Семинары 3 семестр Часть 2, страница 2

KO = const )Решение может быть доведено до эллиптических функций2, т.е. до квадратур,для любого тела.В случае Эйлера, когда тело обладает динамической симметрией ( A = B ) ,тело будет совершать регулярную прецессию.Регулярная прецессия – такое движение, при котором тело вращаетсяотносительно оси динамической симметрии (собственное вращение), котораяв свою очередь вращается вокруг неподвижной оси (прецессионноевращение). Угол между осью собственного вращения и осью прецессии (угол1КВАДРАТУРА – операция нахождения, вычисления интеграла.ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ – функции, связанные с интегралами, содержащими квадратные корни измногочленов 3-й или 4-й степеней (появляются, напр., при вычислении длины дуги эллипса).211нутации) сохраняется постоянным, также как и угловые скорости прецессиии собственного вращения.Параметры регулярной прецессии:22 = KO , ϕ = A − C r , tgθ = A p + qΨAACrБывают прямая и обратная прецессия.Прямая прецессия будет, если A > C .GωGKOζGΨGϕθGkРисунок 9GGeGGGGω = p 2 + q 2 e + rk = ψ + ϕGGGK O = A p 2 + q 2 e + CrkGGϕ = ϕ kОбратная прецессия будет, если A < C .ζGKOGΨGωθGkGeGϕРисунок 10Динамическая симметрия тела – необходимое и достаточное условие длярегулярной прецессии в случае Эйлера.12Пример.GωαРисунок 11GДиск получил в некоторый момент ω под углом α .

Описать дальнейшеедвижение.GGM O = 0 ⇒ случай Эйлера.Тело динамически симметрично:CmR 2= A= B=⇒ будет регулярная24прецессия.p 2 + q 2 = ω cos αr = ω sin αK = A2ω 2 cos 2 α + 4 A2ω 2 sin 2 α = Aω 1 + 3sin 2 α = K = ω 1 + 3sin 2 αΨAA−Cϕ =r = −ω sin αAОбратная прецессия, т.к. C > A .A p 2 + q 2 1 ω cos α 1tgθ === ctgαCr2 ω sin α 2Интерпретация Пуансо.В случае Эйлера, когда динамической симметрии нет, возможнагеометрическая интерпретация движения – интерпретация Пуансо. Будем дляопределенности считать, что A < B < C .Представим тело эллипсоидом инерции в неподвижной точке O (см.

рис. 12).Уравнение эллипсоида в главных осях:13f (α , β , γ ) = Aα 2 + Bβ 2 + Cγ 2 − 1 = 0OGrPQPGωGNGKOРисунок 12GПусть P - точка пересечения эллипсоида инерции с ω , а радиус-вектор к нейGrP .Заметим, чтоGG GGGυ P = [ω , rP ] = 0 и rP = λω ,Т.е. α = λ p, β = λ q, γ = λ r , подставим:Aα 2 + B β 2 + Cγ 2 − 1 = λ 2 ( Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 ) − 1 = 2λ 2T − 1 = 0 , гдеучтено: Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 = 2T .В итоге:1= const2TGНормаль N к эллипсоиду в точке P :λ2 =GG⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞N = gradf (α , β , γ ) = ⎜,, ⎟ = 2λ ( Ap, Bq, Cr ) = 2λ KO = const⎝ ∂α ∂β ∂γ ⎠Т.е. направление нормали в точке P пересечения угловой скоростьюэллипсоида неизменно, а плоскость, касательная к эллипсоиду в точке P ,перемещается параллельно сама себе.

Чтобы показать, что эта плоскостьнеподвижна, вычислим OQ от неподвижной точки O до плоскости:G⎛ G KO ⎞ λ2λTOQ = ⎜ rP ,Ap 2 + Bq 2 + Cr 2 ) == const(⎟=KO⎝ KO ⎠ KO14Геометрическая интерпретация Пуансо звучит и изображается так (см. рис.).В начале движения образуется плоскость, касательная к эллипсоиду инерциив точке пересечения эллипсоида начальной угловой скоростью. Вдальнейшем плоскость занимает неизменное положение, а эллипсоидинерции с неподвижным центром O катается по ней без проскальзывания. Одругих деталях качения сказать понятно не можем.15СЕМИНАР №12ТЕОРИЯ ГИРОСКОПИИ. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖАОбратная задача динамики – по движению определить силу, вынуждающеевоздействие, вызывающее это движение.⎧ A=B⎪ΨGG G ⎛ C − A Ψ⎞⎪ = const⇒ M O = C ⎡⎢ Ψ, ϕ ⎤⎥ ⎜1 +cos θ ⎟⎨⎣⎦C ϕ⎝⎠⎪ ϕ = const⎪⎩ θ = constТочная формула гироскопии, определяющая момент сил, вызывающийвынужденную регулярную прецессию.При дополнительном условии: θ0 = 0 это равенство также и достаточноеусловие регулярной прецессии.

При θ0 ≠ 0 регулярной прецессии быть неможет.Задача.BGMГNηξGΨζCRDGGMOϕNhAGmgРисунок 13C , A, A1 , m, CD = b , где A1 - момент инерции рамки.Определить давление на подшипники, обусловленное гироскопическиммоментом. Угловая скорость собственного вращения ϕ = 2π n . ГироскопGсовершает прецессию за счет M O , действующего на него со стороны16подшипников основания крепления гироскопа. Сам же гироскоп действует наGGоснование с моментом M Г = − M O , который называет гироскопическиммоментом. На рамку действуют пары сил в подшипниках A и B , и вподшипниках C и D .

Причем, так как рамка поворачиваться вокругвертикальной оси не может, то:GGGGM AB = M Г = − M CD = − M OπИспользуя точную формулу гироскопии, получим: ⎧⎨θ = ⎫⎬⎩2⎭ = NbM O = 2π nC ΨN=MObЗакон сохранения энергии:T1 − T0 = Π 0 − Π1222 12 1⎛ ϕ 2ΨΨ2 Ψ )2 ⎞ − ⎛ C ϕ ⎞ = mghCAAmRmR++++Ψ(⎜⎟ ⎜⎟122 22 2⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ =Ψ2mgh3A + A1 + mR 22Динамические реакции можно было найти через ДУЭ: , q = 0, r = ϕp=ΨGε=G Gdω G ϕω0 + ⎡⎣Ω, ω ⎤⎦ ⇒ q = − ΨdtBq + ( A − C ) pr = Mη ϕ + ( A − C ) Ψ ϕ = − Nb− AΨ ϕ = NbCΨСЛУЧАЙ ЛАГРАНЖАЭто движение динамически симметричного твердого тела с однойнеподвижной точкой в поле тяжести, причем центр масс не совпадает снеподвижной точкой.GGMO ≠ 0 .17Регулярная прецессия не всегда в случае Лагранжа.zθ rΨCOζmgРисунок 14GЦентр масс, оставаясь на сфере радиуса rC , будет двигаться между двумяпараллелями, соответствующими θ min и θ max - нутационное движениетвердого тела. Данное движение имеет колебательный характер.

Траекторияцентра масс имеет вид сферической циклоиды. Время движения от однойпараллели к другой остается постоянным ( t12 = t21 ) .Если мы нашли θ2 = f (θ ) , то θ min и θ max находим из условия θ = 0 , т.е. изуравнения f (θ ) = 0 .GЦентр масс на поверхности сферы радиуса rC .Рисунок 15Сферическая циклоида в трех случаях (примерный рисунок).Когда θ min = θ max , будет вынужденная регулярная прецессия.Качественное исследование движения в случае Лагранжа может бытьпроведено с помощью интегралов3 движения. Т.к.

движение реализуется вполе тяжести, то имеет место интеграл энергии:T + Π = constИли11A ( p 2 + q 2 ) + Cr 2 + Pl cos θ = h0 ,22где l - расстояние от центра тяжести до неподвижной точки.3Первый интеграл движения – функция от обобщенных координат и времени, которая при подстановке внее любого решения системы уравнений движения, сохраняет как функция времени свое значение.18Поскольку M z = 0 , тоGG ΨK z = K O = constΨТретий интеграл получается из третьего ДУЭ:Cr + ( B − A) qp = M ζ ⇒ Cr = 0 ⇒N=0=0r = constВ итоге в случае Лагранжа имеем три первых интеграла движения.Ось прецессии в случае Лагранжа только вертикаль z .G G ⎛ C − A Ψ⎞G G ⎤ 1+⎡⎣ rC , P ⎤⎦ = C ⎡ Ψ,ϕcos θ ⎟⎢⎣⎥⎦ ⎜C ϕ⎝⎠Задача.

С.11.80.Движение – регулярная прецессия. =?Ψθ≠π2z;ϕ mglCθζ rΨCOmg ϕ sin θ ⎛1 + C − A Ψ cos θ ⎞lP sin θ = C Ψ⎜⎟C ϕ⎝⎠( Ψ ) ( C − A) cos θ + Ψ Cϕ − mgl = 02 =Ψ−Cϕ ± C 2ϕ 2 + 4mgl ( C − A ) cos θ1+ x = 1+2 ( C − A ) cos θx+ ... , если x 1219⎛ 2mgl ( C − A ) cos θ−Cϕ ± Cϕ ⎜1 +Cϕ⎝ =Ψ2 ( C − A ) cos θ⎞⎟⎠=mgl⎡,⎢Cϕ=⎢Cϕ⎢−⎢ ( C − A ) cos θ .⎣Первый случай соответствует медленной прецессии и не зависит от угланутации. Второй случай – быстрая прецессия, имеет зависимость от θ идругое направление вращения.Задача С.11.44.ωϕαθOРисунок 16θ0K O = A2 ( p 2 + q 2 ) + C 2 r 2(p20+ q02 ) = ω sin αr0 = ω cos α = rr = const в случае Лагранжа.Используем первый интеграл энергии:1111A ( p 2 + q 2 ) + Cr 2 = mg ( l cos θ 0 − l cos θ ) + A ( p02 + q02 ) + Cr022222p +q =222mgl ( cos θ 0 − cos θ ) + A ( p02 + q02 )AK O = 2 Amgl ( cos θ 0 − cos θ ) + A ( p02 + q02 ) + Cr02ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПАЕсли ϕ Ψ , то можно применить элементарную теорию гироскопа.И точная формула гироскопии имеет приближенную форму, простую:20GG GM O = C ⎡⎢ Ψ , ϕ ⎤⎥⎣⎦G⎧K = A⎪ O⎪ G⎨ ω=⎪⎪⎩GGp 2 + q 2 e + CrkG Gp 2 + q 2 e + rkGGϕ = ϕ kВ силу ϕ Ψ , можно считать, что эти векторы сонаправлены по осисимметрии.ωϕGeGkΨOРисунок 17GПо поведению KO можем судить о поведении оси симметрии.GGGdKOG= M O или υ K = M OdtПоследнюю формулу называют формулой Резаля для элементарногогироскопа.

Ее можно интерпретировать следующим образом.GПусть K - точка оси, совпадающая с концом вектора KO , тогда ее скоростьGравна M O .Таким образом, скорость конца вектора кинетического момента, а значит, искорость точки K оси гироскопа, равна по величине и направлению главномумоменту внешних сил относительно неподвижной точки.Можно отметить следующие гироскопические эффекты:1. Если на ось гироскопа начнет действовать сила, то ось отклонится не вGнаправлении действия силы, а в направлении момента M O этой силыотносительно неподвижной точки.212. Безынерционность движения оси гироскопа: с прекращением действияGсилы, M O этой силы мгновенно обращается в нуль.

Следовательно,GGυK = 0 , т.е. с прекращением действия силы движение оси гироскопапрекращается мгновенно.СЕМИНАР №13УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖАСперва продолжение темы: случай Лагранжа.Итак, ранее мы записывали формулу для момента сил, которыйподдерживает регулярную прецессию с заданными параметрами для тела,обладающего динамической симметрией A = B ≠ C .GG G ⎛ C − A Ψ⎞M O = C ⎡⎢ Ψ, ϕ ⎤⎥ ⎜1 +cos θ ⎟ .⎣⎦⎝C ϕ⎠Эту формулу можно применять только если заведомо известно, что движениебудет прецессией. Это всего лишь частный случай динамических уравненийЭйлера, и эту формулу нельзя использовать для любого твердого тела.Пример.BGGω (0) = ωαm, lOAРисунок 18GНайти силы реакции в точках A и B . В начальный момент задана ω .