Семинары 3 семестр Часть 2

ТЕМЫ ВТОРОГО ЗАДАНИЯСеминар №10ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛАzuNGeyOxРисунок 1Момент инерции твердого тела относительно оси u :J u = ∑ mi ri 2 ,Где ri - расстояние от i -той точки до оси u .GОрт e (α , β , γ ) задается направляющими косинусами:α = cos ∠ ( x, u ) , β = cos ∠ ( y, u ) , γ = cos ∠ ( z, u ) .J u = J xα 2 + J y β 2 + J zγ 2 − 2 J xyαβ − 2 J xzαγ − 2 J yz βγJ x = ∑ mi ( yi2 + zi2 ) - осевой момент инерции (другие по аналогии).J xy = ∑ mi xi yi - центробежный момент инерции (другие по аналогии).Естественно желание записать выражение наиболее просто.JxGTJ u = e − J xy− J xy− J xz− J yzJy− J xzG− J yz eJzЭта симметрическая матрица определяет тензор инерции тела (тензорвторого ранга).Если данная матрица диагональная, то соответствующая квадратичная формадля момента инерции будет канонической.Ось называется главной, если ее центробежные моменты инерции равнынулю.

Например, ось x главная, если J xy = J xz = 0 .В главных осях ξ ,η , ζ : J u = Jξ α 2 + Jη β 2 + Jζ γ 2 .1Главные оси – это оси симметрии эллипсоида инерции. Главные оси,построенные в центре масс, называются главными центральными осямиинерции.Для того чтобы построить эллипсоид инерции, возьмем на оси u точку N наGJJJG1e, ON =. Точка N все время движения будетрасстоянии ON =JuJuнаходиться на поверхности эллипсоида инерции:J x x 2 + J y y 2 + J z z 2 − 2 J xy xy − 2 J xz xz − 2 J yz yz = 1Если возьмем оси симметрии этого эллипсоида инерции, то это будутглавные оси для данной точки O .Задача поиска главных осей сводится к поиску условного экстремумафункции методом Лагранжа: J u = f (α , β , γ ) при условии α 2 + β 2 + γ 2 = 1 .ϕ = J u (α , β , γ ) − λ (α 2 + β 2 + γ 2 − 1)∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ===0⇒∂α ∂β ∂γJx− J xy− J xyJy− J xz− J yz− J xz α1 0 0 α− J yz β − λ 0 1 0 β = 0Jzγ0 0 1 γСистема имеет нетривиальное решение еслиdet J − λ E = 0 .Раскрывая определитель, получаем полином третьей степени.

Этот полиномимеет три действительных корня, т.к. тензор J симметрический сдействительными компонентами. Значения λi совпадают с главнымимоментами инерции в выбранной точке O .Далее находим α , β , γ для λi , что дает направление главной оси в Oxyz .Направления главных осей можно также найти из условия коллинеарностиGвектора нормали к поверхности эллипсоида инерции с радиусом-вектором RGточки эллипсоида, лежащей на главной оси: gradJ ( x, y, z ) = λ R .Пример.2Допустим, нам известны главные центральные оси ξ ,η , ζ и главныецентральные моменты инерции A, B, C .

Обозначим центр масс - O .Нужно построить матрицу тензора инерции в точке D ( a, b, c ) в осяхпараллельных исходным.ζ′η′D ( a , b, c )ξ′ζηOξ( a , b, 0 )( a, 0, 0 )ϕuРисунок 2(Jξ ′ = ∑ mi (ηi′2 + ζ i′2 ) =∑ mi (ηi − b ) + (ζ i − c )22)== ∑ mi (ηi + ζ i ) − 2b ∑ miηi − 2c ∑ miζ i + m ( b 2 + c 2 ) =2= A + m (b + c22)mηo = 0mζ o = 0J ξ ′η ′ = ∑ miξi′ηi′ = ∑ mi (ξi − a )(ηi − b ) = ∑ miξiηi − b ∑ miξi − a ∑ miηi + mabJξη = 0mξo = 0mζ o = 0И т.д.

для других моментов инерции. В итоге:JD =A + m (b2 + c2 )− mab− mac− mabB + m ( a2 + c2 )− mbc− mac− mbcC + m ( a 2 + b2 )3Можно сделать несколько выводов:1. Момент инерции тела относительно оси равен моменту инерцииотносительно параллельной оси, проходящей через центр инерциитела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояниямежду осями (т. Гюйгенса-Штейнера для частного случая, когда осьпараллельна главной центральной оси).2. Главная центральная ось инерции остается главной для любой своейточки.3.

Главные оси инерции для точек, лежащих на главной центральной оси,параллельны главным центральным осям инерции.4. Ось, перпендикулярная плоскости, содержащей две главныецентральные оси, является главной для точки пересечения этой оси сплоскостью.5. Для точек пластины пренебрежимо малой толщины моменты инерциисвязаны равенством J ξ + Jη = J ζ , где ось Oζ перпендикулярна плоскостипластины (для пространственной фигуры сумма моментов инерцииотносительно двух осей инерции всегда больше момента инерцииотносительно третьей, J ξ + Jη > J ζ , J ξ + J ζ > Jη , J ζ + Jη > J ξ ).Наличие симметрии тела облегчает задачу подсчета момента инерции. Еслитело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главнойцентральной осью.Пример.

Однородный диск.213Рисунок 3Через любую точку можно провести главные оси в три счета.41 – проходит через точку и центр, 2 - ⊥ плоскости диска, 3 – ортогонально 1и 2.Для любого правильного n − угольника центральный эллипсоид инерции –эллипсоид вращения.Для любого шара, куба, правильного n − гранника центральный эллипсоидинерции – сфера.Для центрального эллипсоида инерции в виде эллипсоида вращения введемнаправляющие косинусы главной оси u (см. рис. 2) ( cos ϕ ,sin ϕ , 0 ) .J u = Jξ ′ cos 2 ϕ + Jη ′ sin 2 ϕ − 2 Jξ ′η ′ sin ϕ cos ϕФункция одной переменной.

Ищем экстремум:dJ u= 0 . Находим ϕ .dϕЗадача.σOdРисунок 4G GKO = J OωGGGGω = pi + qj + rk - проекция угловой скорости на главные оси, т.е. разложениепо базису этих осей.GGGGKO = Api + Bqj + CrkA, B, C - осевые моменты инерции.GGGKO & ω , когда ω & одной из главных осей.1 G G1T = ωaT J Oωa = ( Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 )22Либо по теореме Кенига:T=11mυC2 + ( AC p 2 + BC q 2 + CC r 2 ) .22Известно: m, d , ω , A, B, C , B = C , σ . Без проскальзывания.Найти: T .5По т. Кенига:T=1111mυC2 + ( AC p 2 + BC q 2 + CC r 2 ) = mω 2 d 2 + ( A cos 2 σ + C sin 2 σ ) ω 22222Задача. С.11.19.RCηξζη′ζ′Oαξ′Рисунок 5υ , m, α , RT=ω=1 ω 2 1J O ωa = ( Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 )22υR sin αCξηζ - главные центральные оси. Главные оси для точки O получаемпараллельным переносом.p = ω cos α =υRtgαq=0r = −ω sin α = −υRmR 2⎛1⎞+ md 2 = mR 2 ⎜ + tg 2α ⎟A= B=4⎝4⎠C=mR 2(в главных центральных осях A + B = C ).2T=211⎛mR 2 υ 2 ⎞⎛1⎞ υAp 2 + Bq 2 + Cr 2 ) = ⎜ mR 2 ⎜ + tg 2α ⎟ 2 2 +(⎟22⎝2 R2 ⎠⎝4⎠ R tg αМожно было по т.

Кенига.AC = BC =T=mR 2mR 2, CC =. Поскольку оси коллинеарны, p, q, r те же.421 2 1 ⎛ mR 2 υ 2mR 2 υ 2 ⎞+mυ + ⎜⎟22 ⎝ 4 R 2tg 2α2 R2 ⎠6СЕМИНАР №11ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ – ЧИСТОЕВРАЩЕНИЕGGdK O= M OвнешdtGGGGKO = Api + Bqj + CrkВ проекциях на главные оси.GG GGGd ′K O + Bqj + Crk = J Oε = Apidtотносительная скорость конца вектора кинетического момента, называютлокальной производной.GGGG G djG G dkG Gdi= ⎡⎣ω , i ⎤⎦ , = ⎡⎣ω , j ⎤⎦ ,= ⎡⎣ω , k ⎤⎦ ,dtdtdtGω - угловая скорость твердого тела.В итоге получим:GGG Gd ′K O+ ⎡⎣ω , K O ⎤⎦ = M Odt- векторная запись динамических уравнений Эйлера.Gε=Gd (ωω0 )=dtG G Gd pi + qj + rk() = pi G + qjG + rk G + [ωG , ωG ] = pi G + qjG + rk GdtGGGijkG G⎡⎣ω , KO ⎤⎦ = det pqr ⇒Ap Bq Cr⎧ Ap + ( C − B ) qr = M ξ⎪⎨ Bq + ( A − C ) pr = M η - Динамические уравнения Эйлера⎪ Cr + ( B − A ) qp = Mζ⎩ДУЭ очень компактны, лаконичны.В каких осях записываются ДУЭ? В главных.Относительно каких осей реализуется движение в ДУЭ? Относительнонеподвижных (относительно абсолютной СО).7Определение динамических реакцийпри вращении тела вокруг неподвижной осиРисунок 6Динамические реакции – это добавки к статическим, возникшие вследствиевращения.При каких условиях эти вредные разрушающие реакции возникают?Запишем теоремы об изменении импульса и момента импульса.GG G активные G статические G динамические G а G ст G дmWC = R = R+R= R +R +R+RGGGGGG Gd ′KO+ ⎡⎣ω , KO ⎤⎦ = M O = M Oа + M Oст + M OдdtАктивные силы: силы тяжести, вращающий момент и т.п., т.е.

силыпричины.Пассивные силы: силы реакции, силы трения и т.п. – они следствия действияактивных.Те силы, которые подчеркнуты скобой ......... , до начала и во время вращенияуравновешивают друг друга, поэтомуGGGR а + R ст = 0GGGM Oа + M Oст = 0Gd ′K O G GВращение равномерное: ω = const ⇒= J Oε = 0 . Поэтому:dtGG⎧⎪mWC = R дGд⎨ G G⎪⎩ ⎡⎣ω , KO ⎤⎦ = M O8Чтобы система сил была эквивалентна нулю, нужно, чтобы центр масс C былGGна оси вращения ( WC = 0 ) и ось вращения была главной центральной осьюGG( ω & KO ). Такую ось, где отсутствуют динамические реакции, называют осьюсвободного вращения.Пример. М.1.105.zMG XM :ω = constYMζα2lξhNηyx, X N : YNРисунок 7Цилиндр вращается.

Найти боковые давления на подпятник и подшипник?Ось неподвижна:XM + XN = 0 ⇒ XM = −XNYM + YN = 0 ⇒ YM = −YNТ.е. динамические реакции приводятся к паре.Проекции угловой скорости на главные центральные оси ξηζ :p=0q = −ω sin αr = ω cos αГлавные центральные моменты инерции цилиндра:⎛ R2 l 2 ⎞+ ⎟A = B = m⎜⎝ 4 3⎠mR 2C=29Динамические уравнения Эйлера:⎛ R2 l 2 ⎞ 2− ⎟ ω sin α cos α = YM h ( −1) ⇒⎝ 4 3⎠m ⎛ R2 l 2 ⎞ 2− ⎟ ω sin α cos αYM = ⎜h⎝ 4 3⎠( A − C ) pr = 0 = X M h1 ⇒ X M = − X N = 0( C − B ) qr = −m ⎜Если R =2l, то A = B = C ⇒ центральный эллипсоид инерции – сфера.3Если sin α = 0, α = 0 ⇒ вращение происходит вокруг главной центральной оси.Если cos α = 0, α =π2⇒ вращение происходит вокруг главной центральной оси.При этих условиях не возникают динамические моменты сил.Возможности построения решений системы уравнений Эйлераz, ζ 0ζGKOGϕθηGΨη ′′ϕη′θΨΨy ,η 0ϕGθx, ξ 0ξ′ξРисунок 810Запишем систему уравнений Эйлера.Для этого понадобятся углы Эйлера (см.

рис. 8):Ψ - угол прецессии, θ - угол нутации, ϕ - угол собственного вращения.GGGGω=Ψ+ θ + ϕ .GОсь z выбрана так, что z & KO .Система уравнений Эйлера: sin θ sin ϕ + θ cos ϕ ⎫⎧p = Ψ⎪ sin θ cos ϕ − θ sin ϕ ⎬⎪ − кинематические _ уравнения _ Эйлера⎪q = Ψ⎪⎪⎭⎪r = Ψ cos θ + ϕ⎨⎪ Ap + ( C − B ) qr = M ξ ⎫⎪⎪⎪ ⎪ Bq + ( A − C ) pr = Mη ⎬ − динамические _ уравнения _ Эйлера⎪Cr + ( B − A ) rp = M ⎪ζ ⎪⎭⎩Эта система полностью описывает движение твердого тела с неподвижнойточкой. Она может быть решена в квадратурах1 для любого твердого тела прилюбых начальных условиях только в трех случаях:1. Случай Эйлера;2. Случай Лагранжа;3. Случай Ковалевской.GGGСлучай Эйлера ( M O = 0 ,т.е.