МУ - М-17 (Механический резонанс), страница 2

Декремент вычисляют по формуле1/ nχ =[A0  .A ( nT ) (15)Оптимальная величина n зависит от степени затухания.3. Логарифмический декремент затухания равенλ = ln χ = ln eβT = βT .(16)4. Число колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации, равноNe =11τ== .T βT λ(17)При большом коэффициенте затухания, когда β ≥ ω0, колебания не возникают. Система, выведенная из равновесия, плавно возвращается в него. Хорошо известным примером служит дверь с пружиной и демпфирующим устройством.3. Вынужденные колебанияПри воздействии на осциллятор внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону, возникают незатухающие гармонические колебания, называемыевынужденными.С момента приложения вынуждающей (раскачивающей) силы сначала происходят переходные колебательные движения, а затем возникают установившиеся вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы (рис.5). Длительность переходного процесса по порядку величины равна времени ре9лаксации τ свободных затухающих колебаний.

Следовательно, переходный процесс длится тем дольше, чем меньше затухание.ϕ0tбaРис. 5. Процесс установления вынужденных колебаний:а – переходный процесс; б – установившиеся вынужденные колебанияПоскольку подводимая извне энергия пропорциональна амплитуде колебаний, а потери на трение пропорциональны квадрату амплитуды, амплитуда возрастает до тех пор, когда потери сравняются с подводимой энергией.Пусть на крутильный пружинный осциллятор действует внешняя вынуждающая сила, момент которой равенM (t ) = M 0 cos Ωt ,где Ω и M 0 – круговая частота и амплитуда момента силы, соответственно.В уравнение динамики (8) для крутильного осциллятора добавим моментвынуждающей силы: = − Rϕ − Dϕ + M 0 cos Ωt .JϕЭто уравнение принято записывать в следующем виде: + 2βϕ + ω02 ϕ =ϕM0cos Ωt ,J(18)в котором выражения для β и ω02 те же, что приводились выше:ω02 =DR; β=.J2JДля установившихся вынужденных колебаний решение уравнения (18)имеет вид [1-4]:10ϕ = Acos(Ωt − α ) .(19)Вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы Ω.

Они отстают по фазе от раскачивающей силы на величину α, анализ которой приведен влитературе [1-4]. Амплитуда вынужденных колебаний равнаA=M0 J(ω02−Ω)2 2,2+ 4β Ω(20)2Амплитуда колебаний пропорциональна амплитуде M0 момента вынуждающей силы, зависит от частоты Ω и коэффициента затухания β.Обсудим сначала предельные случаи по частоте колебаний.Как видно из (20), при частоте, стремящейся к нулю Ω → 0 , амплитуда колебаний равнаAст = M 0 D .(21)Это выражением получаем из формулы (20) подстановкой ω02 = D J . ВеличинаAст называется статическим отклонением и представляет собой отклонение изположения равновесия, получаемое осциллятором под действием постоянногомомента сил, равного M0.

В случае очень низких частот колебания происходят водинаковой фазе с вынуждающей силой (α = 0) и с амплитудой Aст. При этомдвижение тела происходит так, как будто осциллятор состоит только из пружины,которая медленно деформируется под действием внешней силы в соответствии сзаконом Гука.В случае высоких частот, которые много больше собственной частоты ω0,амплитуда вынужденных колебаний определяется приближенным выражением()A ≈ M 0 JΩ 2 .Как видим, с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний стремитсяк нулю. При этом пружина и сила сопротивления практически не оказываютвлияния на движение массивного тела осциллятора, а отклонение и вынуждающаясила находятся в противофазе: α = π.114.

РезонансГрафическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты(20) называется резонансной кривой (рис. 6). На частоте вынуждающей силы Ωр ,близкой к частоте свободных колебаний, амплитуда вынужденных колебанийдостигает максимума. Это явление называют резонансом, а частоту Ωр − резонансной частотой.AAAр1Aр22∆ΩAстAст3ΩΩрΩРис. 6. Резонансные кривые:а – показана ширина резонансной кривой ∆Ω;б – коэффициент затухания возрастает при переходе от кривой 1 к кривой 3Из условия экстремума функции (20), т.е.

из выраженияd A(Ω )= 0 , нахоdΩдим резонансную частотуΩ p = ω02 − 2β 2 .(22)Подставив (22) в (20), получим выражение для амплитуды при резонансеAp =M0 J2β ω02 − β 2.(23)Резонансная амплитуда возрастает с уменьшением коэффициента затуханияβ. На рис. 6, б показаны резонансные кривые для трех значений коэффициента затухания, который возрастает с увеличением номера графика. При большом затухании (кривая 3) резонансный пик практически исчезает. Следовательно, чем12меньше затухание свободных колебаний, тем сильнее проявляется резонансныйэффект.Резонансная частота Ωр меньше собственной частоты ω0 свободных незатухающих колебаний, причем различие уменьшается с уменьшением коэффициентазатухания (см.

(22)). Формулу (22) для резонансной частоты представим в следующем виде, выразив коэффициент β через Ne (см. (17)):Ω p = ω0 1 −12π N e22Величина Ne, равная числу колебаний за время релаксации, наглядно характеризует затухание свободных колебаний. Для случая очень быстрого затухания,когда Ne = 1, резонансная частота примерно на 3% меньше собственной частотыω0. Если же Ne = 10, то различие составляет всего 0,03%. Поэтому небольшим отличием резонансной частоты от собственной частоты часто можно пренебречь.Поскольку резонансная частота слабо зависит от коэффициента затухания,на рис. 6, б для его упрощения резонансная частота показана одинаковой для трехкривых.5.

Добротность осциллятораВажной характеристикой осциллятора является его добротность Q. Добротность имеет несколько определений, которые взаимосвязаны, и одно определение следует из другого для осциллятора с небольшим затуханием.1) Добротность равнаQ = πN e = π λ ,(24)где λ – логарифмический декремент затухания (см. (16)), Ne − число колебаний завремя релаксации (см. (17)).

Следовательно, чем меньше затухание свободных колебаний, тем выше добротность.2) Другое определение добротности:Q = 2πE ∆E ,(25)где E − энергия осциллятора в данный момент, ∆E − потеря энергии за один текущий период колебаний.13Приведем порядок величины добротности некоторых осцилляторов [3]:электромеханический вольтметр Q=2 … 5; сейсмические колебания земной корыQ=25 … 1400; рояльная струна Q=103; кварцевая пластина в кварцевых часахQ=104… 105.Рассмотрим струну с добротностью Q=103.

Она совершает N e = Q π = 320свободных колебаний, прежде чем амплитуда уменьшится e =2,72 раза (см. (24)).Логарифмический декремент затухания равен λ = π Q = 3,14 ⋅ 10 −3 . Отношение амплитуд в двух соседних периодах χ =A(t )= 1,003 . За один период энергия осA(t + T )циллятора уменьшается на 0,6%, или ∆E E = 2π Q = 0,0063 (см. (25)).Добротность осциллятора наглядно характеризует резонанс, поэтому рассмотрим еще два определения добротности.3) Добротность равна отношению амплитуды при резонансе к статическомуотклонению:Q=ApAст.(26)Чем больше добротность, тем выше резонансный отклик осциллятора по сравнению с нерезонансным.4) Добротность равна отношению резонансной частоты к ширине резонансной кривой ∆ΩQ=Ωp∆Ω.(27)Величину ∆Ω определяют по резонансной кривой на уровне, где амплитуда в 2раз меньше амплитуды Aр в резонансе (см.

рис. 6, а).Выражение (27) важно, например, для радиоприемника, в котором происходят вынужденные колебания напряжения в LC-контуре, настроенном в резонанс сколебаниями в электромагнитной волне радиостанции. Две радиостанции с близкими частотами Ω1 и Ω2 могут приниматься раздельно, если разность частот многобольше ширины резонансной кривой:Ω1 − Ω 2 >> ∆Ω = Ω Q ,14где Ω − среднее значение частоты двух радиостанций.Добротность осциллятора зависит от его параметров:для пружинного осциллятора с поступательным движениемQ=mk,r(28)Q=JD.R(29)для крутильного осциллятораИз формул (28) и (29) видно, как можно изменять добротность.

Для увеличения добротности и усиления резонанса необходимо увеличивать массу m (илимомент инерции J) и жесткость пружины (k или D), а коэффициент сопротивления(r или R) − уменьшать. Для борьбы с резонансом необходимо уменьшать добротность, делая все наоборот.Если массу (или момент инерции) изменить так же, как и жесткость пружины, частота осциллятора не изменится (см. (6)).