Учебник - Оптика - Алешкевич В.А., страница 3

Òîãäàc¶E¶H1= -m 0rot E = - e ´;¶t ¢¶t ¢c(1.21)¶H¶E1= e0rot H = - e ´.¶t ¢¶t ¢c(1.22)Ïðè çàïèñè óðàâíåíèé (1.21) è (1.22) èñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùèå âûêëàäêè:¶¶=;¶t ¶t ¢(rot E) x =è ò. ä.10¶E z ¶E y ¶E z=¶y¶z¶t ¢æ e y ö ¶E yèç c ø÷ ¶t ¢¶E y ù¶E ö1 é ¶E z1ææ ez öçè - c ø÷ = - c ê ¶t ¢ e y - ¶t ¢ e z ú = - c èç e ´ ¶t ¢ ø÷ëûxÈíòåãðèðóÿ (ïåðåõîäÿ îò ïðîèçâîäíûõ ê ñàìèì ôóíêöèÿì) óðàâíåíèÿ (1.21)è (1.22) è îòáðàñûâàÿ êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ, îïèñûâàþùèå âîçìîæíîïðèñóòñòâóþùèå ñòàòè÷åñêèå ïîëÿ, ïîëó÷àåì1e ´ E = m 0 H;c(1.23)1(1.24)- e ´ H = e 0 E.cÏîäñòàâèâ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè ñâåòà (1.10), ïîëó÷èì î÷åíü óäîáíûå äëÿ çàïîìèíàíèÿ ñîîòíîøåíèÿe 0 e ´ E = m 0 H;(1.25)m0 e ´ H =(1.26)e 0 E.Èç íèõ ñëåäóþò íåñêîëüêî âàæíåéøèõ âûâîäîâ.

 ïëîñêîé áåãóùåé âîëíå:• âåêòîðû E, H è å âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, ïîýòîìó âîëíà ÿâëÿåòñÿïîïåðå÷íîé;• ýòè âåêòîðû îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ (ðèñ. 1.2);• âåëè÷èíû íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ñèíõðîííî, äîñòèãàÿ îäíîâðåìåííî ìàêñèìàëüíûõ è ìèíèìàëüíûõ çíà÷åíèé.Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (1.25) èëè (1.26) âåëè÷èíû E è H ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìe0 E =(1.27)m0 H ,êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ ñôåðè÷åñêîé âîëíû. Âåêòîðû E è H ëåæàò â êàñàòåëüíîé ê ñôåðå ïëîñêîñòè, ïîýòîìó ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîïåðå÷íîé.Ìîíîõðîìàòè÷åñêèå âîëíû. Ðàíåå îáñóæäàëàñü ïðîñòðàíñòâåííàÿ ãåîìåòðèÿâîëí. Ñåé÷àñ îáðàòèìñÿ ê âðåìåííîé çàâèñèìîñòè ôóíêöèè f (r, t ).Ôóíäàìåíòàëüíîé ìîäåëüþ âîëíû ÿâëÿåòñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, ó êîòîðîé íàïðÿæåííîñòè ïîëåé èçìåíÿþòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ íåêîòîðîé êðóãîâîé ÷àñòîòîé w.

Òîãäà âûðàæåíèå (1.19) äëÿ ïëîñêîé âîëíû ìîæåòáûòü çàïèñàíî â âèäåé æùr × eöf (r, t ) = a cos ê w ç t m÷ø + j 0 ú ,ècëû(1.28)ãäå a è j0 — àìïëèòóäà è íà÷àëüíàÿ ôàçà êîëåáàíèé ñîîòâåòñòâåííî.Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìåõàíèêè, õàðàêòåðèçóåòñÿ ïåðèîäîì T = 2p/w, ÷àñòîòîé n = 1/T = w/(2p), äëèíîé âîëíû l = cTwè âîëíîâûì ÷èñëîì k = 2p/l = w/c. Åñëè ââåñòè âîëíîâîé âåêòîð k = k e = e ,òîc(1.28) çàïèøåòñÿ â ÷àñòî óïîòðåáëÿåìîì âèäåf (r, t ) = a cos[wt m k × r + j 0 ].(1.29)Ïîäîáíûì îáðàçîì çàïèñûâàåòñÿ è óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîéìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû:f (r , t ) =acos [wt m kr + j 0 ] .r(1.30)Ðèñ. 1.211Àìïëèòóäà ñôåðè÷åñêîé âîëíû åñòü âåëè÷èíà A = a/r.

Ôàçà j ó îáåèõ âîëíîïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ (1.29) è (1.30):j = wt m k × r + j 0 — äëÿ ïëîñêîé âîëíû;j = wt m kr + j 0 — äëÿ ñôåðè÷åñêîé âîëíû.Ïîâåðõíîñòü ðàâíîé ôàçû íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé ïîâåðõíîñòüþ, èëè âîëíîâûìôðîíòîì. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ó âîëíû çà âðåìÿ dt ýòà ïîâåðõíîñòü ñìåùàåòñÿíà âåëè÷èíó ±dr, îïðåäåëÿåìóþ èç óñëîâèÿ d j = wdt m kdr = 0 . Ïîýòîìó ôàçîâàÿñêîðîñòü (ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âîëíîâîãî ôðîíòà) ðàâíàL=drw== c.dtk(1.31) ñðåäå âîëíîâîå ÷èñëî k çàâèñèò òàêæå îò ñâîéñòâ ñðåäû, è ôàçîâàÿ ñêîðîñòü ìîæåò áûòü êàê ìåíüøå, òàê è áîëüøå ñêîðîñòè ñâåòà.Êîìïëåêñíàÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ âîëíû. Âûðàæåíèÿ (1.29) è (1.30) ìîæíîîáúåäèíèòü, åñëè èõ çàïèñàòü â âèäåf ( x, y, z , t ) = A( x, y, z ) cos[wt - j( x, y, z )],(1.32)ãäåA( x , y, z ) = a,j( x, y, z ) = ± k × r - j 0 èëèA ( x , y, z ) = a / r ,j( x, y, z ) = ±kr - j 0 .(1.33) îïòèêå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ âîëíû (1.32):1[ Ae i (wt -j) + Ae -i (wt -j) ].2Åñëè ââåñòè êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäóf =µ = Ae -i j ,Aòî (1.34) çàïèøåòñÿ â êîìïëåêñíîì âèäå:(1.34)(1.35)1 µ i wt µ - i wt(1.36)[ Ae + A * e],2ãäå çíàê «*» îçíà÷àåò êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ âåëè÷èíó.Ñâåòîâûå ïó÷êè.

Êàê îòìå÷àëîñü â íà÷àëå ëåêöèè, â îïòè÷åñêîì äèàïàçîíåìîãóò ôîðìèðîâàòüñÿ íàïðàâëåííûå ïó÷êè ñâåòà, êîòîðûå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿïðåèìóùåñòâåííî âäîëü îäíîé êîîðäèíàòíîé îñè.  ïîïåðå÷íîì æå íàïðàâëåíèèàìïëèòóäà áûñòðî ñïàäàåò îò ñåðåäèíû ïó÷êà ê åãî ïåðèôåðèè. Òàêèå ïó÷êèñîçäàþòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî ñ èñïîëüçîâàíèåì ëàçåðîâ, ãåíåðèðóþùèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêîå è íàïðàâëåííîå èçëó÷åíèå. Íàïðèìåð, åñëè ïó÷îê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè Oz, òî óðàâíåíèå âîëíû ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåf =f ( x, y, z, t ) = A( x, y, z ) cos[wt - kz + j 0 ( x, y, z )].(1.37) ýòîì âûðàæåíèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî àìïëèòóäà A(x, y, z) áûñòðî óáûâàåò â ïëîñêîñòè Oxy ïðè óäàëåíèè îò îñè Oz.

Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî j0(x, y, z) íåçíà÷èòåëüíî (ïî ñðàâíåíèþ ñ 2p) èçìåíÿåòñÿ â ïëîñêîñòèOxy, ïîýòîìó ôàçîâàÿ ïîâåðõíîñòü íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïëîñêîñòèz = const. Âîëíà â âèäå íàïðàâëåííîãî ïó÷êà ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì íåîäíîðîä12Ðèñ. 1.3íîé âîëíû, ó êîòîðîé ïîâåðõíîñòè ðàâíîé ôàçû è ðàâíîé àìïëèòóäû íåñîâïàäàþò.Âàæíåéøèìè ìîäåëÿìè ðåàëüíûõ ñâåòîâûõ ïó÷êîâ ÿâëÿþòñÿ ïó÷êè ñ ïðÿìîóãîëüíûì è ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì àìïëèòóäû (ðèñ. 1.3, à, á ).Íà ðèñ. 1.3, à àìïëèòóäà A ïó÷êà ðàâíà A0 â ïðåäåëàõ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ðàäèóñàr0, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ïó÷êà. Âíå ýòîãî ñå÷åíèÿ âîëíà îòñóòñòâóåò.Íà ðèñ. 1.3, á àìïëèòóäà ñïàäàåò ê ïåðèôåðèè ïî çàêîíó A = A0 exp( -r 2 /r02 )è ïðè r = r0 óìåíüøàåòñÿ ëèøü â e = 2,7 ðàçà.

Ðàäèóñ r0 íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðíûìðàäèóñîì ãàóññîâà ïó÷êà ïî óðîâíþ e -1 äëÿ àìïëèòóäû.Ñâåòîâûå èìïóëüñû. Ìíîãèå èñòî÷íèêè ñâåòà (â òîì ÷èñëå è áîëüøîå ÷èñëîëàçåðîâ) èçëó÷àþò ñâåòîâûå âñïûøêè. Ýòè âñïûøêè äëÿòñÿ îãðàíè÷åííîå âðåìÿ t0 è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåêòðîìàãíèòíûå èìïóëüñû. Àìïëèòóäà âîëíû Aè ôàçà j0 â òàêèõ èìïóëüñàõ çàâèñÿò íå òîëüêî îò êîîðäèíàò, íî è îò âðåìåíè.Óðàâíåíèå âîëíû äëÿ èìïóëüñíîãî, íî ïî-ïðåæíåìó íàïðàâëåííîãî âäîëü îñèOz èçëó÷åíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåézöz öùææf ( x, y, z , t ) = A ç x, y, z , t - ÷ cos ê wt - kz + j 0 ç x, y, z , t - ÷ ú .èèøûcøcë(1.38)Ýòî âûðàæåíèå îòëè÷àåòñÿ îò (1.37) òåì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, â A è j0 âõîäèòÿâíàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè è, âî-âòîðûõ, èçìåíåíèå àìïëèòóäû è ôàçû âîâðåìåíè â ðàçíûõ ñå÷åíèÿõ z = const ïðîèñõîäèò ñ âðåìåííîé çàäåðæêîé Dt = z/c,íåîáõîäèìîé äëÿ ïðîõîæäåíèÿ èìïóëüñîì ðàññòîÿíèÿ Oz ñî ñêîðîñòüþ c.Íàèáîëåå âàæíûìè ìîäåëÿìè, êàê è äëÿ ïó÷êîâ, ÿâëÿþòñÿ ìîäåëè ïðÿìîóãîëüíîãî è ãàóññîâà èìïóëüñîâ, èçîáðàæåííûõ, íàïðèìåð, äëÿ òî÷êè x = y = z = 0íà ðèñ.

1.4, à, á. Íà ðèñ. 1.4, à àìïëèòóäà âîëíû ïîñòîÿííà â òå÷åíèå ïðîìåæóòêàâðåìåíè t0, ðàâíîãî äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà, à íà ðèñ. 1.4, á àìïëèòóäàèçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó A = A0 exp( -t 2 /t 20 ) . Ïîýòîìó t0 ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíîéäëèòåëüíîñòüþ ãàóññîâà èìïóëüñà.Ðèñ. 1.413Îòìåòèì, ÷òî õîòÿ â âûðàæåíèå (1.38) èâõîäèò ôèêñèðîâàííàÿ ÷àñòîòà w, èìïóëüñíîå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèì, ò. å. ñîñòîÿùèì èç ñóììû áîëüøîãî÷èñëà ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, ÷àñòîòûêîòîðûõ ñãðóïïèðîâàíû âáëèçè îñíîâíîé÷àñòîòû, à øèðèíà ýòîãî äèàïàçîíà ÷àñòîòîáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèòåëüíîñòèèìïóëüñà è çàâèñèò îò ñêîðîñòè èçìåíåíèÿÐèñ.

1.5âî âðåìåíè ôàçû j0. Áîëåå ïîäðîáíî ðå÷üîá ýòîì ïîéäåò â ïîñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.Ãðàôè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïëîñêîé âîëíû. Äëÿ õîðîøåãî óñâîåíèÿ èçëîæåííîãî ìàòåðèàëà óäîáíî ïðåäñòàâèòü ôðàãìåíò ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Oz (ðèñ. 1.5).Çäåñü èçîáðàæåíî ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âòî÷êàõ îñè Oz â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïîñêîëüêó âîëíà ïëîñêàÿ, òîòàêîå æå ðàñïðåäåëåíèå áóäåò è íà ëþáîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oz.

Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýòà êàðòèíà äîëæíà ïåðåìåùàòüñÿ âäîëü îñè Oz ñî ñêîðîñòüþ c.Òàêæå ïîêàçàíî íàïðàâëåíèå âåêòîðà rot E, êîòîðûé äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, êîãäà íàïðÿæåííîñòü E = 0, è íàîáîðîò, rot E = 0 ïðè ìàêñè¶Hìàëüíîé íàïðÿæåííîñòè. Âåêòîðïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó rot E âñåãäà íà¶tïðàâëåí â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Îáà ýòè âåêòîðà èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè¶Eñèíõðîííî.

Âåêòîðû rot H èâñåãäà ñîíàïðàâëåíû.¶tÏîëÿðèçàöèÿ âîëíû. Íà ðèñ. 1.5 èçîáðàæåíà ñèòóàöèÿ, êîãäà âåêòîð E êîëåáëåòñÿ âäîëü îñè Ox, à âåêòîð H — âäîëü îñè Oy.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òîâîëíà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîé, èëè ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííîé, à ïëîñêîñòüïîëÿðèçàöèè åñòü ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ëåæèò âåêòîð E (â äàííîì ñëó÷àå ïëîñêîñòü Oxz). Âîçìîæíà è äðóãàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà âåêòîð E êîëåáëåòñÿ âäîëü îñèOy, à âåêòîð H — âäîëü îñè Ox, ïðè ýòîì E, H è e äîëæíû ïî-ïðåæíåìóîáðàçîâûâàòü ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ.

Ñóïåðïîçèöèÿ îáåèõ ñèòóàöèé ïðèâîäèòê ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå, ó êîòîðîé âåêòîðû E è H, îñòàâàÿñü âçàèìíîïåðïåíäèêóëÿðíûìè, ìîãóò ìåíÿòü íàïðàâëåíèå â ïëîñêîñòè Oxy.  ýòîì ñëó÷àåâîëíà áóäåò ýëëèïòè÷åñêè ïîëÿðèçîâàííîé.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü â íåêîòîðîé ïëîñêîñòè z = const ýëåêòðè÷åñêîå ïîëåïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ ãàðìîíè÷åñêèõ ïîëåé, êîëåáëþùèõñÿ ñ îäèíàêîâîé ÷àñòîòîé âäîëü îñåé Ox è Oy:E(t ) = E x (t ) + E y (t ) = e x A x cos(wt + j1 ) + e y A y cos(wt + j 2 ),(1.39)ãäå ex è ey — åäèíè÷íûå âåêòîðû.Êîíåö âåêòîðà E áóäåò, â îáùåì ñëó÷àå, äâèãàòüñÿ ïî ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîðèè.Óðàâíåíèå äëÿ ýòîé òðàåêòîðèè áûëî ïîëó÷åíî â êóðñå «Ìåõàíèêà», êîãäà ðàññìàòðèâàëîñü ñëîæåíèå äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé ñ îäèíàêîâîé÷àñòîòîé. Ïðèìåíèòåëüíî ê ýëåêòðè÷åñêîìó ïîëþ (1.39) îíî çàïèøåòñÿ â âèäå22æ Ey öæ Ex öEx Ey2çè A ø÷ + ç A ÷ - 2 A A cos(j 2 - j1 ) = sin (j 2 - j1 ).è yøxxy14(1.40)Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ êîíöà âåêòîðà E âäîëü òðàåêòîðèè è îðèåíòàöèÿýëëèïñà îòíîñèòåëüíî îñåé Ox è Oy çàâèñÿò îò ðàçíîñòè ôàç Dj = (j2 - j1).Íà ðèñ.

1.6 èçîáðàæåíû òðàåêòîðèè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ Dj. Âñå òðàåêòîðèè â ïðîñòðàíñòâå Ex, Ey çàêëþ÷åíû â ïðÿìîóãîëüíèêå 2Ax ´ 2Ay.Ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ êîíöà âåêòîðà E ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, êîòîðûé ñìîòðèò íàâñòðå÷ó âîëíå, êàê ýòî èçîáðàæåíî íàðèñóíêå. Ïðè ðàçíîñòè ôàç 0 < Dj < p êîíåö âåêòîðà äâèæåòñÿ ïî ÷àñîâîéñòðåëêå, è ïîëÿðèçàöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé.

Ïðè p < Dj < 2p îíà ñòàíîâèòñÿëåâîé. Ïðè Dj = 0, p, 2p ýëëèïòè÷åñêàÿ ïîëÿðèçàöèÿ ïðåâðàùàåòñÿ â ëèíåéíóþ.Ïðè Dj = p/2, 3p/2 è Ax = Ay ïîëÿðèçàöèÿ âîëíû ñòàíîâèòñÿ êðóãîâîé. Âîëíàâ ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííîé.Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè ñâåòîâûõ âîëí. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå îöåíêè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ïàðàìåòðîâ ñâåòîâûõ âîëí.Ðèñ. 1.615 âèäèìîì äèàïàçîíå äëèíà âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ öåíòðàëüíîé æåëòî-çåëåíîé÷àñòè ñïåêòðà, ðàâíà l = 500 íì = 0,5 ìêì.×àñòîòà ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé n = c/l = 0,6 × 1015 Ãö, à ïåðèîä T == 1/n = 1,6 × 10-15 ñ = 1,6 ôñ (1 ôñ = 1 ôåìòîñåêóíäà = 10-15 c). Ïîñêîëüêó ÷àñòîòàîïòè÷åñêèõ êîëåáàíèé ãðîìàäíà, áîëåå óäîáíî âû÷èñëÿòü ÷àñòîòó â ñì-1 â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé:n 1(ñì),=(1.41)c lò. å.