Учебник - Уравнение Гамильтона-Якоби - Сидоренко В.В.

Московский физико-технический институтВ.В.СидоренкоУРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИМосква, 2006.АннотацияПособие посвящено методу отыскания законов движения механическихсистем, предложенному Карлом Якоби. Метод Якоби основан на построениичастного решения уравнения Гамильтона-Якоби - уравнения с частнымипроизводными первого порядка от одной неизвестной функции. Особоевнимание в пособии уделяется содержательным примерам использованияданного метода (в частности, в небесной механике и в астрофизике).

Показано,каким образом теория уравнения Гамильтона-Якоби позволяет перейти отклассического к квантомеханическому описанию движущихся объектов.Кратко обсуждается аналог уравнения Гамильтона-Якоби в теорииоптимального управления - уравнение Беллмана.МЕТОД ЯКОБИ ИНТЕГРИРОВАНИЯУРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ1.Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл. Основным фактомтеории уравнений с частными производными первого порядка от однойнеизвестной функции является взаимосвязь процедуры поиска их решений синтегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений.Пусть H (qi , pi , t ) - функция Гамильтона механической системы с nстепенями свободы.

В начале XIX века немецким математиком Карлом Якобибыло установлено, что интегрирование уравнений движения в каноническойформеdqi H dpiH,, i  1, n(1)dt pidtqiтесно связано с интегрированием следующего уравнения в частныхпроизводных:SS H (qi ,, t )  0.(2)tqiУравнение (2) называют уравнением Гамильтона-Якоби. Оно полученоSподстановкой производныхвместо обобщенных импульсов pi вqiвыражение для гамильтонианас последующим егоH (qi , pi , t )Sсуммированием с производной.tОпределение.

Полным интегралом уравнения Гамильтона-Якобиназывают такое его решение S (qi , i , t ) , которое зависит от n параметров1,  ,  n и удовлетворяет условию невырожденности 2S   0.det  q   i j(3)Полный интеграл не содержит всех решений уравнения (2) – общее решениеэтого уравнения в частных производных включает произвольные функции.Тем не менее, полный интеграл позволяет получить все решения каноническихуравнений (1).Теорема Якоби. Если известен полный интеграл уравнения ГамильтонаЯкоби S (qi , i , t ) , то общее решение уравнений движения (1) получается изсоотношенийSS pi , i , i  1, n ,(4)qi iгде 1 ,  ,  n и1,  ,  n следует рассматривать как произвольныепостоянные.Доказательство. Сначала убедимся в том, что соотношения (4) являютсяпервыми интегралами уравнений движения (1).ПодстановкавуравнениеГамильтона-Якобиполногоинтеграла S (qi , i , t ) приводит к тождествуSS(qi ,  i , t )  H (qi ,(qi ,  i , t ), t )  0.(5)tqiПродифференцируем данное тождество по i :n2SH  2 S 0.(6)t i k 1 pk qk  idqHТеперь, принимая во внимание соотношения k (k  1, n) , получим:dt pkn2S 2 S dqk d  S .(7) t i k 1  i qk dtdt   i Дифференцируя (5) по qi и воспользовавшись соотношениями (1),найдем:n 2 S HH  2 S0(8)tqi qi k 1 pk qk qi0n 2 S dpi 2 S dqk d  S  pi tqi dt k 1 qi qk dtdt  qiПо теореме о неявной функции соотношенияS i ( i  1, n) i 2S   0 ( S (qi , i , t ) - полный интеграл!)при условии невырожденности det  q   i jпозволяют выразить обобщенные координаты q1 ,  , qn через время t и 2nпроизвольных постоянных 1 ,  ,  n и 1 ,  ,  n :(9)qi  Qi (t , 1 ,  ,  n , 1 ,  ,  n ), i  1, n.S pi приводит к соотношению,qiопределящему изменение обобщенных импульсов:(10)pi  Pi (t , 1 ,  ,  n , 1 ,  ,  n ), i  1, n.Подстановка (9) в формулуТеорема Якоби доказана.Данная теорема является обоснованием предложенного К.Якоби методаинтегрирования уравнений движения.

Метод состоит в нахождении полногоинтеграла уравнения Гамильтона-Якоби с последующим построением общегорешения уравнений (1) на основе соотношений (4). Переход от соотношений (4)к формулам, определяющим общее решениеqi  Qi (t ,1 ,  , n , 1 ,  ,  n ), pi  Pi (t ,1 ,  , n , 1 ,  ,  n ), i  1, n,явным образом, может оказаться достаточно трудоемким. Тем не менее, он несвязан с рассмотрением дифференциальных уравнений.Упражнение. Показать, что попарные скобки Пуассона интеграловSFi  pi (i  1, n) равны нулю.qi2. Смысл термина «полный интеграл». Полный интеграл содержит всебе информацию об уравнении Гамильтона-Якоби, которому онудовлетворяет.Покажем, как восстановить исходное уравнение по известному полномуинтегралу S (qi , i , t ) .

Рассмотрим совокупность функцийf 0 (qi , i , t ), f1 (qi , i , t ),  , f n (qi , i , t ),возникающую после дифференцирования полного интеграла по t и iсоответственно:S(11)f 0 (qi ,  i , t ) ,tSS(12)f1 (qi ,  i , t ) ,  , f n (qi ,  i , t ) .q1qnSВеличины  i (i  1, n) выразим через t, qi и частные производные,qiвоспользовавшись соотношениями (12).

Правомерность обеспечена условиемневырожденности ( S (qi , i , t ) - полный интеграл!) 2S  ( f1 , , f n )  0. det  (1 , ,  n ) qi  j После подстановки(13)SS, t ),  ,  n (qi ,, t)(14)qiqiв соотношение (11) возникнет исходное уравнение в частных производных.1 (qi ,3.Существованиеполныхинтегралов.Врасширенномкоординатномпространстверассмотрим область D , обладающуюследующим свойством: если точки{qi0 , t0 } и {qi1 , t1} (где t1  t0 ) лежат вD , то уравнения движения (1) имеютрешениеqi (t ), pi (t ) , в которомизменение обобщенных удовлетворяет краевым условиямqi (t0 )  qi0 , qi (t1 )  qi1 (i  1, n ) .

(15)Рис. 1Вычисляя интеграл действия вдоль прямого пути, соединяющего эти точки(рис. 1), мы определим функцию V (qi1, t1, qi0 , t0 ) , называемую главной функциейГамильтона:t1dq10(16)V (qi , t1 , qi , t0 )   L(qi (t ), i (t ), t ) dt .dtt0Воспользовавшись формулой для вариации функционала действия на семействепрямых путей [1], несложно доказать, что(17)dV  pi1dqi1  H1dt1  pi0dqi0  H 0dt0 .Здесь(18)pi0  pi (t0 ), H 0  H (qi0 , pi0 , t0 )и, соответственно,(19)pi1  pi (t1 ), H1  H (qi1, pi1, t1 ) .Далее мы будем опускать индекс "1", записывая t , qi , pi , H вместо t1, qi1, pi1, H1 .Из выражения (17) для дифференциала главной функции Гамильтонаследует:V pi ( i  1, n ),(20)qiV(21)  H (qi , pi , t ).tЗаменив теперь в равенстве (21) обобщенные импульсы pi на производныеV, мы установим, что функция V удовлетворяет уравнению ГамильтонаqiЯкоби:VV(22) H (qi ,, t )  0.tqiТаким образом, располагая главной функцией Гамильтона, несложно получитьполный интеграл - зафиксируем t0  t0 и будем рассматривать qi0 (i  1, n) какпараметры.Уравнение (22) впервые было выписано Гамильтоном.

Он также показал,что соотношения (20) в совокупности с аналогичными соотношениямиV(23)  pi0 ( i  1, n )0qiопределяют законы движения(24)qi  qi (t , qi0 , pi0 ), pi  pi (t , qi0 , pi0 ), i  1, n .Тем не менее, нового способа находить законы движения Гамильтон неV эти законы предполагаютсяпредложил - при построении функцииизвестными.

В учебных руководствах по аналитической механике ситуацияхарактеризуется как порочный круг [1]: главная функция Гамильтона позволяетзаписать законы движения (24), но если эти законы нам неизвестны, мы несможем найти функцию V . Порочный круг был разорван К.Якоби: оказалось,что для построения законов движения подойдет любой полный интегралS (qi , i , t ) .4.

Полный интеграл как производящая функция каноническогопреобразования. Используем полный интеграл S (qi , i , t ) в качествепроизводящейфункциисвободногоунивалентногоканоническогопреобразованияqi , pi i , i .(25)Соотношения, связывающие старые и новые переменные, имеют вид:SS(26) pi , i, i  1, n .qi iЗамечание. Соотношения (26) отличаются от соотношений (4) знакомперед переменными i . Это необходимо для построения каноническогопреобразования.Формулы, определяющие изменение гамильтониана при каноническихпреобразованиях, позволяют установить, какой вид в новых переменныхприобретет гамильтониан H , фигурирующий в уравнении Гамильтона-Якоби сполным интегралом S (qi , i , t ) :SS (27)( i ,  i, t )   H (qi ,, t)   0.qti q  q ( i ,  i , t )Так как преобразованный гамильтониан тождественно равен нулю, новыеобобщенные переменные будут иметь неизменные значения вдоль решенийуравнений движения.Если теперь i и i в соотношениях (26) рассмотреть как некоторыенеизменные параметры, эти соотношения будут определять законы движениясистемы с гамильтонианом H - они задают qi и pi в виде функций времени t и2n параметров i , i (или параметров  i , i , где i  i )Итак, метод Якоби, состоящий в переходе от интегрирования уравненийдвижения к интегрированию уравнения в частных производных, можноинтерпретировать как поиск канонического преобразования, после которогогамильтониан интересующей нас системы тождественно равен нулю.«Это самый сильный из существующих методов точного интегрирования,и многие задачи, решенные Якоби, вообще не поддаются решению другимиметодами»[2].4.

Полные интегралы обобщенно-консервативных систем и систем сциклическимипеременными.ФункцияГамильтонаобобщенноконсервативной системы не зависит от t : H  H (qi , pi ) . В этом случае полныйинтеграл уравнения Гамильтона-ЯкобиSS(28) H (qi ,)0tqiможно разыскивать в виде(29)S  ht  W (qi ,1,  , n 1, h).Подстановка (29) в (28) приводит к следующему уравнению для функции W :W(30)H (qi ,)  h.qiФункцию W называют характеристической функцией, уравнение (30) укороченным уравнением Гамильтона-Якоби (в этом уравнении меньшепеременных: отсутствует переменная t ).