МУ - М-17 (Механический резонанс)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаИ.Н. ФетисовМЕХАНИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНСМетодические указания к выполнениюлабораторной работы М-17 по курсу общей физикиПод редакцией Н.К. ВеретимусМосква, 2012ВВЕДЕНИЕДвижения и процессы колебательного характера часто встречаются в физических явлениях и технических устройствах [1−4]. Физическая система, совершающая колебания, называется осциллятором (от лат.

oscillo – качаюсь). Примеры осцилляторов повсеместны: часы; музыкальная струна; автомобиль на рессорах; радиотехнические и электронные устройства и т.д.Колебания подразделяют на свободные, или собственные; вынужденные;автоколебания (примеры: часы, генератор тока высокой частоты) и др.Вертикальное движение тела, подвешенного на пружине, служит примеромсвободных колебаний. Частота свободных колебаний, называемая собственнойчастотой, определяется параметрами осциллятора: для пружинного осциллятора –массой тела и жесткостью пружины.Если на тело, подвешенное на пружине, действовать внешней вертикальнойсилой, изменяющейся по гармоническому (синусоидальному) закону, то возникнут вынужденные колебания.

Они происходят с частотой вынуждающей силы. Сизменением частоты изменяется амплитуда вынужденных колебаний. На частоте,близкой к собственной частоте, амплитуда может резко возрасти. Это явление называют резонансом.Резонанс − очень важное явление в колебательных процессах. Резонанс бывает и полезным, и вредным. Например, резонанс в электрическом LC-контуре радиоприемника полезен, он служит для настройки приемника на определенную радиостанцию. В механических устройствах резонанс часто вреден, вызывая большие вибрации, шум, быстрый износ и даже разрушение конструкции. Неприятный для слуха резонанс можно наблюдать иногда в автобусе при его разгоне сместа; возвратно-поступательное движение поршней в моторе создает раскачивающую силу для листов кузова, которые при некоторых оборотах мотора заметно дребезжат.Колебания различной физической природы (механические, электромагнитные и др.) имеют много общего с точки зрения их сущности и математическогоописания.

Поэтому изучение механических колебаний закладывает основу дляпонимания и электромагнитных колебаний.Цель работы – ознакомиться со свободными и вынужденными колебаниями, с резонансом. В экспериментальной части работы изучить свободные и вынужденные колебания рамки электроизмерительного прибора, определить характеристики резонанса.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1.

Свободные незатухающие колебанияХарактеристики вынужденных колебаний и резонанса взаимосвязаны с характеристиками свободных колебаний. Поэтому сначала рассмотрим свободныеколебания, которые подразделяют на незатухающие и затухающие.Свободные незатухающие колебания могли бы возникнуть в механическойсистеме, если бы в ней полностью отсутствовали силы трения, приводящие к превращению механической энергии в тепловую. Хотя такие колебания – идеализация, изучение колебаний полезно начинать именно с них.Пружинный осциллятор с поступательным движением. Рассмотрим свободные колебания осциллятора, состоящего из тела массой m и легкой пружиныжесткостью k (рис. 1). Движение происходит без трения вдоль горизонтальной2прямой. Отклонение тела из положения равновесия обозначим x (в положенииравновесия x = 0 ).

При растяжении (сжатии) пружины на величину x на тело состороны пружины действует упругая сила, подчиняющаяся закону Гука:Fy = −kx ,(1)где k – коэффициент жесткости пружины.FykX0xРис. 1. Пружинный осциллятор с поступательным движениемСогласно второму закону Ньютона, произведение массы на ускорение a = xравно силе:mx = −kx .(2)Введем обозначениеω02 =k.mТогда уравнение динамики (2) преобразуется к форме, называемой дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний:x + ω02 x = 0 .(3)Решением уравнения (3) является гармоническая функция (косинус или синус):x = A cos(ω0 t + α ) ,(4)где x – отклонение из положения равновесия; A – амплитуда колебаний (наибольшее отклонение); (ω0 t + α ) – фаза колебаний; α – фаза в момент времениt = 0 (начальная фаза); ω0 – круговая, или циклическая, частота.3xA0tTРис. 2.

График незатухающих гармонических колебанийГрафик гармонических колебаний показан на рис. 2. Через интервалы времениT=2πω0весь процесс в точности повторяется. Поэтому T называют периодом гармонических колебаний. Число колебаний за единицу времени называют частотой колебанийν=1.TЧастота измеряется в герцах, Гц = с-1. Например, частота переменного промышленного тока ν = 50 Гц, или 50 колебаний в секунду. Частота ν, период колебаний T и круговая частота ω, с-1 (герцем называть нельзя) связаны соотношениемω=2π= 2πν .TСобственная циклическая частота пружинного осциллятора равнаω0 =k,mT = 2πm.kа период колебаний4При небольших деформациях пружины, в пределах которых выполняетсялинейный закон Гука (1), колебания будут гармоническими, а их частота не зависит от амплитуды.Амплитуда и начальная фаза определяются тем, как система была выведенаиз состояния покоя – начальным отклонением и толчком.

Например, если теломаятника отклонили из положения равновесия на величину A в положительномнаправлении и отпустили без толчка, то в формуле (4) амплитуда равна A, а начальная фаза α = 0 . Если тело отклонили в противоположном направлении, тоα=π.Полная механическая энергия E свободных незатухающих колебаний остается постоянной и для пружинного осциллятора в любой момент времени описывается выражениемm v 2 kx 2E = Eк + Eп =+= const .22В процессе колебаний происходит «перекачивание» энергии из кинетической Eк в потенциальную Eп и обратно.21Рис.

3. Пружинный осциллятор с вращательным движениемПружинный крутильный осциллятор. Такой осциллятор отличается от предыдущего только тем, что в нем происходит вращательное движение (рис. 3). Упругую силу создает плоская спиральная пружина 2, один конец которой скреплен5с осью, а другой – с упором. Такой осциллятор используется в часах и электроизмерительных приборах.Закрученная на угол φ пружина создает момент упругих сил (моментом силы называют произведение силы на плечо), приложенный к вращающемуся телу1:M y = − Dϕ ,где D – коэффициент жесткости пружины, работающей на скручивание.

Это выражение аналогично закону Гука для деформаций сжатия-растяжения (1). Напомним, что.Запишем уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси [1-3]: = − Dϕ ,Jϕ(5) – угловое ускорение.где J – момент инерции тела, кг·м2; ϕВведем обозначениеω02 =DJ(6)и подставим его в (5). В результате получим дифференциальное уравнение свободных гармонических крутильных колебаний, совпадающее с уравнением (3): + ω02 ϕ = 0 .ϕСледовательно, крутильные колебания также происходят по гармоническому законуϕ = A cos(ω0 t + α )с частотой ω0 (см.

(6)) и периодомT = 2πJ.DКак видим, нет принципиальных различий между пружинными осцилляторами с поступательным и вращательным движением.62. Свободные затухающие колебанияВ реальных механических осцилляторах имеются диссипативные силы трения, превращающие механическую энергию в теплоту; в результате свободныеколебания затухают.В практически важных осцилляторах затухание обусловлено внутренним,или вязким, трением, а не трением скольжения одного твердого тела по другому.Внутреннее трение возникает при движении тел в газе или жидкости.

Именно этотрение ограничивает скорость плавания или быстрого движения в воздухе.Сила внутреннего трения, называемая также силой сопротивления, направлена против вектора скорости. При небольших скоростях поступательного движения сила сопротивления пропорциональна скорости [1,2]Fc = − ru ,(7)где r – коэффициент сопротивления, зависящий от коэффициента вязкости среды, а также от размеров и формы тела.При вращении тела вокруг неподвижной оси на тело действует момент силсопротивления, пропорциональный угловой скорости вращения ϕ :M c = − Rϕ ,где R – коэффициент сопротивления при вращении.В уравнение динамики крутильного осциллятора (5) добавим момент силысопротивления: = − Dϕ − Rϕ .Jϕ(8)Уравнение (8) приведем к стандартному виду, называемому дифференциальнымуравнением свободных затухающих колебаний: + 2β ϕ + ω02 ϕ = 0 ,ϕ(9)гдеω02 =β=D,JR.2JРешение уравнения (9) при ω0 > β имеет вид:7ϕ = A0 e −βt cos(ωt + α ) ,(10)ω = ω02 − β 2 .(11)гдеВыражение (10) описывает свободные затухающие колебания (рис.

4).Строго говоря, затухающие колебания – непериодический процесс. Однако ихпринято рассматривать как условно периодические с убывающей амплитудой,круговой частотой (11) и периодомT=2π2π=.22ωω0 − βКак видно из (11), частота ω затухающих колебаний меньше частоты ω0 незатухающих колебаний, но их различие мало в случае слабого затухания.ϕA0A=A0e−βtA(t)tTРис. 4.

График затухающих колебанийАмплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциальному закону, показанному штрихами на рис. 4:A(t ) = A0 e −βt ,(12)где величина β, с-1,β=R2J(13)называется коэффициентом затухания.Быстроту затухания характеризуют и другие параметры осциллятора.81. Время, за которое амплитуда уменьшается в e = 2,72 раза, называют временем релаксацииτ =1 β.2. Постоянное отношение амплитуды A(t ) к амплитуде A(t + T ) через одинпериод называют декрементом затуханияχ=A(t )= e βT .A(t + T )(14)В лабораторной работе декремент затухания находят следующим способом.Отклонив маятник на величину A0, отпускают его без толчка и измеряют амплитуду A(nT) через n периодов.