balabuh_l_i___alfutov_n_a___usyukin_v_i_ _stroitelnaja_mehani (Л.И. Балабух, Н.А. Алфутов, В.И. Усюкин - Строительная механика ракет), страница 11

Аналогично подсчитывают внутренний изгибающий момент в ради- ~: альном сечении: + Л/2 Г РЛ2 Мв = — ~ ов гдг = ~ — +. 1Ю'. 12 (1 — р2) [, г — Л/2 Окончательно запишем М„=- 0 (О' + р,Иг); Мв = П (д/'г + 120'), (2.39) где /'./ (2.40) Величину 0 называют жесткостью пл асти ны (или оболочки) н а и з г и б или ц и л и н д р и ч е с к о й ж е с т к о с т ь ю, В окружном сечении возникают не только нормальные напряжения о„, но и касательные напряжения т„,.

(Из условия симметрии задачи в радиальном сечении касательные напряжения тв, = О и поперечная сила ®в = 0.) Равнодействующая касательных напряжений т„, рас'' пределенных по толщине пластины, дает поперечную силу, интенсив- ность которой обозначим (~, и в дальнейшем будем называть просто поперечной силой.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принята а у„а =, касательные гипотеза неизменности нормалей и углы сдвига = О, напряжения т,а и поперечную силу Д„нельзя связать с деформацией пластины с помощью закона Гука. ны см. ис. 2.10 . Н Рассмотрим условия равновесия элемента выделе ел нного из пластины (см. рис.. ). а гранях этого элемента действуют внутренние силовые факторы (рис. 2.!3), причем в силу симметрии момент Ма по окружности пластины не меняется, а поперечная сила Да — — О. Через Вг Рис.

232 Рис. 2.13 р =- р (г) обозначена интенсивность внешней по е ру т. е. отношение суммы всех внешних повер б ей поперечнои нагрузки ове хностных и объемных сил деиствующих на элемент, к его площади. ! Из равенства нулю проекций всех сил на ось г ь г следует: Ю„гс1Π— Я, + с%„) (г + дг) с1О + ргс(Ой. = О. Сократив это выражение на величину ЙОс1г, получим И~) (2.41) Приравнивая нулю сумму моментов всех си л относительно оси, кавь сательнои к дуге окружности радиусом г + Йг б г, и от расывая величины ысших порядков малости, получаем уравнение (гМ,)' — Ме = — гО- (2.42) О стальные условия равновесия удовлетворяются тож ест силу симметрии задачи.

ются тождественно в При заданных нагрузках и условиях зак епления пол отношения (2.34), (2.39) (2,4 , 1), (2.42) дают возможность найти нап яженно-деформированное состояние и прогибы пластины. т Для пластины постоянной толщины обычн очное аналитическое решение преобразовав о ьчно нетрудно пол чить 3 а овав полученные зависимости следующим образом. Подставив соотношени (2.39) я ( .

) в уравнение рав- 66 новесия (2.42) и поделив все слагаемые на произведение Ю, получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно угла д: О" +- О'/г — д/г' = 1~,/И. (2.43) С точностью до обозначений это уравнение тождественно уравнению (2.26), и его решение (если поперечную силу считать известной функцией радиуса) можно записать в виде, аналогичном выражению (2.27): О=С,г+ — '+ — г Ц„дг дг.

(2.44) Здесь С, и С, — произвольные постоянные, для определения которых . должны быть заданы два граничных условия относительно угла б на;; клона нормали при г = г, и г =- г,. Например, в задачах, изображенных на рис. 2.14, эти граничные ; 'условия будут: а) при г = г., д=:0; при г = г, М,=О, т.

е. д' + рд/г~=-0' б) при г=г1 М,=-О,т. е.д'+рд/г =-0; при г= — г, О=О. Поперечную силу Яг„, входящую в выражение (2.44), в общем случае можно найти из уравнения равновесия (2.41): Д Яг = — грй+ —, Г (2.46) г,) г 'где С, — новая произвольная постоянная, для определения которой . следует привлечь граничные условия относительно поперечной силы 1' или поперечного прогиба. Например, в задаче, изображенной на :;: рис. 2.14, а, поперечная'. сила при г =- г„ очевидно, равна внешней 2 Рис.

2.14 : распределенной нагрузке д, т. е. при г = г, Я„=д. Из этого граничного условия находим произвольную постоянную С,. В рассматривае' мой задаче р — О, следовательно, С, =- г,,д, и окончательно получаем 1;1, = дг,/г. Задача, изображенная на рис. 2.14,б, относительно поперечной силы статически неопределима, и для нахождения Сз здесь необходимо привлечь следующие граничные условия: при г=г, в — О; при г=-г, в=0. Функцию поперечного прогиба ы (г) находим из уравнения (2.34): ~ — 5 Ойг+С„ (2.46) и,'" = =Г6Мг,/У, (2.47) пв'" =- ~6 Ма//!'. Рассмотрим пример расчета сплошной круглой пластины, свободно опертой по контуру и нагруженной равномерным давлением (рис.

2.15, а). Относительно поперечной силы 1~„ эта задача статически определима; в таких случаях !~, обычно удобнее находить не из уравнения равновесия (2.45), а просто г рассматривая условие равновесия центральной части пластины. Из условия равновесия в проекции на ось г юг 9, + пгэр = О. !чв Отсюда Я„= — рг/2. Интегрируя выражение (2.44), получаем д =- С1г + С,/г — рг'/(160). — г!'г-,а/ яг !б Рис. 2.!5 При г = О из условия симметрии угол д поворота нормали должен быть равен нулю, а на свободно опертом контуре момент М„= О. Следовательно, граничные условия отыосительно угла б таковы: при г=О 6=-0; при г=Д д'+рдЯ=О. Из первого граничного условия следует С, — -.

О, а из второго находим С, и окончательно получаем р!~з / З+р г гз ~ !6О !~ !+р Я Яэ /' Из выражения (2.46) находим где С, — еще одна произвольная постоянная. Итак, для определения четырех произвольных постоянных мы имеем четыре граничных условия: два составленных выше условия относительно угла д, и два условия относительно поперечного прогиба и. После того как функция д (г) найдена, нормальные напряжения можно подсчитать по зависимостям (12,38), причем наибольшие по толщине значения напряжений, очевида) Я но, имеют место при г = -~-/!/2.

Окончательным формулам для подсчета наибольших напряжений удобно, используя зависимости (2.38) и (2.39), придать такой вид: 4'де произмльйая постоянная С, определяегся из грайичного услб. вия относительно прогиба: при г = й и= О. После очевидных преобразований приходим к зависимости И рК4 / 1 5+р, 1 3+р гй 1 гй + Па формулам (2.39) определяем изгибающие моменты: рЩй / гй М„= — (3+ Р) 1'1 — — ~, 16 Яй Ме =- — (3+у) ~1 — — ).

рай Г 1+ 31й 16 з+. л) фпюры прогиба и изгибающих моментов, построенные по полученным езависимостям, показаны на рис. 2.15, б. Максимальные значения мо- ентов наблюдаются в центре пластины; соответствующие им напря': ения находим по формулам (2.47); отпай отай а (з+1) 16 Ь де Ь вЂ” толщина пластины. Оценим теперь степень точности основных упрощающих допущений, помощью которых решена задача. Из последних формул следует, что ормальные напряжения а„и и в пластине оказались порядка велиины рКй/Ьй.

В то же время нормальное напряжение и, изменяется по " лщине пластины от и, = — р до о, = О, т. е. имеет порядок р. оэтому для тонких пластин' допущение о пренебрежимой малости . ,' апряжения о, вполне оправдано, причем чем тоньше пластина„ тем чнее выполняется зто допущение. Допущение о неизменности нормали означает, в частности, прене, режение углами сдвига у„, по сравнению с углами поворота нормали. рассмотренной задаче, как нетрудно видеть, величина б имеет по- ядокрй'/(Ь'Е). Касательные напряжения т„„интегрирование кото- рых по толщине пластины дает поперечную силу Я„, имеют, очевидно, ~порядок Я„/Ь. Следовательно, в-рассматриваемой задаче т„, имеют по;рядок рЯ/(2Ь) и вызывают углы сдвига т„, порядка рЯ/(2Ьб), где Ж вЂ” модуль сдвига. Поскольку для изотропного материала Е = 2 (1 + ~::+ р) б, то в случае тонких пластин из изотропного материала условие ~."у„, ~г. д действительно выполняется, причем тем точнее, чем тоньше .',;Пластина.

(Гипотеза о неизменности нормали может приводить к за~мйетным погрешностям только для резко анизотропных пластин [31, р.'когда Е„ъ б„„где Е„и б„, — соответственно модуль упругости в -;.направлении г и модуль сдвига в плоскости гз.) Эти оценки, сделанные на примере решения конкретной осесим~:метричной задачи, имеют общий характер: основные упрощающие ;:,~(опущения технической теории пластин выполняются тем точнее, чем ~:тоньше пластина, (2.48) Зная эти перемещения, по общим формулам (1.17) находим деформации е е и всл д г у слое пластины, отстоящем на расстоянии г от ее срединной плоскости: ди дд 3.= — = — я дх дх до дд еу а Ц ду ду (2.49) у.,= — + — = — а~ — "+ —" .

ди да ~ ддх де ду дх ~ ду дх Согласно допущению о неизменности нормали элемент АВ останется перпендикулярным искривленной срединной плоскости и углы его наклона д и х и д„будут равны углам наклона касательных к искривленным коо и плоскости: рдинатным линиям на деформированной срединной дх ду (2.50) $23. ДифФеренциальное уравнение изгиба пластин в прямоугольной системе координат Представим пластину в прямоугольной системе координат, совместив ее срединную плоскость с координатной плоскостью хд (рис.

2.16 ). Б е , й удем считать, что толщина Й пластины существенно меньше размеров пластины в плоскости ху. Задачу изгиба такой пластины поперечными силами рассмотрим в линейной постановке, как была рассмотрена более простая осесимметричная задача (см. ~2,4), Причем для вывода со. отношений, описывающих изгиб пластины, снова воспользуемся ос. а новными допущениями теории пластин и оболочек.

дд Геометрические соотно- шения, описывающие де- О д ~ ~~ ~юг формацию пластины, полуд. А, д у ~ У чим, проследив за пере- мещением материального А У элемента АВ, до деформации перпендикулярного Рис. 2,16 срединной плоскости пластины. В соответствии с первым допущением после деформации этот элемент останется прямолинейным и наклонится относительно оси г на г На ис.2.16 б показ г на углы д и д соответственно в плоскостях хг и уг.

( р, азана проекция перемещенияэлемента АВ на плоскость уг.) П и этом т у .) р . точка В, находящаяся на расстоянии г от срединной плоскости, получит перемещения и и о в направлениях осей х и у: Эти зависимости позволяют выразить дефорации е„е„н ухд черей поперечные перемещения и| срединной плоскости пластины: дух д'в 8 = — а — =- — я — ' дх дхг ' д2щ~ (2.51) ду ддг Отметим, что гипотеза неизменности нормалей эквивалентна допущению о том, что углы сдвига у„=- уу, — — 0; из формул (1.17) действительно имеем: дг дх дх до дв дв 7~, = — + — = — д„+ — = О.