Учебник - Уравнение Гамильтона-Якоби - Сидоренко В.В., страница 2

Нас будут интересовать решенияуравнения (30), зависящие от n параметров 1,,  n 1, h и удовлетворяющиеусловию невырожденности  2W (31)  0 (здесь  n  h).det  q   i jЕсли какой-либо полный интеграл уравнения (31) известен, то соотношенияWWW(32) pi (i  1, n),  i (i  1, n  1), t  tqi ihопределяют неявным образом решения уравнений движения в каноническойформе, зависящие от 2n параметров t , h,  i ,  i (i  1, n  1) :(33)qi  Qi (t  t ,1,  , n 1, 1,  ,  n 1, h),pi  Pi (t  t ,1,  , n 1, 1,  ,  n 1, h).Уравнения Гамильтона-Якоби можно «укоротить» и в том случае, когдакакие-то обобщенные координаты являются циклическими. Пусть, например,циклическими будут координаты qk 1,  , qn : H  H (q1,  , qk , p1,  , pn , t ).Разыскивая полный интеграл в видеSn j q j  W (t , q1 ,  , qk ,1 ,  , n ) ,j  k 1(34)получим для W* уравнениеWWW  H (q1 ,  , qk ,  ,  ,, k 1 ,  , n )  0 .tq1qk(35)Пример.

Отвесное падение материальной точки в однородном полетяжести описывается уравнениями:dx HdpH(36),,dt pdtxгдеp2(37)H gx (масса точки m  1 )2Уравнение Гамильтона-Якоби, соответствующее гамильтониану (37),имеет вид2S 1  S (38)    gx  0 .t 2  x Легко проверить, что функция2 2(39)S ( x, h, t )  ht (h  gx)3 / 23gявляется полным интегралом уравнения (38). Общее решение уравнений (36)найдем из соотношенийSS2(40) 2 (h  gx)1 / 2  p, t (h  gx)1 / 2  t* .xhgРазрешая выражения (40) относительно x и p , получим:xh g (t  t ) 2, p   g (t  t ).g2МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ1.

Идея метода. Поиск решения уравнения Гамильтона-Якоби методомразделения переменных сводится к построению полного интеграласпециального вида:(1)S (qi ,i , t )  S0 (t ,i )  S1 (q1,i )    Sn (qn ,i ).Предполагается, что после подстановки (1) в уравнение Гамильтона-ЯкобиSS(2) H (qi ,, t)  0tqiмысможемвыделитьсовокупностьнезависимыхобыкновенныхдифференциальных уравнений, позволяющих определить S0 , S1,  , Sn .Полный интеграл вида (1) существует при наличии у изучаемоймеханической системы некоторой группы симметрий и, кроме того, прииспользовании обобщенных координат, учитывающих эти симметрии.При рассмотрении обобщенно консервативных систем метод разделенияцелесообразно применять для поиска решения укороченного уравненияW(3)H (qi ,)  h.qiХарактеристическую функцию W разыскивают в виде суммы(4)W (qi , j )  W1 (q1 , j )    Wn (qn , j ) ,где 1 ,  , j 1 - параметры.Метод разделения переменных не является "гарантированным" способомнахождения полных интегралов.

В общем случае переменные в уравненииГамильтона-Якоби не разделяются (п. 4). Тем не менее, данное обстоятельствоне уменьшает значимости обсуждаемого метода. Гамильтонианы многихсистем можно записать в виде(5)H (qi , pi , t )  H 0 (qi , pi , t )  H1 (qi , pi , t ) ,гдеH 0 - гамильтониан интегрируемой системы, а второе слагаемоеудовлетворяет условию(6)H1  H 0 .Интегрируемую систему можно использовать как отправную точку висследовании свойств системы с гамильтонианом (5) методами теориивозмущений.2.

Гамильтониан с иерархическим вхождением переменных("матрешка"). Покажем, что метод разделения переменных позволяет найтиполный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для системы с гамильтонианследующего вида:H  F ( f n ( f3 ( f 2 ( f1 (q1, p1 ), q2 , p2 ), q3 , p3 )  qn , pn ), t ) .(7)Для нахождения функцийS0 , S1, , Sn в выражении для полногоинтеграла (1) используем соотношенияdS1)  1 ,dq1dSf 2 (1 , q2 , 2 )   2 ,dq2f1 (q1 ,f n ( n 1 , qn ,(8)dS n)  ndqnиF ( n , t ) dS0.dt(9)Здесь 1 ,  , n - произвольные постоянные.Будем считать, что функции f1 (q1, p1 ), f 2 (1, q2 , p2 ),, f n ( n 1, qn , pn )действительно зависят от обобщенных импульсов:f i(10) 0 , i  1, n .piЕсли условие (10) выполнено, то соотношения (8) можно разрешитьотносительно производных функций Si :dS1(11) g1 (q1 ,1 ),dq1dS 2 g 2 (q2 ,1 , 2 ),dq 2dS n g n (qn , n 1 , n ).dq nТеперь, основываясь на соотношениях (9) и (11), выпишем полныйинтеграл с разделенными переменными:S (qi , i , t )   F ( n , t )dt (12) g1 (q1,1 )dq1     g n (qn , n 1, n )dqn .Функция (12) является полным интегралом, так как она зависит от nпараметров 1 ,  , n , удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (2) иусловию невырожденности:1n  f   2 S  n g ii  0 .det    q   p i j  i 1 i i 1  i Замечание.

Выражение(13) g i (qi , i )dqiв формуле (12) обозначает интегралqi g i (qi,  i )dqi(14)qi0с фиксированным нижним пределом, независящем от i .Пример. Рассмотрим движение материальной точки массы m вцентральном ньютоновском поле.Если в качестве обобщенных координат использовать сферическиеT икоординаты r ,  ,  , то выражения для кинетической энергиипотенциальной энергии  будут иметь следующий вид:mmT  r 2  r 2 2  r 2 2 sin 2  ,   (15).2rЗдесь  - гравитационный параметр.Уравнения движения могут быть записаны в гамильтоновой формеdp( r , , )d (r ,  , )HH,,(16)dtp( r , , )dt (r ,  ,  )гдеp2  m1  2 p2.Hpr  2  2 2  2m rr sin   rГамильтониан (17)вхождением переменных:является(17)гамильтонианомсиерархическимH  f r ( f ( f ( p ), , p ), r , pr ),f  ( p )  p2 , f ( f  ,  , p )  p2 fsin 2 1  2 f  m.f r ( f , r , pr )  pr  2  2m r  r(18),Следовательно, метод разделения переменных позволит построитьполный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби222 S   mS1  S 1  S 1  0.    t 2m  r  r 2    r 2 sin 2      r(19)3.

Разделение переменных при агрегированном вхождениисопряженных переменных. Пусть в функцию Гамильтона H обобщеннаякоордината qi и отвечающий ей импульс pi входят в виде функции (агрегата)fi (qi , pi ) :(20)H  F  f1 (q1, p1 ),  , f n (qn , pn ), t  .Покажем, что при таком "разделении" переменных в H полный интегралуравнения Гамильтона-Якоби SSS(21)F  f1 (q1 ,),  , f n (qn ,), t  0q1qn  tможет иметь вид (1).Подстановка выражения (1) в (21) дает нам соотношение dSdSdS(22)F  f1 (q1 , 1 ),  , f n (qn , n ), t   0  0 .dq1dqn dtСоотношение (22) должно быть тождеством при любых значениях координат .Это возможно только тогда, когда при изменении q1 ,  , qn агрегатыdSdS(23)f1 (q1 , 1 ) ,  , f n (qn , n )dq1dqnсохраняют свою величину.

Принимая во внимание данное обстоятельство, дляотыскания Si ( i  0, n ) получим следующую систему уравнений:F [1 ,  , n , t ] dS 00dt(24)иdSi(25))   i , i  1, n ,dqiгде 1 ,  , n - произвольные постоянные.Далее будет предполагаться, чтоf i(26) 0 , i  1, n .piПри выполнении условия (26) соотношения (25) можно разрешитьотносительно производных функций Si :dSi(27) gi (qi , i ) , i  1, n .dtТеперь, проинтегрировав (24) и (27), мы найдем интересующее нас выражениедля полного интеграла:f i (qi ,nS (qi , i , t )   F (1 ,, n , t )dt    gi (qi , i )dqi .(28)i 1Функция (28) является полным интегралом, так как она зависит от nпараметров 1 ,  , n , удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (2) иусловию невырожденности:1n  f   2 S  n g ii(29)  0 .det    q   p i j  i 1 i i 1  i Рассмотрим более сложный вариант агрегированного вхожденияпеременных в гамильтониан: f (q , p )   f n (qn , pn ) (30)H  F 1 1 1,t . g1 (q1 , p1 )   g n (qn , pn ) После подстановки выражения (1) в уравнение Гамильтона-Якоби,соответствующее такому гамильтониану, получим соотношениеdS n dS1f(q,)f(q,) 11nndq1dqndSF, t   0  0.(31)dt g (q , dS1 )    g (q , dS n ) nn 1 1 dq1dqn Тождеством при любых значениях q1,, qn и t это соотношение будет толькотогда, когдаdSdSf1 (q1 , 1 )    f n (qn , n )dq1dqn 1(32)dS ndS1g1 (q1 ,)    g n ( qn ,)dq1dqnиF[1 , t ] dS0 0,dt(33)где 1 - произвольная постоянная.Формулу (32) перепишем следующим образом:n dSdS (34)  fi (qi , dqi ) 1gi (qi , dqi )  0.i 1 ii В уравнении (34) переменные разделяются: равенство нулю при произвольныхq1,, qn суммы выражений, включающих только одну из этих переменных,возможно только при равенстве каждого из выражений постоянной величине:dSdS(35)f i (qi , i )   i g (qi , i )   i 1 , i  1, n .dqidqiПостоянные  2 ,, n 1 в (35) должны удовлетворять условию(36) 2   n 1  0 .Примем для определенности, что  2 ,, n принимают произвольные значения,(37) n 1   2   n .Уравнения (35) будем считать разрешимыми относительноdSi:dq idSi(38) ui (qi ,1 , i 1 ), i  1, n .dqiИнтегрируя (33) и (38), найдем полный интеграл уравнения Гамильтона-ЯкобиnS (qi , i , t )   F (1 , t )dt    ui (qi ,1 , i 1 )dqi .(39)i 1Завершая обсуждение разделения переменных в гамильтонианах сагрегированным вхождением сопряженных переменных, отметим, что вруководствах по теоретической механике обычно разбирается построениеполного интеграла системы с гамильтонианомf (q , p )    f n (qn , pn )(40),H 1 1 1g1 (q1 , p1 )    g n (qn , pn )являющимся частным случаем (30).Упражнение.