МУ - М-17 (1003843)
Текст из файла
Московский государственный технический университет имени Н.Э. БауманаИ.Н. ФетисовМЕХАНИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНСМетодические указания к выполнениюлабораторной работы М-17 по курсу общей физикиПод редакцией Н.К. ВеретимусМосква, 2012ВВЕДЕНИЕДвижения и процессы колебательного характера часто встречаются в физических явлениях и технических устройствах [1−4]. Физическая система, совершающая колебания, называется осциллятором (от лат.
oscillo – качаюсь). Примеры осцилляторов повсеместны: часы; музыкальная струна; автомобиль на рессорах; радиотехнические и электронные устройства и т.д.Колебания подразделяют на свободные, или собственные; вынужденные;автоколебания (примеры: часы, генератор тока высокой частоты) и др.Вертикальное движение тела, подвешенного на пружине, служит примеромсвободных колебаний. Частота свободных колебаний, называемая собственнойчастотой, определяется параметрами осциллятора: для пружинного осциллятора –массой тела и жесткостью пружины.Если на тело, подвешенное на пружине, действовать внешней вертикальнойсилой, изменяющейся по гармоническому (синусоидальному) закону, то возникнут вынужденные колебания.
Они происходят с частотой вынуждающей силы. Сизменением частоты изменяется амплитуда вынужденных колебаний. На частоте,близкой к собственной частоте, амплитуда может резко возрасти. Это явление называют резонансом.Резонанс − очень важное явление в колебательных процессах. Резонанс бывает и полезным, и вредным. Например, резонанс в электрическом LC-контуре радиоприемника полезен, он служит для настройки приемника на определенную радиостанцию. В механических устройствах резонанс часто вреден, вызывая большие вибрации, шум, быстрый износ и даже разрушение конструкции. Неприятный для слуха резонанс можно наблюдать иногда в автобусе при его разгоне сместа; возвратно-поступательное движение поршней в моторе создает раскачивающую силу для листов кузова, которые при некоторых оборотах мотора заметно дребезжат.Колебания различной физической природы (механические, электромагнитные и др.) имеют много общего с точки зрения их сущности и математическогоописания.
Поэтому изучение механических колебаний закладывает основу дляпонимания и электромагнитных колебаний.Цель работы – ознакомиться со свободными и вынужденными колебаниями, с резонансом. В экспериментальной части работы изучить свободные и вынужденные колебания рамки электроизмерительного прибора, определить характеристики резонанса.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1.
Свободные незатухающие колебанияХарактеристики вынужденных колебаний и резонанса взаимосвязаны с характеристиками свободных колебаний. Поэтому сначала рассмотрим свободныеколебания, которые подразделяют на незатухающие и затухающие.Свободные незатухающие колебания могли бы возникнуть в механическойсистеме, если бы в ней полностью отсутствовали силы трения, приводящие к превращению механической энергии в тепловую. Хотя такие колебания – идеализация, изучение колебаний полезно начинать именно с них.Пружинный осциллятор с поступательным движением. Рассмотрим свободные колебания осциллятора, состоящего из тела массой m и легкой пружиныжесткостью k (рис. 1). Движение происходит без трения вдоль горизонтальной2прямой. Отклонение тела из положения равновесия обозначим x (в положенииравновесия x = 0 ).
При растяжении (сжатии) пружины на величину x на тело состороны пружины действует упругая сила, подчиняющаяся закону Гука:Fy = −kx ,(1)где k – коэффициент жесткости пружины.FykX0xРис. 1. Пружинный осциллятор с поступательным движениемСогласно второму закону Ньютона, произведение массы на ускорение a = xравно силе:mx = −kx .(2)Введем обозначениеω02 =k.mТогда уравнение динамики (2) преобразуется к форме, называемой дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний:x + ω02 x = 0 .(3)Решением уравнения (3) является гармоническая функция (косинус или синус):x = A cos(ω0 t + α ) ,(4)где x – отклонение из положения равновесия; A – амплитуда колебаний (наибольшее отклонение); (ω0 t + α ) – фаза колебаний; α – фаза в момент времениt = 0 (начальная фаза); ω0 – круговая, или циклическая, частота.3xA0tTРис. 2.
График незатухающих гармонических колебанийГрафик гармонических колебаний показан на рис. 2. Через интервалы времениT=2πω0весь процесс в точности повторяется. Поэтому T называют периодом гармонических колебаний. Число колебаний за единицу времени называют частотой колебанийν=1.TЧастота измеряется в герцах, Гц = с-1. Например, частота переменного промышленного тока ν = 50 Гц, или 50 колебаний в секунду. Частота ν, период колебаний T и круговая частота ω, с-1 (герцем называть нельзя) связаны соотношениемω=2π= 2πν .TСобственная циклическая частота пружинного осциллятора равнаω0 =k,mT = 2πm.kа период колебаний4При небольших деформациях пружины, в пределах которых выполняетсялинейный закон Гука (1), колебания будут гармоническими, а их частота не зависит от амплитуды.Амплитуда и начальная фаза определяются тем, как система была выведенаиз состояния покоя – начальным отклонением и толчком.
Например, если теломаятника отклонили из положения равновесия на величину A в положительномнаправлении и отпустили без толчка, то в формуле (4) амплитуда равна A, а начальная фаза α = 0 . Если тело отклонили в противоположном направлении, тоα=π.Полная механическая энергия E свободных незатухающих колебаний остается постоянной и для пружинного осциллятора в любой момент времени описывается выражениемm v 2 kx 2E = Eк + Eп =+= const .22В процессе колебаний происходит «перекачивание» энергии из кинетической Eк в потенциальную Eп и обратно.21Рис.
3. Пружинный осциллятор с вращательным движениемПружинный крутильный осциллятор. Такой осциллятор отличается от предыдущего только тем, что в нем происходит вращательное движение (рис. 3). Упругую силу создает плоская спиральная пружина 2, один конец которой скреплен5с осью, а другой – с упором. Такой осциллятор используется в часах и электроизмерительных приборах.Закрученная на угол φ пружина создает момент упругих сил (моментом силы называют произведение силы на плечо), приложенный к вращающемуся телу1:M y = − Dϕ ,где D – коэффициент жесткости пружины, работающей на скручивание.
Это выражение аналогично закону Гука для деформаций сжатия-растяжения (1). Напомним, что.Запишем уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси [1-3]: = − Dϕ ,Jϕ(5) – угловое ускорение.где J – момент инерции тела, кг·м2; ϕВведем обозначениеω02 =DJ(6)и подставим его в (5). В результате получим дифференциальное уравнение свободных гармонических крутильных колебаний, совпадающее с уравнением (3): + ω02 ϕ = 0 .ϕСледовательно, крутильные колебания также происходят по гармоническому законуϕ = A cos(ω0 t + α )с частотой ω0 (см.
(6)) и периодомT = 2πJ.DКак видим, нет принципиальных различий между пружинными осцилляторами с поступательным и вращательным движением.62. Свободные затухающие колебанияВ реальных механических осцилляторах имеются диссипативные силы трения, превращающие механическую энергию в теплоту; в результате свободныеколебания затухают.В практически важных осцилляторах затухание обусловлено внутренним,или вязким, трением, а не трением скольжения одного твердого тела по другому.Внутреннее трение возникает при движении тел в газе или жидкости.
Именно этотрение ограничивает скорость плавания или быстрого движения в воздухе.Сила внутреннего трения, называемая также силой сопротивления, направлена против вектора скорости. При небольших скоростях поступательного движения сила сопротивления пропорциональна скорости [1,2]Fc = − ru ,(7)где r – коэффициент сопротивления, зависящий от коэффициента вязкости среды, а также от размеров и формы тела.При вращении тела вокруг неподвижной оси на тело действует момент силсопротивления, пропорциональный угловой скорости вращения ϕ :M c = − Rϕ ,где R – коэффициент сопротивления при вращении.В уравнение динамики крутильного осциллятора (5) добавим момент силысопротивления: = − Dϕ − Rϕ .Jϕ(8)Уравнение (8) приведем к стандартному виду, называемому дифференциальнымуравнением свободных затухающих колебаний: + 2β ϕ + ω02 ϕ = 0 ,ϕ(9)гдеω02 =β=D,JR.2JРешение уравнения (9) при ω0 > β имеет вид:7ϕ = A0 e −βt cos(ωt + α ) ,(10)ω = ω02 − β 2 .(11)гдеВыражение (10) описывает свободные затухающие колебания (рис.
4).Строго говоря, затухающие колебания – непериодический процесс. Однако ихпринято рассматривать как условно периодические с убывающей амплитудой,круговой частотой (11) и периодомT=2π2π=.22ωω0 − βКак видно из (11), частота ω затухающих колебаний меньше частоты ω0 незатухающих колебаний, но их различие мало в случае слабого затухания.ϕA0A=A0e−βtA(t)tTРис. 4.
График затухающих колебанийАмплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциальному закону, показанному штрихами на рис. 4:A(t ) = A0 e −βt ,(12)где величина β, с-1,β=R2J(13)называется коэффициентом затухания.Быстроту затухания характеризуют и другие параметры осциллятора.81. Время, за которое амплитуда уменьшается в e = 2,72 раза, называют временем релаксацииτ =1 β.2. Постоянное отношение амплитуды A(t ) к амплитуде A(t + T ) через одинпериод называют декрементом затуханияχ=A(t )= e βT .A(t + T )(14)В лабораторной работе декремент затухания находят следующим способом.Отклонив маятник на величину A0, отпускают его без толчка и измеряют амплитуду A(nT) через n периодов.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
