Учебник - Кинематика и динамика твердого тела - Амелькин, страница 6

Показать, что перемещение будет тем же самым,если вначале выполнить второй поворот вокруг осизатем первый вокруг осиξ1′ ,полученной изξ1ξ2 ,авторымповоротом.4. С твердым телом связана правая прямоугольная тройкавекторов e1 , e2 , e3 . Перемещение тела задается тремяпоследовательными поворотами: вокруг осиe1на уголα1 ,α3.вокруг оси e2 на угол α 2 и вокруг оси e3 на уголНайти ось и угол результирующего поворота твердого тела.445.

Последовательными поворотами вокруг собственныхосей тело повернули на угол α 1 вокруг оси e1 и на угол α 2e2 .вокруг осиДругое тело из того же начальногоположения повернули сначала вокруг осиe2на уголα2 , азатем вокруг оси e1 на угол α 1 . Определить относительноеположение тел в параметрах Родрига-Гамильтона.6. Показать, что из постоянства направления вектораугловой скорости твердого тела в неподвижной системекоординат следует постоянство направления этого вектора всвязанной с телом системе координат и наоборот.7. Показать, что если движение твердого телаотносительно некоторой системы отсчета являетсяпрецессией, то движение этой системы отсчета относительнотела также является прецессией.

Найти связь междупараметрами этих прецессий.3. Динамика твердого тела.Геометрия масс твердого тела. Тензор инерции иэллипсоид инерции. Получим формулу для моментаимпульса(кинетическогомомента)твердоготелаотносительно произвольного полюса Ο . В соответствии сопределением имеемΚ Ο = ∑ ri × miVi ,(3.1)iгдеVi–рассматриваемойскорость i-й точки тела относительносистемыотсчета,аri–соединяющий полюс Ο с i-й точкой тела (рис.

12).45вектор,ρiriCΟΑmiVirCРис. 12Обозначим черезVOскорость той точки тела, которая вданный момент совпадает с полюсом Ο . Тогда, используяформулу Эйлера для распределения скоростей в твердом телеVi = VO + ω × ri , получаемΚ O = m ⋅ rC × VO + ∑ mi ri × (ω × ri ),(3.2)i– масса тела, а rC – радиус-вектор центра масс C .Если с телом связать некоторый ортонормированныйбазис Ο e x e y e z и рассматривать ri и ω как векторы-гдеmстолбцы с компонентамиxi , y i , z iиω x ,ω y ,ω z ,товыражение под знаком суммы можно записать с помощьюматричных операций следующим образом∑ mi ri × (ω × ri ) = ∑ mi (ri , ri )ω − mi ri (ri ,ω ) =iiΤΤ= ∑ mi (ri ⋅ ri ⋅ Ι − ri ⋅ ri ) ⋅ ω = J O ⋅ ω ,(3.3)iгдеΙ– единичная матрица, Τ – знак транспонирования, а46J xx J xy J xzJ O = ∑ mi (ri ⋅ ri ⋅ Ι − ri ⋅ ri ) = J yx J yy J yzΤΤi(3.4) –J zx J zy J zzтензор инерции твердого тела относительно выбранногобазиса Ο e x e y e z .

Элементы этого тензора инерцииопределяются следующими выражениями:J xx = ∑ mi ( yi2 + zi2 ), J xy = J yx = −∑ mi xi yi ,iiJ yy = ∑ mi ( z + x ), J yz = J zy = −∑ mi yi zi ,i2i2iiJ zz = ∑ mi ( x + y ), J zx = J xz = −∑ mi zi xi .i2i2iiИз приведенных соотношений следует, что тензоринерции является симметричной матрицей, зависящей отрасположения точек тела относительно выбранного базиса.Диагональные элементы этой матрицы представляют собоймоменты инерции относительно осей Oe x , Oe y , Oe z , аостальные называются центробежными моментами инерции.Заметим, что если в определяющем тензор инерциисоотношении (3.3) заменить вектор ω на любой другойвектор µ , то получим аналогичное равенство:∑ mi ri × (µ × ri ) = J O ⋅ µ .(3.5)iПоэтому тензор инерции можно рассматривать какматричный оператор, который задает преобразование любоговектора µ по формуле (3.5).Через тензор инерции J O можно определить моментинерции тела относительно любой оси, проходящей через47точку Ο .

Обозначая через e единичныйуказывающий направление оси, получаемвектор,J Oe = ∑ mi (ri × e , ri × e ) =.e , ∑ mi ri × (e × ri )iiОтсюда в силу (3.5) следует формулаJ Oe = e Τ ⋅ J O ⋅ e .(3.6)Определим закон преобразования тензора инерции приповороте базиса. Поворот от базиса ΟΕ к другому базисуΟΕ ′ представляет собой ортогональное преобразование, прикотором каждый вектор ri преобразуется в вектор ri ′ поформуле ri = S ⋅ ri ′ , где S – ортогональная матрица.Подставляя эти выражения в (3.4), получаемJ O = ∑ mi (ri ′Τ S Τ ⋅ Sri ′⋅ Ι − Sri ′⋅ ri ′Τ S Τ ) = S ⋅ J O′ ⋅ S ΤiОтсюда находим искомый закон преобразования тензораинерции твердого тела при повороте базиса:J O′ = S Τ ⋅ J O ⋅ S .(3.7)Из полученного выражения следует, что при поворотебазиса формула преобразования тензора инерции совпадает сформулой преобразования матрицы квадратичной формыr Τ ⋅ JΟ ⋅ r .Поэтому на основе известного факта из курсалинейной алгебры о приводимости любой квадратичнойформы к диагональному виду заключаем, для любой точкиΟ твердого тела существует базис Ο e1e2 e3 , в которомтензор инерции твердого тела имеет диагональный вид:Α00JO = 00Β0 .C0(3.8)48Оси указанного базисаe1 , e2 , e3называются главнымиосями инерции твердого тела для рассматриваемой точки Ο ,а моменты инерции Α ,Β ,C относительно главных осей –главными моментами инерции.Заметим, что направления главных осей инерциитвердого тела относительно некоторого базиса определяетсясобственными векторами тензора инерции, записанного вэтом базисе, а главными моментами инерции являютсясоответствующие собственные числа тензора инерции.Главные моменты инерции твердого тела положительны(кроме случая, когда тело представляет собой совокупностьточек, лежащих на одной прямой, а рассматриваемая точкаΟ принадлежит этой прямой; в этом случае один из главныхмоментов инерции равен нулю).

Поэтому тензор инерцииявляется положительно-определенной матрицей.Для каждой точки Ο твердого тела вводится понятиеэллипсоида инерции, который определяется как множествоточек, удовлетворяющих уравнениюr Τ ⋅ J O ⋅ r = 1.(3.9)Уравнение (3.9) определяет поверхность второго порядка,которая действительно является эллипсоидом в силуположительной определенности тензора инерции. При этомглавные оси эллипсоида инерции совпадают с главнымиосями инерции твердого тела для рассматриваемой точки.Поскольку эллипсоид инерции неподвижен в теле, тоанализ движения тела можно свести к анализу движения егоэллипсоида инерции.

Этот прием используется в некоторыхзадачах для геометрической интерпретации движения тела.Определим расстояние r от центра эллипсоида до егоOeповерхности в направлении, задаваемомвектором e . Записывая вектор r в видеединичнымr =r e иOeподставляя это выражение в (3.9), получаем с учетом (3.6)следующее соотношение49rO2e ⋅ e Τ ⋅ J O ⋅ e = 1.

⇒ rOe =1J Oe,(3.10)т.е. размер эллипсоида в заданном направлении обратнопропорционален квадратному корню от момента инерциитвердого тела относительно этого направления.Определим теперь закон преобразования тензора инерциипри параллельном переносе базиса. При этом рассмотримслучай, когда первый базис C e x e y e z имеет начало в центремасс твердого тела, а положение параллельного ему базисаO ex e y ezзадановекторомρ O = −rC (рис.

12),определяющим положение точки O в базисе C e x e y e z .Тогда, обозначая черезρ i = ri + ρ Oрадиус-вектор i-йточки тела в базисе C e x e y e z , получаем из (3.4):JO = ∑mi (ρiΤ ⋅ ρi ⋅ Ι − ρi ⋅ ρiΤ ) + m(ρOΤ ⋅ ρO ⋅ Ι − ρO ⋅ ρOΤ ) −i− ∑mi (ρiΤ ⋅ ρO ⋅ Ι − ρi ⋅ ρOΤ ) − ∑mi (ρOΤ ⋅ ρi ⋅ Ι − ρO ⋅ ρiΤ ).iiПоследние две суммы в полученном выражении равны нулюв силу определения центра масс твердого тела, а перваясумма является по определению тензором инерции твердоготела относительно центрального базиса C e x e y e z . Поэтомуформула преобразования тензора инерции при параллельномпереносе базиса из центра масс приобретает видJ O = J C + m( ρ OΤ ⋅ ρ O ⋅ Ι − ρ O ⋅ ρ OΤ ).(3.11)Полученный результат уместно назвать теоремойГюйгенса-Штейнера для тензора инерции, поскольку из(3.11) следует известная теорема Гюйгенса-Штейнера дляосевых моментов инерции.

Формулу (3.11) легко запомнить,если обратить внимание, что второе слагаемое в этой50формуле представляет собой тензор инерции точки с массойm , находящейся в положении Ο .Вернемся теперь к вычислению кинетического моментатвердого тела. Из соотношений (3.2) и (3.3) получаем, чтокинетическиймоменттвердоготелаотносительнопроизвольного полюса Οопределяется следующейформулой:Κ O = mrC × VO + J O ⋅ ω .(3.12)Если точка Ο твердого тела неподвижна или совпадает сцентром инерции, то формула (3.12) приобретает видΚ O = J O ⋅ ω.Обозначая черезp, q, r(3.13)– проекции угловой скороститвердого тела на главные оси инерции e1 , e2 , e3 , получаемиз (3.13) следующее выражение для кинетического моментатела относительно неподвижной точки или центра инерции:Κ O = Αpe1 + Βqe2 + Cre3 .(3.14)Для вычисления кинетической энергии твердого теларассмотрим сначала случай, когда некоторая точка Ο теланеподвижна в системе отсчета.

Тогда имеем2Τ = ∑ mi (Vi ,Vi ) = ∑ mi (ω × ri , ω × ri ) =ii= ω , ∑ mi ri × (ω × ri ) = ω Τ ⋅ Κ O = ω Τ ⋅ J O ⋅ ω .iОтсюда получаем для кинетической энергии твердого телас неподвижной точкой Ο следующую формулу1212Τ = ω Τ ⋅ J O ⋅ ω = (Αp 2 + Βq 2 + Cr 2 ),(3.15)где Α ,Β ,C – главные моменты инерции твердого тела длянеподвижной точки Ο , а p, q, r – проекции угловойскорости твердого тела на главные оси инерции.51Кинетическая энергия твердого тела может быть найденатакже по теореме Кенига, в соответствии с которой1T = mVC2 + T отн ,2отнгде T– кинетическая энергия тела относительно системыКенига (системы с началом в центре масс тела, движущейсяпоступательно относительно исходной системы отсчета).Поскольку движение твердого тела относительно системыКенига представляет собой движение с неподвижной точкойC , то применяя формулу (3.15), получаем1212Τ = m ⋅ VC2 + ω Τ ⋅ J C ⋅ ω ,(3.16)где J C – тензор инерции твердого тела для центра масс.Динамические уравнения твердого тела.

Динамическиеуравнения твердого тела легко получить из теоремы обизменении кинетического момента, которая в любойинерциальной системе отсчета имеет следующий видΚ O = Μ O + mVC × VOпол ,(3.17)где Μ O – момент внешних сил относительно полюса Ο , аVCполи VO– скорость центра масс и скорость полюсаотносительно рассматриваемой системы отсчета. Если полюснеподвижен в системе отсчета или совпадает с центром масс,теорема принимает упрощенный вид:Κ O = Μ O.(3.18)С другой стороны для случая, когда полюс Ο совпадает снеподвижной точкой тела или с центром инерции, длякинетического момента относительно этого полюса имеетместо формула (3.13), которая в главных осях инерции имеетвид (3.14). Подставляя эту формулу в (3.18), получаем52Αpe1 + Βqe2 + Cre3 + Αpe1 + Βqe2 + Cre3 = Μ O .Единичные векторы e1 , e2 , e3 главных осей инерции жесткосвязаны с твердым телом. Поэтому их производныевыражаются через угловую скорость тела формуламиek = ω × e k .С учетомпереписывается в видеэтогопоследнееуравнениеΑpe1 + Βqe2 + Cre3 + ω × Κ O = Μ O .Проектируя это уравнение на главные оси инерцииe1 , e2 , e3 , получаем динамические уравнения ЭйлераΑp + (C − Β )qr = Μ 1Βq + ( A − C )rp = Μ 2Cr + ( B − A) pq = Μ 3 ,(3.19)главные моменты инерции тела длягде Α ,Β ,C –рассматриваемой точки Ο , p, q, r – проекции угловойскорости тела на главные оси инерции, а Μ 1 , Μ 2 , Μ 3 –проекции момента сил относительно точки Ο на главныеоси инерции.Обратим внимание, что динамические уравнения Эйлера(3.19) получены для случая, когда рассматриваемая точка Οтвердого тела остается неподвижной в инерциальной системеотсчета или совпадает с центром масс твердого тела.Поэтому полученные на основе этих уравнений результатыдля движения тела с неподвижной точкой будутраспространяться и на движение тела относительно системыКенига с началом в центре масс, движущейся поступательноотносительно инерциальной системы отсчета.Динамическиеуравнения(3.19)связываютвдифференциальной форме угловую скорость твердого тела смоментом действующих на тело сил.