn )Tи столбец свободныхчленов B = ( b1; b2 ;...; bm ) . Заметим, что система (5.1) может быть записана в видеTAX = B .Это представление называется матричной формой записи системы линейныхалгебраических уравнений.5.1.13. Векторная форма записи системы линейных алгебраических уравнений.Рассмотрим расширенную матрицу системы как совокупность столбцов матрицы какrrrTTTвекторовa1= ( a11 ; a21 ;...; am1 ) ,a 2 = ( a12 ; a22 ;...; am 2 ) , ...

, a n = ( a1n ; a2n ;...; amn ) ,rTb = ( b1; b2 ;...; bm ) .Тогда система (5.1) может быть представлена в формеrrrra1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b ,которая называется векторной формой записи системы линейных алгебраическихуравнений.§5.2. Решение неоднородных системлинейных алгебраических уравнений.5.2.1. Теорема Кронекера-Капеллиалгебраических уравнений)(КритерийсовместностисистемылинейныхДля того, чтобы система линейных алгебраических уравнений (5.1) была совместной,необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангуосновной матрицы системы:rank ( A B ) = rank ( A) .Доказательство:Необходимость.Пусть система (5.1) совместна.

Запишем систему в векторной формеrrrra1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b .Пусть совокупность чисел c1 , c2 ,..., cn является решением системы. Следовательно, имеетместо равенствоrrrrc1a1 + c2 a2 + ... + cn an = b .r rrОбозначим r = rank ( A ) , пусть a1 , a2 ,..., ar − базисные столбцы. Тогда последнее равенствоrозначает, что столбец свободных членов b является линейной комбинацией базисныхr rrстолбцов, то есть a1 , a2 ,..., ar являются базисными столбцами и для расширенной матрицы.Следовательно, rank ( A B ) = rank ( A) .Достаточность.r rrПусть rank ( A B ) = rank ( A) = r , a1 , a2 ,..., ar − базисные столбцы.

Заметим, что столбецrсвободных членов b не может быть базисным, иначе условие rank ( A B ) = rank ( A) неrвыполняется. Следовательно, столбец b может быть представлен в виде линейнойкомбинации базисных столбцов, то есть существуют числаrrrr$c1 , c2 ,..., cr Îb = c1a1 + c2 a2 + ... + cr ar .Полагая cr +1 = ... = cn = 0, запишемrrrrrrb = c1a1 + c2 a2 + ...

+ cr ar + 0 × ar +1 + ... + 0 × an .Таким образом, c1 , c2 ,..., cr , 0,.., 0 − решение системы (5.1), то есть система совместна.5.2.2. Нахождение всех решений совместной неоднородной системы линейныхалгебраических уравнений.Пусть система (5.1) является совместной, тогда согласно теореме Кронекера-Капеллиrank ( A B ) = rank ( A) = r £ n . Предположим без ограничений общности, что базисныйминор расширенной матрицы системы расположен в левом верхнем углу. Тогда первые rуравнений соответствуют базисным строкам, а оставшиеся n - r уравнений являются ихследствиями и могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения.

Запишем первые rуравнений, оставив в левой части лишь первые r переменных, соответствующихбазисным столбцам:ì a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr = b1 - a1r +1 xr +1 - ... - a1n xn ,ïïa21 x1 + a22 x2 + ... + a2 r xr = b2 - a2 r +1 xr +1 - ... - a2 n xn ,ïíï .......................................ïïî ar1 x1 + ar 2 x2 + ... + arr xr = br - ar r +1 xr +1 - ... - arn xn .(5.2)Заметим, что систему уравнений (5.2) можно рассматривать относительно неизвестныхx1 , x2 ,..., xr при произвольных значениях переменных xr +1 , xr + 2 ,..., xn . Поэтому можносчитатьэтипеременныепроизвольнымипостоянными,положивx=c1 , x=c2 ,...,=xn cn -r .

Заметим также, что матрица получившейся системы (5.2)r +1r +2относительно неизвестных x1 , x2 ,..., xr является невырожденной, поскольку ееопределителем является базисный минорa11 a12 ... a1rM =a 21 a 22... a 2 r.............ar 1 ar 2¹ 0,... a rrследовательно, ее решение может быть найдено по формулам Крамера:a11 a12 ... a1 j -1 b1 - a1 r +1 c1 - ... - a1 n c n - r a1 j +1 ... a1 rcj =1 a 21 a 22 ...

a 2 j -1 b2 - a 2 r +1c1 - ... - a 2 n c n - r a 2 j +1 ... a 2 r.M ...............................................ar1 a r 2... a rj -1 br - a rr +1c1 - ... - a rn c n - ra rj +1 ...a rrИспользуя свойства определителя и обозначая определитель, в котором столбец jзаменен на столбец xi = ( x1 ... xr ) , через M j ( xi ) , перепишем последнюю форму в виде:T1(5.3)( M j ( bi ) - c1M j ( air +1 ) - c2 M j ( air+2 ) - ... - cn -r M j ( ain ) ) .MЛегко показать, что формулы (5.3) задают все решения совместной системы линейныхалгебраических уравнений (5.1). Действительно, пусть числа c10 , c20 ,..., cn0 образуютрешение системы (5.1), тогда они являются решением системы (5.2), следовательно,значения c10 , c20 ,..., cr0 однозначно определяются формулами (5.3) при c1 = cr0+1 ,..., cn - r = cn0 .cj =Замечание 1.

Переменные x1 , x2 ,..., xr обычно называют базисными, а переменныеxr +1 , xr + 2 ,..., xn - свободными.Замечание 2. В случае системы линейных алгебраических уравнений, у которойrank ( A B ) = rank ( A) = n , число свободных переменных, очевидно, будет равно нулю.Следовательно, из формул (5.3) получим единственное решение системы, то есть системабудет определенной.Таким образом, для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений имелаединственное решение, необходимо и достаточно, чтобы число неизвестных непревышало числа уравнений и чтобы ранг расширенной матрицы системы был равенрангу основной матрицы системы и был равен числу неизвестных:rank ( A B ) = rank ( A) = n ,m³n.Пример.ì 2 x1 - x2 + 2 x3 - x4 = 7;ïïï x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 = 1;íï 3x1 + x2 + 3x3 + x4 = 8;ïïî x1 - 3 x2 + x3 - 3x4 = 6.Исследуем, является ли система совместной:æ 2 -1 2 -1ç2 12ç1çç3 1 3 1ççè1 - 3 1 - 3Следовательно,7ö÷1÷÷8÷÷6 ÷øIæöç÷ç 2 × II - I ÷ç÷ç III - II - I ÷çç÷÷è IV + II - I øæ 2 -1ç5ç0ç0ç0çç0è02000-17ö÷5 - 5÷÷.00÷÷00 ÷ørank ( A B ) = rank ( A) = 2 , то есть на основании теоремы Кронекера-Капелли система является совместной.Выберем в качестве базисного минор, образованный пересечением строк 1 и 2 и столбцов1 и 2:M=2 -10 5= 10 ¹ 0.Следовательно, переменные x1 , x2 будут базисными, а x3 , x4 - свободными.

Перепишемуравнения, полагая x3 = c1 , x4 = c2 :ìï 2 x1 - x2 = 7 - 2c1 + c2 ;íîï x2 = -1 - c2 ,ìï x1 = 3 - c1;Þ íîï x2 = -1 - c2 .Таким образом, решение системы имеет вид:æ x1 ö æ 3 - c1 öç ÷ ç÷ç x2 ÷ ç -1 - c2 ÷X =ç ÷=ç÷.ç x3 ÷ ç c1 ÷çç ÷÷ çç÷÷è x4 ø è c2 øЛекция 15§ 5.3. Решение однородных систем линейныхалгебраических уравнений.Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравненийì a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,ïïï a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = 0,íï.