Семинары 3 семестр Часть 2, страница 3

Тренияв осях нет.221) Если мы определим, что движение – регулярная прецессия, определим ееGпараметры, той найдем M O .Есть предположение, что T сохраняется, т.к. трения нет.Момент инерции относительно оси вращения сохраняется, следовательно,Jω 2= const ⇒ ω = const .2Является ли равномерное вращение регулярной прецессией?Да, если считать, что ψ = ω , ϕ = 0,θ = α .Но момент сил не равен нулю!Вдобавок,ψ→∞.ϕGG ϕДело в том, что при выводе формулы использовался вектор eζ ≡ .ϕПоэтому,GG G ⎛ C − A ΨG ϕG ⎤G G⎞ ⎡Ψ ⎡Ψcos θ ⎟ = −Ψ, ⎥ A cos θ = −Ψ, eζ ⎤⎥ A cos θ =M O = C ⎡⎢ Ψ , ϕ ⎤⎥ ⎜1 +⎢⎢⎣⎦⎝⎣⎦C ϕ⎠⎣ ϕ⎦ 2 cos θ sin θ eG= − AΨ3 2 cos θ sin θM O = AΨN A = NB =MOAB2) Вторая постановка задачи.GДобавим угловое ускорение ε . Неравномерное вращение не являетсярегулярной прецессией.

Поэтому динамические реакции ищем черездинамические уравнения Эйлера.ω → p, q, r и т.д.УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖАЧто есть механическая связь?Механическая связь – это ограничения, накладываемые на движениемеханической системы вследствие распределения в пространстве материи(тел и поверхностей).23Математическая запись механической связи для N точек выглядит так:GG GGf k r1 ,..., rN , r1 ,..., rN , t = 0()(*)Связи (*) называются удерживающими (двусторонними), если условия (*)имеют вид равенств ( = 0 ) в отличие от неудерживающих (односторонних,освобождающих) ( ≥ 0 ).Если уравнение связи (*) не содержит времени t , связь называетсястационарной (склерономной), в противном случае нестационарной(реономной).Связи называются конечными (голономными, геометрическими), если вGуравнения (*) не входят производные rk , и дифференциальными(кинематическими), если входят.Существует промежуточный тип связей – дифференциальные интегрируемые(полуголономные), - уравнения которых есть результат взятия полнойпроизводной по времени t от конечной связи.

Типичный пример – качениебез проскальзывания: x − ϕ R = 0 ⇒ x − ϕ R + C = 0 .Обычно в задачах имеем дело с голономными связями.Пример.Имеет ли связь груз на пружине?mx = −kxx не может входить в уравнение связи, следовательно, не связь, а уравнениедвижения.Независимые переменные обозначимG G⎧ rj = rj ( q , t )q1 ,..., qn ⎨∀j⎩однозначно определяющие движение.24Числом степеней свободы голономной системы называют числонезависимых координат, определяющих каждую точку системы однозначно.Точка в \3 - 3 степени свободы.Твердое тело – 6.Стержень – 5.Рисунок 19Пример.На плоскости система из двух стержней, соединенных шарниром.ω = ω (t )θϕyxРисунок 20Один стержень – 3 степени свободы ( x, y, ϕ ) .Два стержня – 4 степени.25Связи могут зависеть от времени: ω = ω ( t ) - связь. Частный случай связи:ω = const .

Нет смыслы вводить угол поворота плоскости в обобщенныекоординаты, поскольку в любой момент времени этот угол известен. Но еслибы не было известно ω = ω ( t ) , то нужна была бы еще одна степень свободы, идля системы из двух стержней было бы уже пять 5 степеней свободы.Теперь запишем сами уравнения Лагранжа.⎧ d ⎛ ∂T⎪ ⎜⎨ dt ⎝ ∂qi⎪⎩G⎞ ∂T⎛ G ∂rj ⎞= Qi = ∑ ⎜ Fj ,⎟−⎟∂q∂qi ⎠j ⎝i⎠i = 1, nT ( t , q, q ) - кинетическая энергия.Вводятся переменные Лагранжа – совокупность переменных: время t ,обобщенные координаты qi , обобщенные скорости qi .Приэтомподразумевается,чтопроисходитдифференцированиепонезависимым переменным Лагранжа (частные производные по ним).В правой части так называемые обобщенные силы. Их можно записать так:GG⎛ G drj ( dqi ) ⎞ δ Aвирт ( dqi )⎛ G ∂rj ⎞Qi = ∑ ⎜ Fj ,⎟=⎟ = ∑ ⎜ Fj ,dqi ⎠dqi∂qi ⎠ j ⎝j ⎝δ Aвирт ( dqi ) - работа на виртуальном перемещении.Чтобы найти виртуальную работу, нужно задать приращение dqi ипосмотреть приращение системы при t = const , при замороженном времениили, как говорят, при замороженной связи.

Виртуальное перемещение, этомысленное перемещение, которое допускают замороженные связи.t2возм.t1вирт.Рисунок 2126GGn ∂rG ∂rjВозможные перемещения: drj = dt + ∑ j dqi .∂ti =1 ∂qiGn ∂rGВиртуальные перемещения: δ rj = ∑ j dqi .i =1 ∂qiРешим задачу на использование уравнений Лагранжа. Это один из видовзаписи уравнений движения.

Точнее, уравнения Лагранжа – это методсоставления уравнений. Есть даже выражение – формализм Лагранжа. Естьрецепт, следуя ему, получите результат, т.е. уравнения.В случае ( q1 , q2 , q3 ) = ( x, y, z ) уравнения Лагранжа дадут уравнения Ньютона.Пример.GF ( Fx , Fy )yy = f ( x)Gdr ( dx )mOxdxРисунок 22y = f ( x ) - эта линия определяет связь. y можно выразить через x .GТрения нет, но известна сила F ( Fx , Fy ) .Порядок действий лагранжева формализма таков:1. Определяем число степеней свободы.2.

Выбираем обобщенные координаты.3. Записываем уравнения Лагранжа.27В нашем примере 1 степень свободы. За обобщенную координату можно,например, взять длину дуги траектории, но гораздо удобнее (ицелесообразнее, поскольку есть связь y = f ( x ) ) взять x .Посчитаем обобщенную силу:GQxGF , dr ( dx ) ) F dx + F dy F dx + F(===xdxyxydxf x′dxdx= Fx + Fy f x′В общем случае нельзя трактовать обобщенную силу как проекцию на какоето направление, и записанная выше Qx = Fx + Fy f x′ тому пример.Запишем кинетическую энергию:T=()()m 2m 2m221 + ( f x′ ) x 2x + y 2 ) =x + ( f x′x ) =(222()∂T2= m 1 + ( f x′ ) x∂x( ()) ()d ∂T d22m 1 + ( f x′ ) x = m 1 + ( f x′ ) x + 2mf x′ f xx′′ x 2=dt ∂x dt∂T= mf x′ f xx′′ x 2∂xВ итоге(d ∂T ∂T−= Qx дает:dt ∂x ∂x)m 1 + ( f x′ ) x + mf x′ f xx′′ x 2 = Fx + Fy f x′2Можно подставить любую линию ( f ( x ) = kx , например) и получить уравнениедвижения.Во многих задачах силы являются потенциальными.GGG∂Π ( r1 ,..., rN , t )G(градиент по rj ).Fj = −G∂rjТогдаG⎛ G ∂rjQi = ∑ ⎜ F j ,∂qij ⎝ПеренесяG⎛ ∂Π ∂rj⎞⎟ = −∑ ⎜⎜ G ,j ⎝ ∂rj ∂qi⎠⎞∂Π ( q1 ,..., qN , t )⎟⎟ = −∂qi⎠∂Π ( q1 ,..., qN , t )из правой части лагранжевой системы в левую,∂qiможно ввести функцию Лагранжа28L =T −Πи записать уравнения Лагранжа через нее:d ⎛ ∂L ⎞ ∂L= Qi*⎜⎟−dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qiСправа тогда уже не нужно учитывать потенциальные силы в Qi* .Если все силы потенциальные, то удобно записать:∂Πd ⎛ ∂T ⎞ ∂T=−.⎜⎟−∂qidt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qiВ задачнике бывает ответ в виде Лагранжиана.

В решении же желательнозаписывать и сами уравнения. Решать эти уравнения не обязательно (порой ипросто невозможно). Но выписать необходимо.Задача.GgRAϕm, rCM ,lOθРисунок 23Катится диск без подпрыгивания, без проскальзывания. К центру подвешенмаятник.Эту ситуацию можно сравнить с качением диска без проскальзывания погоризонтальной плоскости.yxДвижение диска можно описать координатам центра масс xC , yC и угломповорота диска ϕ . Однако yC = R , xC = Rϕ - голономная связь, т.е.29xC = R (ϕ − ϕ0 ) + xC0 . Т.е.

у диска только 1 степень свободы.В задаче положение системы «диск-стержень» определяется 2 координатами(углами ϕ ,θ ).L =T −Π .213 2 ( R − r ) ϕ2Tд = J Oωд = mrr224Точка B - центр стержня. Тогда по теореме Кенига:Tст =M υ B2 1 ст 2+ J B ωст22Ml 212GGG JJJGυ B = υC + ⎡⎣ω , CB ⎤⎦J Bст =GυBAl θ2( R − r ) ϕϕ −θCBРисунок 24υ B2 = ( R − r ) ϕ 2 +2l 2 2lθ + 2 ( R − r ) ϕ θ cos (ϕ − θ )42Π написать легко, если выбрать какой-то уровень за нулевой.Π д = −mg ( R − r ) cos ϕl⎛⎞Π ст = − Mg ⎜ ( R − r ) cos ϕ + cos θ ⎟2⎝⎠T = Tд + TстΠ = Π д + Π стL =T −ΠДалее подставляем в уравнения Лагранжа:30⎧ d ⎛ ∂T ⎞ ∂T∂Π=−⎪ ⎜ ⎟−∂ϕ⎪ dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕ⎨⎪ d ⎛ ∂T ⎞ − ∂T = − ∂Π⎪⎩ dt ⎜⎝ ∂θ ⎟⎠ ∂θ∂θСЕМИНАР №14УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В СЛУЧАЕ НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХСИСТЕМПоведение какого класса систем полностью описывается уравнениямиЛагранжа?Голономные системы с идеальными связями.Голономные системы – это механические системы, на которые наложеныголономные связи (в том числе и полуголономные).Идеальные связи – механические связи, виртуальная работа реакций которыхравна нулю.

Эквивалентное условие – обобщенная сила, соответствующаяреакции связи, равна нулю: Qi = 0 .Эквивалентность является следствием независимости обобщенныхкоординат:kGGnδ A = ∑ ( R j , δ rj ) = ∑ Q iδ qi = 0j =1i =1Если связи неидеальны, то в уравнения Лагранжа входят обобщенные силыих реакций.

В этом случае одними уравнениями не обойтись, посколькувключение в систему одной неизвестной делает систему неразрешимой.Когда движение с проскальзыванием, сила трения будет совершать работу,Fтр = fN , N можно определить из теоремы об изменении импульса нанаправление нормали.Примеры, когда уравнения Лагранжа применимы:1. Абсолютно гладкие поверхности.312. Невесомые нерастяжимые стержни.3. Невесомые шарниры без трения.4. Абсолютно шероховатые поверхности.Общий порядок уравнений Лагранжа второй.

С учетом n степеней свободыполучаем 2n . Итак уравнения Лагранжа – обыкновенные дифференциальныеуравнения порядка 2n , а не в частных производных.Уравнения Лагранжа в случае неинерциальных системЗа обобщенные координаты берутся координаты в неинерциальной СО.Следует добавить силы инерции, как переносные, так и кориолисовы.δ Aкор ≠ 0 , т.к. виртуальные перемещения не совпадают с действительными.Можно взять за q обобщенные координаты в инерциальной СО, при этом небудет сил инерции и кинетическую энергию следует считать в абсолютнойСО.Пример.ω = constGkϕGjGirmωrFeРисунок 25Записать уравнения Лагранжа для движения точки по вращающейсяплоскости.n=2q = {r , ϕ }В неинерциальной СО:32T=1 2 1 2 2mr + mr ϕ22Силы инерции:Fe = mω 2 rijGG GFk = 2m [υ , ω ] = 2m r rϕ00kGG0 = 2m ( i ω rϕ − jω r )ωδ Ar = ( mω 2 r + 2mω rϕ ) dr = Qr dr ϕ = Qϕ dϕδ Aϕ = −2mω rrdd ⎛ ∂T ⎞ ∂T= Qϕ⎜⎟−dt ⎝ ∂ϕ ⎠ ∂ϕd ⎛ ∂T ⎞ ∂T= Qr ,⎜⎟−dt ⎝ ∂r ⎠ ∂rПодставив, получаем:⎧mr − mrϕ 2 = mω 2 r + 2mω rϕ⎨2⎩ mr ϕ + 2mrrϕ = −2mω rrЕсли же записывать в абсолютной СО:T=(12m r 2 + (ω r + rϕ )2)Qr = Qϕ = 0Подставив, получаем:2⎪⎧ mr − mr (ω + ϕ ) = 0⎨ 2 + 2mrrϕ = 0⎪⎩ mr ϕ − 2mω rrПолучили тот же результат.Пример.33zωO′AθCFe = mω 2OmgB1a sin θ2xРисунок 26AB = aТочки A и B скользят без трения.

Составить уравнение движения стержня.Перейдем в неинерциальную СО.Относительно точки O′ движение записывается как чистое вращение:T=ma 2 2θ6Запишем виртуальную работу12δ A = −mgdzC + mω 2 a sin θ dxO = Qθ dθzC =aacos θ ⇒ dzC = − sin θ dθ22xO =22a sin θ ⇒ dxO = a cos θ dθ33Следовательно,Qθ =mga1sin θ + mω 2 sin θ cos θ a23Если же решать задачу в абсолютной СО без теоремы Кенига не обойтись:T=1ABCmυC2 + p 2 + q 2 + r 22222И т.д. Это пример, когда целесообразно решать в неинерциальной СО.34.