Уравнение Шредингера Стационарные задачи квантовой механики (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 3

8(случай Е > U0 рассмотрен в задаче 8).Волновые функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера (3), дляданной задачи имеют видΨ 1 ( x ) = e ik1 x + B1e − ik1 x − область I ,(24)Ψ 2 ( x ) = A2 e k x + B2 e − k x −область IIΨ 3 ( x) = A3eik1 x −область III22где k1 =2m0 E2m0 (U 0 − E )и k2 =.2!!2Основное внимание в данной задаче сосредоточим на анализе прохождения частицы через барьер. Условие непрерывности (условие сшивки) волновыхфункций и их производных на границах барьера, т. е. при x=0 и х=а, позволяетнайти коэффициенты B1, A2, B2, A3.

В частности, для амплитуды A3 получаемвыражение4ik1 k 2 e ik1aA3 =.(k1 + ik 2 )2 e k2 a - (k1 - ik 2 )2 e k2 aВекторы плотности потока вероятности для падающей на барьер и прошедшейчерез него волн с учетом (24) имеют вид"""!kj пад = 1 ,m0"!k2j прош = 1 A3 .m0Подставляя j пад и j прош в выражение для D (22), находим коэффициент прохождения частицы через барьер:"j прошD= "= A3j пад−12 k 12 + k 22 2= 1 + shka,22kk1 2 1где гиперболический синус sh k 2 a = (e k2 a − e − k2 a ) . В случае, когда ширина барь2ера а удовлетворяет условию k 2 a >> 1, e − k2 a << 1 и гиперболический синус1можно заменить экспонентой sh k 2 a ≈ e k 2 a . С учетом выражений для k1 и k222коэффициент прохождения частицы через порог D принимает вид 2a(25)D ≈ D0 exp  −2m0 ( U 0 − E )  . !E E Здесь коэффициент D0 = 16  1 −  является медленно изменяющейся функU0 U0 цией отношенияE, численное значение которой по порядку величины сравU0нимо с единицей.

Основной вклад в зависимость D от параметров задачи даетэкспонента, поэтому в большинстве случаев при оценке коэффициента прохождения частицы через потенциальный барьер полагают D0 ≈1. При этом выражение для D принимает вид 2aD ≈ exp  −2m0 ( U 0 − E )  . !(26)Обобщение полученного результата на случай барьера произвольной формыприводит к следующему выражению для коэффициента прохождения 2a x2(27)−D ≈ exp  −2m(UE)dx,00∫ ! x1где x1 и x2 - значения координат, при которых U(x) = Е (рис. 8, б).Прохождение частицы через потенциальный барьер, высота которогопревышает энергию частицы, получило название туннельного эффекта.

Отметим, что туннельный эффект представляет собой чисто квантовое явление.Классическая частица, подходя к барьеру, высота которого больше ее полнойэнергии, отражается от него. Пройти через такой барьер она не может. Квантовая частица может пройти через этот потенциальный барьер, причем вероятность ее прохождения испытывает сильную зависимость от массы частицы m0,ее энергии, а также от вида потенциального барьера U(x).Туннельный эффект объясняет ряд важных физических явлений, таких,например, как холодная эмиссия электронов из металлов, радиоактивный αраспад ядер, контактную разность потенциалов и т.

д. Кроме того, туннельныйэффект находит очень широкое применение в технических приложениях. В частности, на его основе был создан сканирующий туннельный микроскоп, который произвел подлинную революцию в физике и технике поверхности и имеетширокие перспективы в связи с развитием нанотехнологий.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 1. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной ямес непроницаемыми стенками. Найдите отношение разности энергий двух соседних энергетических уровней к полной энергии частицы в следующих случаях: 1) п=3, 2) п=10, 3) п= 100, 4) n→∞.Решение.

Используя соотношение (6), находим разность энергий частицы для(n+1)-го и n -го энергетических уровней. Эта разность определяется выражением∆ E = En+ 1 − En =Поэтому искомое отношение естьε=π 2 !2( 2n + 1) .2m0 a 2∆ E 2n + 1=.Enn2Проанализируем, как зависит величина ε от значения квантового числа n. Расчет дает ε=0,77 для n=3, ε=0,21 для n=10 и ε=0,21 для п=100. Следовательно,искомое отношение ε уменьшается с увеличением значения квантового числа nи стремится к нулю при n→∞.Полученный результат означает, что с увеличением n, т.

е. с увеличениемэнергии частицы, дискретность энергетических уровней становится менее существенной, поскольку с ростом n и энергетическое расстояние между соседними уровнями уменьшается и при больших значениях n становится пренебрежимо малым по сравнению с энергией частицы. Это значит, что энергетическийспектр частицы в этих условиях можно считать практически непрерывным, каки у классической частицы. Поэтому случай больших значений квантового числаn называется квазиклассическим, т. е.

почти классическим случаем.Задача 2. Частица массой m0 находится в двумерной квадратной потенциаль-ной яме с абсолютно непроницаемыми стенками во втором возбужденном состоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы в области0≤ x≤aa,0 < y ≤ , где а - сторона ямы,а также разность энергий второго и пер33вого возбужденных состояний.Решение. Волновая функция частицы, находящейся в двумерной квадратнойпотенциальной яме, имеет видπn xπn y2ψ n1 ,n2 ( x , y ) = sin 1 sin 2 ,aaaа ее энергетический спектр описывается выражением (10)π 2 !2En1 ,n2 =n 2 + n22 ) ,2 ( 12m0 aгде квантовые числа n1, n2=1, 2, 3, …. Первому возбужденному состоянию частицы отвечают квантовые числа n1=1, n2=2 (или, наоборот, n1=2, n2=1).

Следовательно, соответствующий ему энергетический уровень оказывается двукратно вырожденным. Второму возбужденному состоянию отвечают квантовыечисла n1=n2=2 соответствующий ему энергетический уровень невырожден.Вероятность обнаружить частицу в области 0 ≤ x ≤aa,0 < y ≤ , определяется33выражениемa 3a 3P=∫∫004ψ 2 ,2 ( x , y ) dxdy = 2a2a 3a 3∫∫00212π x2π x3sin 2sin 2dxdy =  − ≈ 0 ,07.aa38πРазность энергий второго и первого возбужденных состояний частицы∆E =3π 2 ! 2π 2!2  2π 2!2222+−+=−=222185.()()() 2m a 22m0 a 2 2m 0 a 20Задача 3. Частица массой m0 находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.

Сторона куба равна а. Найдите: а) разность энергий 6-го и 5-го уровней; б) энергию 6-го уровня; в) кратность вырождения 6-го уровня.Решение. Состояние частицы, находящейся в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками, описывается волновойфункциейπn xπn yπn z8ψ n1 ,n2 ,n3 ( x , y, z ) = 3 sin 1 sin 2 sin 3 ,aaaaа энергия частицы, согласно (13), может принимать значенияπ 2 !2E n1 ,n2 ,n3 =n 2 + n22 + n32 ) ,2 ( 12m0 aгде квантовые числа n1, n2, n3=1, 2, 3, …. Основному состоянию частицы, т. е.состоянию с наименьшей энергией, отвечают квантовые числа n1=n2=n3=1.Энергетические уровни возбужденных состояний определяются приведеннымвыражением для E n1 ,n2 ,n3 при последовательном увеличении суммы квадратов3квантовых чисел∑ni =12i(см.

таблицу).3Номер уровня∑nКвантовые числаi =11(1,1,1)32(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)63(1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)94(1,1,3), (1,3,1), (3,1,1)115(2,2,2)126(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)142iИз таблицы следует, что шестому энергетическому уровню соответствует сумма квадратов квантовых чисел, равная 14, тогда как для 5-го уровня эта суммаравна 12.

Таким образом, разность энергий 6-го и 5-го уровней составляетπ 2!2π 2!2∆ E = E6 − E 5 =14 − 12 ) =2 (22m0 am0 aДля энергии 6-го уровня получаемπ 2 !2π 2 !2E6 =.⋅ 14 = 7 ⋅2m0 a 2m0 a 2Обсудим теперь вопрос о кратности вырождения энергетических уровней частицы, находящейся в трехмерной кубической яме. Если квантовые числа n1, n2 иn3 равны между собой, то соответствующий энергетический уровень оказывается невырожденным. Таковы, например, энергетические уровни, отвечающиенабору квантовых чисел (1,1,1), (2,2,2) и т.

д. Если два из трех квантовых чиселравны между собой, но не равны третьему квантовому числу, то соответствующий энергетический уровень имеет кратность вырождения, равную 3. В частности, трехкратно вырожденными являются 2-й, 3-й и 4-й энергетические уровни.И, наконец, если квантовые числа не равны между собой, т. е. если n1≠n2≠n3, тократность вырождения определяется числом возможных перестановок из трехчисел, т. е. равна 6. Именно эта ситуация реализуется для 6-го энергетическогоуровня.

Таким образом, кратность вырождения шестого уровня K6=6.Задача 4. Гармонический осциллятор находится в основном состоянии. Найдите вероятность обнаружения частицы вне пределов классической области, т. е.вне области -x0≤x≤x0, где x0 - амплитуда классических колебаний.Решение. Поскольку осциллятор находится в основном состоянии, согласно12(16), (19), его энергия E0 = !ω 0 , а волновая функция, описывающая его состояние, имеет вид ψ 0 ( x ) =1x0 x2exp  − 2 2 x0πk- частота классиче , где ω 0 =m0!.m0ω 0ского гармонического осциллятора, a x0 =При максимальном отклонении классического осциллятора от положения равновесия его полная энергия должна быть равна потенциальной энергии, т. е.ka02 !ω 02=2.Отсюда следует, что амплитуда классических колебанийa0 =!ω 0!=.km0ω 0Найдем вероятность обнаружения частицы в классической области:Pкл =a0∫− a0где y =12ψ 0 ( x ) dx =a0x0 π∫e−x2x02dx =− a01π1−y∫ e dy ,2−1x.

Поскольку под интегралом стоит четная функция переменной у,x02Pкл =π1−y∫ e dy20Интегралt2− y2I( t ) =edyπ ∫0называется интегралом вероятностей. Этот интеграл широко используется втеории вероятностей, статистике, теоретической и математической физике, егозначения для различных пределов интегрирования t приведены в таблицах. Вданном случае, при t=1 I(1)=0,8427, следовательно, РКЛ = 0,8427 ≈ 0,84.Соответственно, вероятность Р того, что частица будет обнаружена вне классической области, Р = 1- РКЛ≈0,16.Таким образом, вероятность пребывания гармонического осциллятора,находящегося в основном состоянии, вне пределов классической области составляет примерно 16 %, т. е.

имеет заметную величину.Задача 5. Частица массой m0 движется в трехмерном потенциальном полеU( x, y,z ) =k 2( x + y 2 + z 2 ),2где k - постоянная (трехмерный гармонический осциллятор). Найдите собственные значения энергии частицы и кратность вырождения n-го энергетического уровня.Решение. Поскольку движение частицы вдоль осей х, у и z происходит незави-симо, будем искать волновую функцию в виде произведенияψ ( x , y , z ) = ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z ),где Ψ1 зависит только от координаты х, Ψ2 только от у и Ψ3 -только от z. Подставляя Ψ(x, y, z) в уравнение Шредингера (4), получаем∂ 2ψ 1 ( x )∂ 2ψ 2 ( y )∂ 2ψ 3 ( z )ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z )+ ψ 1 ( x ) ⋅ψ 3 ( z )+ ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( z )+dx 2dy 2dz 22m+ 2 0 [ E − U ( x , y , z )]ψ 1 ( x ) ⋅ψ 2 ( y ) ⋅ψ 3 ( z ) = 0.!Разделив это уравнение на ψ(x, y, z) и использовав данный в условии задачи видзависимости U(x,y,z), придем к соотношению 1 d 2ψ 1 ( x ) 2m0 kx 2   1 d 2ψ 2 ( y ) 2m0 ky 2 ψ ( x ) dx 2 − ! 2 2  + ψ ( y ) dy 2 − ! 2 2  + 1  2 1 d 2ψ 3 ( z ) 2m0 kz 2 2m+− 2= − 2 0 E.2!!2 ψ 3 ( z ) dzПервое выражение в квадратных скобках в левой части этого равенства является функцией только координаты х, второе выражение в квадратных скобках является функцией только координаты у, третье - функцией только координаты z.Поскольку их сумма равна постоянной величине, каждое из этих слагаемыхтакже должно равняться постоянной величине:1 d 2ψ 1 ( x ) 2m0 kx 22m− 2= − 2 0 E1 ,2!!ψ 1 ( x ) dx22m1 d 2ψ 2 ( y ) 2m0 ky 2− 2= − 2 0 E2 ,2ψ 2 ( y ) dy!!21 d 2ψ 3 ( z ) 2m0 kz 22m− 2= − 2 0 E3 ,2ψ 3 ( z ) dz!!2где константы E1, E2, E3 имеют размерность энергии и удовлетворяют условиюE1+E2+E3=E.