Учебник - Оптика - Алешкевич В.А., страница 2

Ïîýòîìó îïòèêà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ îáùåãî ó÷åíèÿ îá ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.Îïòè÷åñêèé äèàïàçîí äëèí âîëí. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû èçëó÷àþòñÿ àòîìàìè, ìîëåêóëàìè, ýëåìåíòàðíûìè ÷àñòèöàìè è êîíäåíñèðîâàííûì âåùåñòâîì è îõâàòûâàþò îãðîìíûé äèàïàçîí äëèí âîëí (èëè ÷àñòîò): îò ðàäèîâîëíäî ãàììà-ëó÷åé (ðèñ. 1.1 öâ. âêë.).Ê îïòè÷åñêèì âîëíàì ñ áîëüøîé ñòåïåíüþ óñëîâíîñòè îòíîñÿò áîëåå óçêèéäèàïàçîí: îò ìèêðîâîëíîâîãî ðàäèîèçëó÷åíèÿ äî ðåíòãåíîâñêîãî èçëó÷åíèÿ. Òàêîåîãðàíè÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ îáùíîñòüþ ìåòîäîâ è ñðåäñòâ, èñïîëüçóåìûõ â îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå. Ýòà îáùíîñòü ïðåæäå âñåãî áàçèðóåòñÿ íà âîçìîæíîñòèñîçäàíèÿ íàïðàâëåííûõ ïó÷êîâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõìîæíî ôîðìèðîâàòü èçîáðàæåíèå.Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïó÷îê ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí âñëåäñòâèå äèôðàêöèè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñ óãëîâîé ðàñõîäèìîñòüþ J ~ l/d = 1 (l — äëèíà âîëíû;d — ïîïåðå÷íûé ðàçìåð ïó÷êà).

Ñîâðåìåííûå òåõíîëîãèè ïîçâîëÿþò ôîðìèðîâàòü îñòðîíàïðàâëåííûå ïó÷êè âîëí â äèàïàçîíå äëèí âîëí 0,1 D < l < 1 ìì,ïîýòîìó ýòîò äèàïàçîí è îòíîñÿò ê îïòè÷åñêîìó.Âèäèìàÿ ãëàçîì îáëàñòü ñïåêòðà ÷ðåçâû÷àéíî óçêà (400 íì < l < 700 íì).Ïðè÷èíû ýòîé óçîñòè ìîãóò áûòü îáúÿñíåíû ëèøü ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàíòîâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå ñâåòà. Âîëíû äëèíàìè 700 íì < l < 1 ìì îòíîñÿòê èíôðàêðàñíîìó (ÈÊ) äèàïàçîíó, à âîëíû äëèíàìè 10 íì < l < 400 íì —ê óëüòðàôèîëåòîâîìó (ÓÔ) äèàïàçîíó. Áîëåå êîðîòêèå âîëíû ïðèíàäëåæàò ðåíòãåíîâñêîìó äèàïàçîíó.Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî áîëüøîå ÷èñëî îïòè÷åñêèõ çàäà÷ ìîæåò áûòü ðåøåíîêàê ñ èñïîëüçîâàíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî (êëàññè÷åñêîãî), òàê è êâàíòîâîãîïðåäñòàâëåíèÿ î ïðèðîäå ñâåòà.

Êâàíòîâîå ïðåäñòàâëåíèå «ìèðíî óæèâàåòñÿ»ñ êëàññè÷åñêèì, è ýòî òðàêòóåòñÿ êàê êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé äóàëèçì.Âìåñòå ñ òåì â ðÿäå çàäà÷, îòíîñÿùèõñÿ ïðåæäå âñåãî ê èçëó÷åíèþ ñâåòàè åãî âçàèìîäåéñòâèþ ñ âåùåñòâîì, åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ÿâëÿåòñÿ ëèøüêâàíòîâîå ïðåäñòàâëåíèå, ïîçâîëÿþùåå ñâÿçàòü ìàêðîñêîïè÷åñêèå6õàðàêòåðèñòèêè îïòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñî ñòðîåíèåì âåùåñòâà è äàòü àäåêâàòíîåîïèñàíèå ýòèõ ïðîöåññîâ.Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ òåîðèÿ ñâåòà áàçèðóåòñÿ íà óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà:rot H =¶D+ j;¶trot E = -(1.1)¶B;¶t(1.2)(1.3)div D = r;(1.4)div B = 0,ãäå E è D — íàïðÿæåííîñòü è èíäóêöèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ; H è B — íàïðÿæåííîñòü è èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ; r — îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà; j —ïëîòíîñòü òîêà.

 ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà r è j ñâÿçàíû óðàâíåíèåìíåïðåðûâíîñòè:¶r(1.5)+ div j = 0,¶têîòîðîå èìååò òàêîé æå âèä, ÷òî è óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè äëÿ ñæèìàåìîéæèäêîñòè, îïèñûâàþùåå çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû.Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: «Ïîçâîëÿþò ëè óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà îäíîçíà÷íî ðàññ÷èòàòü ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå?» Ôîðìàëüíî íàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ïÿòüâåêòîðíûõ âåëè÷èí: E, D, H, B, j, è îäíó ñêàëÿðíóþ âåëè÷èíó r. Ïîä÷åðêíåì,÷òî ðå÷ü èäåò î òîêàõ è çàðÿäàõ â ñðåäå, êîòîðûå äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíûñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì.

Èõ íå ñëåäóåò ïóòàòü ñ çàäàííûìè ðàñïðåäåëåíèÿìèr è ( x, y, z , t ) è j è ( x , y, z , t ), îïèñûâàþùèìè èñòî÷íèêè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èìåòü ïÿòü âåêòîðíûõ óðàâíåíèé è îäíî ñêàëÿðíîå, àóðàâíåíèÿ (1.1)— (1.5) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèøü äâà âåêòîðíûõ è òðè ñêàëÿðíûõóðàâíåíèÿ. Áîëåå òîãî, óðàâíåíèÿ (1.3) è (1.1) ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé, ïîñêîëüêóèìåþò îäèíàêîâûå äèôôåðåíöèàëüíûå ñëåäñòâèÿ.

 ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ,ïðèìåíèâ îïåðàöèþ div ê îáåèì ÷àñòÿì (1.1), è çàòåì èñïîëüçîâàòü (1.5). Òîãäà¶ïîëó÷èì óðàâíåíèå (äèôôåðåíöèàëüíîå ñëåäñòâèå)(div D - r) = 0, êîòîðîå¶tòàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè óðàâíåíèÿ (1.3).Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (1.4) ñâÿçàíî ñ (1.2). Ïðèìåíèâ îïåðàöèþdiv ê óðàâíåíèþ (1.2), ìîæíî âûâåñòè âòîðîå äèôôåðåíöèàëüíîå ñëåäñòâèå,êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ è äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè óðàâíåíèÿ (1.4).Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñðåäû. Òðè íåäîñòàþùèå âåêòîðíûå óðàâíåíèÿóñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó âåêòîðàìè è íàçûâàþòñÿ ìàòåðèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñðåäû.

 îáùåì âèäå îíè çàïèñûâàþòñÿ â âèäå èçâåñòíûõ ôóíêöèé:D = D(E);B = B(H);j = j(E).(1.6)Âèä ýòèõ ôóíêöèé çàâèñèò îò ñâîéñòâ ìàòåðèàëüíîé ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà, è ìîæåò áûòü âåñüìà ðàçíîîáðàçåí, à èíîãäà è äîñòàòî÷íî ñëîæåí. Íàïðèìåð, â îäíîé ñèòóàöèè çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ D, B è j â êàêîéëèáî òî÷êå r ïðîñòðàíñòâà è ìîìåíò âðåìåíè t ìîãóò çàâèñåòü îò çíà÷åíèéâåêòîðîâ E è H â ýòîò æå ìîìåíò âðåìåíè, íî â äðóãèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà.7Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ðåàëèçóåòñÿ â ñðåäå ñ ïðîñòðàíñòâåííîé ñòðóêòóðîé è õàðàêòåðèçóåòñÿ êàê ïðîÿâëåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè ñðåäû. Ñóùåñòâóåò èâðåìåííàÿ (÷àñòîòíàÿ) äèñïåðñèÿ, êîãäà D, B è j îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè Eè H â òîé æå òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, íî â ïðåäøåñòâóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè. ýòîì ñëó÷àå ñðåäà îáëàäàåò «ïàìÿòüþ» íà âîçäåéñòâèÿ.

ßâëåíèå ÷àñòîòíîéäèñïåðñèè èçó÷àþò â ñðåäíåé øêîëå è îïèñûâàþò ôåíîìåíîëîãè÷åñêè â âèäåçàâèñèìîñòè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû îò ÷àñòîòû (èëè äëèíû âîëíû).Êðîìå òîãî, â îáùåì ñëó÷àå ñâÿçü ìåæäó âåêòîðàìè â ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé. Ïîýòîìó ýòè óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì E (èëè H ) è àíàëèçèðóþò âëèÿíèå êàæäîãî èç ÷ëåíîâðàçëîæåíèÿ íà õàðàêòåð ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â ñðåäå.  çàêëþ÷èòåëüíîé ÷àñòèêóðñà áóäóò ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå íåëèíåéíûå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ (ñì. ðàçä. 9). äàííîé ëåêöèè ïðîàíàëèçèðóåì ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëíâ âàêóóìå è ðàññìîòðèì îñíîâíûå ìîäåëè âîëí, èçëó÷àåìûõ ðåàëüíûìè èñòî÷íèêàìè ñâåòà. Äëÿ âàêóóìà ( j = 0, r = 0) ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïðèíèìàþòïðîñòåéøèé âèä:, = e 0 -;-12* = m 0 0,(1.7)-7ãäå e0 = 8,85 × 10 Ô/ì, m0 = 4p × 10 Ãí/ì — ýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííûå â ÑÈ.Âîëíîâîå óðàâíåíèå.

Âîçìîæíîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â âàêóóìå ëåãêîäîêàçûâàåòñÿ âûâîäîì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ êàê äëÿ âåêòîðà E, òàê è äëÿ âåêòîðà H. Ïðèìåíèì îïåðàöèþ rot ê îáåèì ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ (1.2) è ó÷òåì òîæäåñòâî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà A : rot rot A = grad div A - DA . Òîãäà ìîæåì çàïèñàòürot rot - = grad div - - D- = -m 0 rot¶0.¶t(1.8)Èçìåíèì â ïðàâîé ÷àñòè (1.8) ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè¶E, à óðàâíåíèåè êîîðäèíàòàì. Íàêîíåö, ó÷òåì, ÷òî ñîãëàñíî (1.1) rot H = e 0¶t(1.3) ìîæíî çàïèñàòü êàê e 0 div E = 0.

 èòîãå óðàâíåíèå (1.8) ñâåäåòñÿ ê âèäó¶ 2E1=D E.2¶te 0m 0(1.9)Ýòî èçâåñòíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå, ïîäîáíîå óðàâíåíèþ, îïèñûâàþùåìóâ ìåõàíèêå ðàñïðîñòðàíåíèå àêóñòè÷åñêèõ âîëí. Ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîéâîëíû îïðåäåëÿåòñÿ ïîñòîÿííûìè e0 è m0 è ðàâíà, ì/ñ,c =1e 0m 0» 3 × 10 8.(1.10)Àíàëîãè÷íîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ âåêòîðà H ïðè èñïîëüçîâàíèè äðóãîé ïàðû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.Åñëè çàïèñàòü îáà âåêòîðíûõ âîëíîâûõ óðàâíåíèÿ â ñêàëÿðíîì âèäå,òî ïîëó÷èì øåñòü îäèíàêîâûõ âîëíîâûõ óðàâíåíèé âèäà¶2 f= c 2 Df ,¶t 28(1.11)ãäå ïîä f ïîäðàçóìåâàåòñÿ ëþáàÿ èç øåñòè êîìïîíåíò Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hzýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïîýòîìó äàëåå ðàññìîòðèì âàæíåéøèå ìîäåëè ñêàëÿðíûõ âîëí, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèåé f, íàçûâàåìîé óðàâíåíèåì âîëíû.Ñôåðè÷åñêèå âîëíû.

Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàâèñèò ëèøü îò ñôåðè÷åñêîé êîîðäèíàòû r = x 2 + y 2 + z 2 , òîãäà f ( x, y, z ) = f (r , t ). Ïîäñòàâèì ýòó ôóíêöèþâ (1.11). Ïðè âû÷èñëåíèè ëàïëàñèàíà â ïðàâîé ÷àñòè (1.11) ó÷òåì, ÷ò ¶rx ¶==;¶x ¶r ¶x r ¶r¶2¶ æx ¶ ö 1 ¶x æ x ¶2x ¶ö==+ ç.ç÷2¶x¶x è r ¶r ø r ¶r r è r ¶r 2 r 2 ¶r ÷øÏîýòîìó óðàâíåíèå (1.11) ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:2¶2 f2 1 ¶=c(r f ).(1.12)¶t 2r ¶r 2Åñëè ââåñòè íîâóþ ôóíêöèþ y = rf, òî äëÿ íåå âîëíîâîå óðàâíåíèå áóäåòèìåòü âèä¶2y¶2y= c2.(1.13)2¶t¶r 2Ðåøåíèå ýòîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ âîëíîâûõ âîçìóùåíèé, äâèæóùèõñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó,röröææy (r , t ) = y 1 ç t - ÷ + y 2 ç t + ÷ ,èècøcø(1.14)ãäå y1 è y2 — ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè.Îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîé âîëíû ïðèìåò âèäröröææy1 ç t - ÷ y 2 ç t + ÷èècøcøf (r , t ) =+.rr(1.15)Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (1.15) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñôåðè÷åñêóþâîëíó, ðàñõîäÿùóþñÿ îò íà÷àëà êîîðäèíàò, à âòîðîå — ñõîäÿùóþñÿ ê íà÷àëóêîîðäèíàò.Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ó ðàñõîäÿùåéñÿ âîëíû âîçìóùåíèå îñëàáåâàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîéäåííîìó âîëíîé ðàññòîÿíèþ, à ó ñõîäÿùåéñÿ, íàîáîðîò, íàðàñòàåò.

Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, ãäå âîçìóùåíèå fîäèíàêîâî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñôåðó ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.Ïëîñêèå âîëíû. Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íà÷àëà êîîðäèíàò ôðàãìåíòñôåðè÷åñêîé âîëíû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ïëîñêîé âîëíû (ðèñ. 1.1)(÷àñòü ñôåðû àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïëîñêîñòüþ ñ çàäàííûì â ïðîñòðàíñòâå íàïðàâëåíèåì íîðìàëè ê íåé).Åñëè ââåñòè åäèíè÷íûé íîðìàëüíûé âåêòîð e,òî ôóíêöèÿ f ïîñòîÿííà íà ïëîñêîñòè r × e = constè çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàòû x = r × e, îòñ÷èòûâàåìîé âäîëü íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè ê ïëîñêîñòè.Ïîýòîìó óðàâíåíèå òàêîé âîëíû äîëæíî çàâèñåòüîò êîîðäèíàòû è âðåìåíè ñëåäóþùèì îáðàçîì:f (r, t ) = f [(r × e), t ].(1.16)Ðèñ.

1.19Ïîäñòàâëÿÿ (1.16) â (1.11) è ïåðåõîäÿ ê îäíîé êîîðäèíàòå x = r × e, ïðèâîäèì âîëíîâîå óðàâíåíèå ê ïðîñòåéøåìó âèäó¶2 f¶2 f= c2.2¶t¶x 2(1.17)Åãî ðåøåíèå åñòü ñóïåðïîçèöèÿ äâóõ ïëîñêèõ âîëí, äâèæóùèõñÿ íàâñòðå÷óäðóã äðóãó:xöxöææf (x, t ) = f 1 ç t - ÷ + f 2 ç t + ÷ ,èècøcø(1.18)ãäå f1 è f2 — ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè.Âîçâðàùàÿñü îò x ê ðàäèóñó-âåêòîðó, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìr × eör × eöææf (r, t ) = f1 ç t + f2 çt +.÷èøècc ÷ø(1.19) îòëè÷èå îò ñôåðè÷åñêîé âîëíû âîçìóùåíèå â ïëîñêîé âîëíå íå èçìåíÿåòñÿ ñ ïðîéäåííûì âîëíîé ðàññòîÿíèåì.Îòìåòèì, ÷òî ñôåðè÷åñêàÿ è ïëîñêàÿ âîëíû ÿâëÿþòñÿ àáñòðàêöèÿìè, ïîñêîëüêó íå ñóùåñòâóþò â ïðèðîäå.

Âìåñòå ñ òåì ýòè ìîäåëè âîëí èãðàþò î÷åíüâàæíóþ ðîëü. Äåëî â òîì, ÷òî âîëíû ðåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñóïåðïîçèöèè ëèáî ñôåðè÷åñêèõ, ëèáî ïëîñêèõ âîëí. Ïîýòîìóèçó÷èì ñâîéñòâà ýòèõ âîëí.Ñâîéñòâà ïëîñêèõ âîëí.  ïëîñêîé âîëíå âåêòîðû E è H çàâèñÿò îò êîîðäèíàò è âðåìåíè ñëåäóþùèì îáðàçîì:r × eöæ;E(r, t ) = E ç t mèc ÷ør × eöæ.H(r, t ) = H ç t mèc ÷ø(1.20)Óñòàíîâèì ñâÿçü è îðèåíòàöèþ âåêòîðîâ E è H. Âûáèðàÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè â (1.20) çíàê «-», áóäåì òåì ñàìûì ðàññìàòðèâàòü ïëîñêóþ ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ âäîëü âåêòîðà e. Ïîäñòàâèì (1.20) â ïåðâûåäâà óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Äëÿ óäîáñòâà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ââåäåì íîâóþ ïår×eðåìåííóþ t ¢ = t .