balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (Л.И. Балабух, Н.А. Алфутов, В.И. Усюкин - Строительная механика ракет), страница 12

дг ду " дд Связь между поперечными перемещениями ы срединной плоскости пластины и ее внутренними силовыми факторами устанавливают с помощью допущения о ненадавливании слоев: считая материал пластины упругим и изотропным, по общим зависимостям для плоского напряженного состояния имеем: Е Ег | д'и д'и ~ а„= — (з„+р,„) = — ~ — + 1х х 1 Ф х ы 1 — 12 дхв дд2 Е Ег | дгю дгы а„= — (з„-1- рз„) = — — ~ — + )х ); (2.52) д 1 г д х 1 уг ~ дуз дхг /' Е Ег дгв т„„= т„, - ~у„„= — т., - — ( ~ — И) 2 (1+ 1Р) 1 — уР дхду Нормальные напряжения о„и ид, линейно изменяющиеся по толщине пластины, статически эквивалентны изгибающим моментам интенсивностью М и М„, а касательные напряжения т„„и тр„тоже линейно изменяющиеся по толщине, статически эквивалентны крутящим моментам интенсивностью М„„и М„,.

(Как и в задаче осесимметричного изгиба круглой пластины, интенсивности моментов будем далее просто называть моментами). Величины М„М, Мхд и Мд„ подсчитывают аналогично тому, как в 5 2.4 были подсчитаны М, и Ма Используя зависимости (2.52), получаем +Ы2 д'и~ дгв 1 М„= — 1 о, гйг =Е1 ~ — +р— д. х дуг )' — а|2 +Ь/2 д ° " дхг ' (2.53) — Ь!2 +й/2 М„=-М„,= — т„„гдг1= (1 — р).0— д'-в х у -ь! а где д — жесткость пластины на изгиб, определяемая формулой (2.40). Знаки моментов выбраны так, чтобы положительное направление моментов соответствовало положительным значениям вторых производных, входящих в формулы (2.53).

В сечениях пластины плоскостями„ параллельными координатным плоскостям хг и уг, вообще говоря, возникают касательные напряжения т„„н т„„интегрируя которые по толщине пластины получают значения поперечных сил интенсивностью (~„н Я,, Но необходимо подчеркнуть, что эти касательные напряжения нельзя непосредственно связать с деформациями пластины, ибо в силу первого основного допущения углы сдвига у„, = у„=. О.

Дальнейшее решение задачи можно проводить так же, как в предыдущем параграфе: рассмотрев условие равновесия элемента нагруженной пластины и использовав соотношения (2.53), получить дифференциальное уравнение относительно поперечного прогиба и. Но можно воспользоваться иным, вариационным путем решения задачи, основанным на принципе минимума полной потенциальной энергии. Подсчитаем сначала потенциальную энергию деформации изогнутой пластины. В силу второго основного допущения о ненадавливанни слоев мы вправе подсчитывать удельную энергию деформации по формуле, справедливой для упругого изотропного тела при плоском напряженном состоянии. Подставив в эту формулу величины е„, е„, у „, определяемые зависимостями (2.51), получим 00=,, —, +2р — — + — + +2 (1 — р,) Интегрируя это выражение по всему объему пластины, получаем потенциальную энергию деформации пластины У = Ц~ 00 дх ду йг.

Проинтегрировав по толщине пластины, окончательно имеем (2.54) где 0 = ЕЬ' / [12 (1 — ц~)1 — жесткость пластины на изгиб, причем в общем случае величина В может быть переменной, т. е.' В = В (х, у). Отметим, что касательные напряжения т„, и т„, никакие влияют на значение потенциальной энергии деформации пластины, поскольку углы сдвига у„, и у„„на которых совершают работу эти напряжения, равны нулю в силу первого допущения о неизменности нормали. Потенциал внешних поперечных сил, действующих на пластину, Л = — Дри дх с1у, (2.55) где р = р (х, у) — интенсивность внешней поперечной нагрузки, т.

е. сумма всех поверхностных и объемных поперечных сил, действующих на элемент пластины, отнесенная к его площади. Полная потенциальная энергия изогнутой пластины 0 дгв д в д'в дгв дгв — — — — рв дхду. дхг дуг (2.56 В положении равновесия должно выполняться условие стационарности полной потенциальной. энергии 63 =- О. Воспользуемся сейчас этим условием, чтобы получить дифференциальное уравнение изгиба пластин. Уравнение Эйлера для функционала полной потенциальной энергии пластины имеет вид (см.

Приложение 1): дР дг дР дг дР дг дР дв дхг дгв дуг дгв дхду дгв где Р— подынтегральное выражение.в зависимости (2.56). Отсюда следует дифференциальное уравнение изгиба тонкой пластины: -" — "('И вЂ” "'%-"-"' "' Р' —,",('~( —.: ".;)- '- ь1) дг дгв +2 — (1 — р,) Р— 1 =О. дхду дхду ~ (2.57) В частности, для пластины постоянной толщины это уравнение принимает вид (2.58) дх4 дхгдуг ду4 О или г7г1~г„, (р . где 7г(*) — оператор Лапласа (2.9).

Из условия Ю = О, выполнив действия, аналогичные тем, какие были сделаны в примерах на растяжение и изгиб стержня в ~ 1.5, мож: но найти те граничные условия, которые могут быть заданы на контуре пластины 14,7), Наиболее просто граничные условия формулируются в тех случаях, когда край пластины совпадает с одной из координатных осей. Например, если такой край при у =- сонат заделан (рис. 2,17, а), то граничные условия на нем имеют вид: 1) со --- О; 2) дж!ду = О. Если край пластины при у = сонат шарнирно оперт (рис. 2.17, 6) то на нем ( д~и д'у 1 д~в 1) щ =О; 2) Мд =0 ( + р — ) =О, т.

е. — =О. ~дФ дх ) ' ' ' дд Решить уравнение в частных производных, к которому мы свели з адачу изгиба пластины, как и бигармоническое уравнение плоской задачи, исключительно труда) ~ х но. Точное решение задачи изгиба пластины удается получить лишь в некоторых частных случаях, ав подавляющем большинстве практиче- У у ски важных задач решение находят с помощью приближенных методов. Примеры точных и приРис. 2.!7 ближенных решений уравне- ния поперечного изгиба пластин можно найти, например, в книгах 14,7).

Однако в силовых конструкциях ракет гладкие тонкие пластины, нагруженные поперечными силами, встречаются чрезвычайно редко: поэтому описывать решения уравнения (2.58) мы не будем. Но это уравнение нам понадобится для решения задачи устойчивости пластин, нагруженных в своей плоскости, задачи, имеющий первостепенное значение в прочностных расчетах конструкций ракет. Глава 3 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Методы решения задач строительной механики благодаря широкому внедрению ЭВМ получили в последнее время существенное развитие. Тесное сотрудничество инженеров, математиков и специалистов по вычислительной технике создало возможности для совершенствования применяемых ранее и появления новых методов решения задач.

Особенно широкое распространение получили м е т о д к о н е ч н ы х элементов (МКЭ) и метод конечных разностей (МКР). Их отличает универсальность, применимость к уравнениям и областям самого разного вида и наряду с этим большие возможности алгоритмизации и использования уже отработанных блоков программ, Они позволяют рассчитывать самые сложные и разнообразные конструкции. В настоящей главе излагаются основные прямые вариационные методы расчета деформированного состояния наиболее простых систем. Они являются предшественниками различных вариантов МКЗ и методически имеют непосредственную связь с ними. Рассмотрена также последовательность прямого численного интегрирования уравнений применительно к одномерным краевым задачам (матричный метод начальных параметров).

МКР и МКЗ представлены сначала в наиболее простых вариантах, а затем распространены на решения сложных двумерных задач. 5 ЗЛ. Варнав!ионные методы »> >И и=,'~ А», ср„(х, у); о =- '~ В„$„(х, у); и=! »=! (3.1) гв» =,'!'„С„»1„(х, у), »=! где А„, В„, ф— произвольные постоянные.

Функции ср„(х, у) ли. иейно независимы по отношению к функциям !Р„» (х, у), !~„+» (х, у) и т. д. То же можно сказать о функциях 5„(х, у) и»1„(х, у). Каждая из них является составляющей полной системы функций. Кроме того, они должны быть непрерывны на рассматриваемой области и удовлетворять ио крайней мере геометрическим граничным условиям задачи. После подстановки выражений (3.1) в уравнение потенциальной энергии и проведения операций дифференцирования и интегрирования функционал зависит только от коэффициентов А„, В„, С„. В положении равновесия потенциальная энергия З должна иметь стационарное значение и задача о стационарности функционала сводится к задаче об экстремуме функции переменных А„, В„, С„.

Отсюда следуют условия дЭ дЭ дЭ вЂ” =О; — =О, — =О, дА»» дВ»» дС»» (3.2) 3 зц„, ~йв Вариационные методы долгое время были, пожалуй, самыми распространенными при решении многих сложных задач строительной механики. В последние годы их применяют на базе вычислительной техники. Появились новые модификации методов. Однако общие идеи, содержащиеся в новых методах, остаются прежними и классические методы Рэлея — Ритца и Бубнова †Галерки еще долго будут составлять основу применяемых при расчетах методик. М ет од Р элея — Ритца является одним из наиболеемощных прямых методов вариационного исчисления. В задачах упругого расчета с его помощью можно с той или иной точностью определить поле перемещений, используя уравнения потенциальной энергии деформируемого тела.

Перемещения аипроксимируются на всей области интегрирования некоторыми системами функций. Для двумерной области с тремя компонентами перемещений и, »», и это — 'три системы: !~» (х, у), Ч~в (х> у)> ' > !!'>>> (х> у)> Б» (х> у)> ° * Вв (х> у)> '" $>>> (х> у)> >!»(Х> у)» т)в (х> у)> ..., »1 (х, у). Перемещения принимают такими: 9= — Е3 — дх — ды дх.

(3,3) Первое слагаемое здесь соответствует энергии деформации, второе— потенциалу внешних сил. Из условия равновесия следует, что ЬЭ =О. Ин'гегрируя вариацию энергии по частям, получаем ЬЭ = Е3 — ~ — д Ьыс1х + ЕУ вЂ” Ь— о — 'ЕУ вЂ” ~ Ьш = О. (3А) Отсюда при произвольном Ьы получается уравнение равновесия ЕХ вЂ” — су =О Фв дХ4„ (3.5) и граничные условия на концах балки, соответствующие второму слагаемому уравнения (3,4).

Таким образом, для решения задачи нужно найти общий интеграл уравнения (3.5) и выбрать такие частные решения, которые удовлетворяют граничным условиям. Однако мы поступим иначе — получим решение методом Рэлея — Ритца. Для этого воспользуемся соотношением (3.3) и зададим функцию гв в виде ряда т и= ~ сиз!и (3.6) а 1 При любом а функция з1п пяхЛ равна нулю при х = О и х = 1. Подставляя выражение (3.6) в уравнение (3.3) и интегрируя, получаем 9 = — — ~ 4 С4 — ~)1 — ~~~~ ~— С . Е3 4 2 1 13 4 я п я=) п= 1,3,5... которые и позволяют найти все коэффициенты в системе (3.1) из Зт уравнений.