Angem_ch_5 (Все лекции по АнГему), страница 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ïïî am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0.(5.4)Заметим, что однородная система (5.4) всегда имеет решение, по крайней меретривиальное, то есть x1 = 0, x2 = 0,..., xn = 0. Таким образом, в случае однородной системыимеет смысл исследовать, когда система имеет нетривиальные решения. Ответ на этотвопрос дает следующая теорема.5.3.1. Теорема. (Критерий существования нетривиального решения однородной системылинейных алгебраических уравнений)Для того, чтобы у однородной системы линейных алгебраических уравнений существовалонетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы былменьше числа неизвестных:rank ( A) < n.Доказательство:Необходимость. Пусть c1 , c2 ,..., cn ( c12 + c22 + ... + cn2 ¹ 0 ) - нетривиальное решение системы(5.4) . Записывая систему в векторной форме, получимrrr rc1a1 + c2 a2 + ...

+ cn an = 0 ,что означает линейную зависимость столбцов основной матрицы системы (5.4),следовательно, определитель матрицы не является базисным минором, откуда вытекает,что ранг матрицы меньше числа неизвестных rank ( A) < n.Достаточность.

Пусть теперь ранг матрицы системы меньше числа неизвестныхrank ( A) < n. Тогда число базисных столбцов меньше общего числа столбцов,следовательно, столбцы матрицы линейно зависимы, т.е.rrr rc1a1 + c2 a2 + ... + cn an = 0 ,$c1 , c2 ,..., cn ( c12 + c22 + ... + cn2 ¹ 0 )что и означает существование нетривиального решения.Следствие 1. Для того, чтобы квадратная, однородная система линейных алгебраическихуравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определительматрицы системы был равен нулю.Доказательство очевидным образом вытекает из предыдущей теоремы 5.3.1, так какусловие rank ( A ) < n в случае квадратной матрицы A эквивалентно условию det ( A ) = 0 .Следствие 2.

Если число уравнений однородной системы линейных алгебраическихуравнений меньше числа неизвестных, то она имеет нетривиальное решение.Доказательство:Очевидно, ранг основной матрицы системы не превышает числа ее строк, то есть числауравнений, следовательно, по теореме 5.3.1 получаем требуемое утверждение.5.3.2. Нахождение решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.Так как однородная система является (5.4) является частным случаем неоднороднойr rсистемы (5.1), то ее решения могут быть найдены из формул (5.3) при условии b = 0 , т.е.1c j = - ( c1 M j ( air +1 ) + c2 M j ( air + 2 ) + ...

+ cn - r M j ( ain ) ) .(5.5)M5.3.3. Свойства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.Приведем основные свойства решений однородной системы уравнений:5.3.3.1. Теорема.Сумма решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (5.4) такжеявляется решением этой системы.Доказательство:Пустьæ x1(1) öæ x1(2) öç÷ç÷(1)(2)ç÷çxx22 ÷X (1) = ç÷ , X ( 2) = ç÷ - решения системы (5.4).ç M ÷ç M ÷ç (1) ÷ç (2) ÷çx ÷çx ÷è n øè n øСледовательно, справедливы следующие векторные равенстваrrr rx1(1)a1 + x2(1) a2 + ...

+ xn(1)an = 0,rrr rx1(2)a1 + x2(2)a2 + ... + xn(2)an = 0.Складывая последние равенства, получимr( x1(1) + x1(2) ) ar1 + ( x2(1) + x2(2) ) ar2 + ... + ( xn(1) + xn(2) ) arn = 0,что и означает, что сумма решенийæ x1(1) + x1( 2) öç÷(1)( 2)ç÷+xx22X (1) + X ( 2) = ç÷ также является решением системы (5.4).Mç÷ç (1)÷ç x + x ( 2) ÷n øè n5.3.3.2. Теорема.Произведение решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (5.4) напроизвольное действительное число также является решением этой системы.Доказательство:Пустьæ x1 öç ÷ç x2 ÷X = ç ÷ - решение системы (5.4).çM ÷ç ÷çx ÷è nøСледовательно,rrr rx1a1 + x2 a2 + ... + xn an = 0.Умножая последнее равенство на произвольное действительное число a Îrrr ra x1a1 + a x2a2 + ...

+ a xn an = 0,что и доказывает теорему., получим:Замечание. Таким образом, всякая линейная комбинация решений однородной системылинейных алгебраических уравнений также является решением системы.5.3.3.3. Теорема.Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений являетсялинейным пространством размерности n - r , где n - число неизвестных, а r - рангосновной матрицы системы.Без доказательства.Следствие 1. Всякая упорядоченная совокупность n - r линейно решений однороднойсистемы линейных алгебраических уравнений является базисом линейного пространстварешений этой системы.Следствие 2. Множество решений однородной системы линейных алгебраическихуравнений образует подпространство в линейном пространствеn -мерныхарифметических векторов.Следствие 3.

Общим решением однородной системы линейных алгебраических уравнений(5.4) является линейная комбинация всех элементов произвольного базиса линейногопространства ее решений с произвольными коэффициентами.5.3.4. Определение. Всякая совокупность n - r линейно решений однородной системылинейных алгебраических уравнений называется ее фундаментальной системойрешений.Замечание. Фундаментальная система (совокупность) решений может быть такжеопределена как произвольный базис в линейном пространстве решений однороднойсистемы линейных алгебраических уравнений.5.3.5.

Нормальная фундаментальная система решений.Придавая свободным переменным последовательно значенияc1 = 1, c2 = 0, ... , cn-r = 0,c1 = 0, c2 = 1, ... ,cn-r = 0,........................c1 = 0, c2 = 0, ... , cn-r = 1,получим n - r линейно независимых решений системы (5.4) в видеæ M1 ( air+1 ) öæ M1 ( air+2 ) öæ M1 ( ain ) öç÷ç÷ç÷MMM ÷ç÷ç÷çç M (a ) ÷ç M (a ) ÷ç M (a ) ÷ç - 2 ir+1 ÷ç - 2 ir +2 ÷ç - 2 in ÷MMM ÷ç÷ç÷çç÷ç÷ç÷MMMç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷X1 = ç - M r ( air+1 ) ÷ , X 2 = ç - M r ( air +2 ) ÷ , ...

, X n-r = ç - M r ( ain ) ÷ .ç÷ç÷çMMM ÷ç÷ç÷ç÷100ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷010ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷MMMç÷ç÷ç÷çç÷÷çç÷÷çç÷÷001èøèøèøПолученная упорядоченная совокупность решений называетсяфундаментальной системой решений для однородной системы (5.4).(5.6)нормальнойЗамечание. Таким образом, общее решение системы (5.4) может быть записано в видеX = c1 X1 + c2 X 2 + ...+ cn-r X n-r .(5.7)Пример.Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравненийì 2 x1 - x2 + 3x3 - 4 x4 = 0;ïïï x1 + 2 x2 + x3 + 3x4 = 0;íï 3x1 + x2 + 4 x3 - x4 = 0;ïïî x1 - 3x2 + 2 x3 - 7 x4 = 0.Приведем матрицу системы к ступенчатому видуæ2 -1 3 - 4öç÷2 13÷ç1ç÷ç 3 1 4 - 1÷çç÷÷è1 - 3 2 - 7 øIæöç÷ç 2 × II - I ÷ç÷ç III - II - I ÷çç÷÷è IV + II - I øæ2 -1 3 - 4öç÷5 0 10 ÷ç0ç÷0 0 0÷ç0çç÷0 0 0 ÷øè0Выберем базисный минор,2 -1= 10 ¹ 0 ,M=0 5соответствующий базисным переменным x1 , x2 . Следовательно, свободные переменныеx3 = c1 , x4 = c2 , откудаìï 2 x1 - x2 = -3c1 + 4c2 ;íîï5 x2 = -10c2 ,Полагаяc1 = 1, c2 = 0,ìï x1 = -1.5c1 + c2 ;Þ íîï x2 = -2c2 .c1 = 0, c2 = 1,получим соответствующую нормальную фундаментальную систему решенийæ -1.5öæ1öç÷ç ÷ç 0 ÷ç -2 ÷X1 = ç÷ , X2 = ç ÷.ç 1 ÷ç0÷çç÷÷çç ÷÷0èøè1øТаким образом, общее решение системы имеет видæ -1.5 öæ1öç÷ç ÷ç 0 ÷ç -2 ÷X1 = c1 ç÷ + c2 ç ÷ .ç 1 ÷ç0÷çç÷÷çç ÷÷è 0 øè1ø§ 5.4.

Связь между решениями неоднородной системылинейных алгебраических уравнений и решениямисоответствующей ей однородной системы.5.4.1. Теорема. Сумма произвольного решения неоднородной системы (5.1) и произвольногорешения соответствующей однородной системы (5.4) является решением неоднороднойсистемы (5.1).Доказательство:Пустьæ c1 öæ d1 öç ÷ç ÷ç c2 ÷ç d2 ÷C = ç ÷ , D = ç ÷ - решения неоднородной и однородной систем (5.1) и (5.4),çM÷çM÷çç ÷÷çç ÷÷cè nøè dn øсоответственно. Тогда в векторной формеrrrrc1a1 + c2a2 + ... + cnan = b ,rrr rd1a1 + d 2a2 + ... + d n an = 0.Складывая последние векторные равенства, получим:rrrr( c1 + d1 ) a1 + ( c2 + d 2 ) a2 + ... + ( cn + d n ) an = b ,что и доказывает теорему.5.4.2.

Теорема. Разность двух произвольных решений неоднородной системы (5.1) являетсярешением соответствующей однородной системы (5.4).Доказательство:Пустьæ c1 öæ d1 öç ÷ç ÷ç c2 ÷ç d2 ÷C = ç ÷ , D = ç ÷ - решения неоднородной системы (5.1), следовательно,çM÷çM÷çç ÷÷çç ÷÷cè nøè dn ørrrrc1a1 + c2a2 + ... + cnan = b ,rrrrd1a1 + d 2 a2 + ... + d n an = b .Вычитая равенства, получимrrr r( c1 - d1 ) a1 + ( c2 - d 2 ) a2 + ...

+ ( cn - d n ) an = 0,что и доказывает теорему.Замечание. Из теорем 5.4.1, 5.4.2 вытекает, что при сложении одного из решенийнеоднородной системы (5.1) со всеми решениями однородной системы (5.4) мы получимвсе решения исходной системы (5.1).Теорема 5.4.3. (О структуре решения неоднородной системы линейных алгебраическихуравнений)Сумма частного решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений собщим решением соответствующей однородной системы является общим решениемнеоднородной системы.Доказательство вытекает из теорем 5.4.1 и 5.4.2.Таким образом, общее решение системы (5.1) имеет видX = X 0 + c1 X1 + c2 X 2 + ...+ cn-r X n-r ,где X 0 - некоторое частное решение системы (5.1), а X1 , X 2 ,..., X n-r - фундаментальнаясистема решений соответствующей однородной системы (5.4).Пример.ì 2 x1 - x2 + 2 x3 - x 4 + x5 = 3;ïïï x1 + 2 x2 + x3 + 2 x 4 - 3 x5 = 1;íï 3 x1 + x 2 + 3 x3 + x 4 - 2 x5 = 4;ïïî x1 - 3 x 2 + x3 - 3 x4 + 7 x5 = 11.Исследуем, является ли система совместной:2 -1 1 3 ö æIæ 2 -1öç÷ ç÷12 - 3 1 ÷ ç II × 2 - I ÷ç1 2ç÷ ç÷31 - 2 4 ÷ ç III - II - I ÷ç3 1çç÷ ç÷1 - 3 7 11ø÷ èç IV+II - I ÷øè1 - 32 -1 13öæ 2 -1ç÷05 - 7 - 1÷ç0 5ç÷0000÷ç0 0çç÷00039 ÷øè0Поскольку rank ( A B ) = rank ( A) = 3 , то система совместна.

Выбираем базисный минор2 -1 1M = 0 5 -7 = 30 ¹ 0 ,0 03соответствующий базисным переменным x1 , x2 и x5 . Тогда свободные переменныеx3 = c1 , x4 = c2 . Соответствующая система уравнений имеет видì 2 x1 - x2 + x5 = 3 - 2c1 + c2 ;ïí5 x2 - 7 x5 = -1 - 5c2 ;ï3x = 9;î 5Þì x1 = 2 - c1 ;ïí x2 = 4 - c2 ;ï x = 3;î 5Таким образом, решение системы имеет вид:æ x1 ö æ 2 - c1 ö æ 2 öæ -1öæ0öç ÷ ç÷ ç ÷ç ÷ç ÷ç x2 ÷ ç 4 - c2 ÷ ç 4 ÷ç0÷ç -1÷ç ÷ ç÷ ç ÷ç ÷ç ÷X = ç x3 ÷ = ç c1 ÷ = ç 0 ÷ + c1 ç 1 ÷ + c2 ç 0 ÷ .ç ÷ ç÷ ç ÷ç ÷ç ÷ç x4 ÷ ç c2 ÷ ç 0 ÷ç0÷ç1÷çç ÷÷ çç÷÷ çç ÷÷çç ÷÷çç ÷÷è x5 ø è 3 ø è 3 øè0øè0øЛегко видеть, что первый столбец полученного решения является частным решениемнеоднородной системы, а оставшаяся линейная комбинация – общее решениесоответствующей однородной системы, записанное в терминах нормальнойфундаментальной системы решений.5.4.5.

Процедура решения системы линейных алгебраических уравнений.Таким образом, последовательное решение системы линейных алгебраическихуравнений выглядит следующим образом:1. Составляем расширенную матрицу системы, приводим ее элементарнымипреобразованиями к ступенчатому виду и исследуем, выполняется ли условиеrank ( A B ) = rank ( A) ?2. а) Если rank ( A B ) ¹ rank ( A) , то система несовместна, решений нет.б) Если rank ( A B ) ¹ rank ( A) = n , то система является определенной, то естьимеет единственное решение.в) Если rank ( A B ) ¹ rank ( A) < n , то система имеет бесконечное множестворешений.3. В случае совместности системы выделяем базисный минор, и соответствующиебазисные переменные, полагаем свободные переменные произвольнымпостоянным и выражаем базисные переменные через свободные.5.4.6.

Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.Метод Гаусса также называется методом последовательного исключения неизвестных.Фактически он включает в себя приведение расширенной матрицы системыэлементарными преобразованиями к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса) иисследование совместности системы, а затем последовательное определение базисныхпеременных через свободные переменные (обратный ход метода Гаусса)..