Уравнение Шредингера Стационарные задачи квантовой механики (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 2

е. бу-дем считать, что a1=a2=a3=a.В этом случае энергетический спектр частицы имеет видEn1 ,n2 ,n3 =π 2 !2222n1 + n2 + n3 , n1 ,n2 ,n3 = 1,2,3, ...22m0 a()(13)Энергетические уровни в кубической яме, для которых n1=n2=n3 являются невырожденными, все остальные уровни вырождены.

Вопрос о кратности вырождения энергетических уровней в кубической яме рассмотрен в задаче 3.3. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОРГармоническим осциллятором называется система, способная совершатьгармонические колебания. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, совершающий колебания вдоль оси х под действием возвращающей квазиупругой силы Fx=-kx. Потенциальная энергия такого осциллятора имеет вид(рис.5)2kx 2 m0ω 0 x 2U( x ) =,=22(14)где ω 0 = k m0 −собственная частота классического гармонического осциллятора. Таким образом, квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальнойяме.Рассмотрим сначала поведение классического гармонического осциллятора. Пусть макроскопическая система с энергией E совершает колебания в силовом поле (14) (см.

рис. 5). Точки а0 и -а0, в которых полная энергия частицыравна потенциальной энергии Е=U(x), являются для частицы точками поворота.Частица совершает колебательные движения между стенками потенциальнойямы внутри отрезка [-а0, а0], выйти за пределы которого она не может.

Ампли2Eтуда колебаний а0 определяется выражением a0 =2 .m0ω 0U(x)Ex-a00a0Рис. 5В квантовой механике волновые функции и энергетический спектр гармонического осциллятора находятся из решения уравнения Шредингера:d 2ψ 2m0+ 2!dx 22m0ω 0 x 2 E −2ψ = 0 , −∞ < x < +∞ ,(15)Это уравнение имеет регулярные решения, обращающиеся в нуль на бесконечности, только при значениях полной энергии, равны1E m = !ω 0  n +  , n = 0 ,1, 2 ,3, ...2(16)Энергетический спектр гармонического осциллятора является дискретным исостоит из эквидистантных, т. е. отстоящих друг от друга на одинаковом энергетическом расстоянии (равном !ω 0 ), уровней. Наименьшее значение полной12энергии, равное E0 = !ω 0 называется нулевой энергией осциллятора. Оно соответствует значению квантового числа n=0 и, в соответствии с принципом неопределенностей, отлично от нуля.Волновые функции, описывающие квантовые состояния осциллятора, вобщем случае выражаются через специальные функции матической физикиHn(ξ), которые называются полиномами Чебышева-Эрмита.

Эти волновыефункции имеют вид2(17)ψ ( ξ ) = eξ 2 H ( ξ ),nГде ξ =x, x0 =x0n!, а полином Чебышева - Эрмита n-го порядка Hn(ξ) опm0ω 0ределяется выражением( −1 )nHn(ξ ) =eξ2d n e −ξdξ n2(18)2 n! πНормированные волновые функции для первых трех энергетических уровнейгармонического осциллятора имеют видn1n = 0, ψ0( x ) =n = 1, ψ 1 ( x ) =n = 2, ψ 2( x ) =x012 x018 x0 x2exp  −2π 2 x0 , x22xexp  −2π x0 2 x0 , 4 x2 x22exp− 2 −2xπ  0 2 x0(19) .Графики этих волновых функций представлены на рис.

6. Отрезок [-а0, а0] определяет область, в которой совершал бы колебания классический осциллятор.Ширина этой области оказывается различной для разных значений квантовогочисла п, поскольку энергия осциллятора, а следовательно, и амплитуда его колебании также зависят от п.Ψ(x)Ψ0Ψ1Ψ2x0a0(0)a0(1)a0(2)Рис. 64.ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОРОГ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕРВ предыдущих разделах было рассмотрено движение частицы в ограниченной области пространства - так называемое финитное движение. Перейдемтеперь к анализу случаев, в которых частица, находящаяся в силовых полях,способна уходить на бесконечность, т.

е. приступим к рассмотрению инфинитного движения частицы.Движение частицы в области потенциального порога. Рассмотрим движениечастицы в силовом поле, в котором ее потенциальная энергия U(x) имеет вид0 , x < 0 − область ΙU( x ) = 0 , x > a − область ΙΙ .В этом случае говорят, что частица находится в области потенциального порога. На границе порога, т. е при х=0, потенциальная энергия частицы скачкомменяется на конечную величину U0 (рис. 7). Будем для определенности считать,что частица движется слева направо, т. е. приближается к порогу со стороныотрицательных значений х.U(x)U0Ex0Рис.

7Рассмотрим сначала случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального порога U0, т. е. Е<U0. Такой порог называется высоким потенциальнымпорогом. Обозначим область слева от порога (x<0) цифрой I и все решения дляэтой области будем отмечать индексом 1. Область справа от порога (x>0) обозначим цифрой II, будем отмечать соответствующие ей решения цифрой 2.Решение уравнения Шредингера (3) с учетом непрерывности волновыхфункций и их производных на границе порога имеет видk − ik 2 − ik1 x(20a)ψ 1 ( x ) = e ik1 x + 1e, x < 0,k 1 + ik 22k1(20б)ψ2( x ) =e − k2 x , x > 0k1 + ik 2где2m02m0(21)k1 =E и k2 =( U0 − E )2!!2Отметим, что уравнение Шредингера в данном случае имеет решение при любых значениях коэффициентов k1 и k2,т.е.

при любых значениях энергии Е. Этоозначает, что частица обладает непрерывным энергетическим спектром.Волновые функции ψ1 и ψ2 (20a, б), описывающие состояние частицы вобластях I и II, в случае высокого потенциального порога имеют существенноразличный вид. Первое слагаемое в волновой функции ψ1 представляет собойплоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси х из -∞ к областипорога, т. е.

слева направо. Аналогично, второе слагаемое в ψ1 описывает плоскую дебройлевскую волну, распространяющуюся вдоль оси х в отрицательномнаправлении. В отличие от ψ1(x) волновая функция ψ2(x), характеризующаядвижение частицы в области II, представляет собой затухающую в глубь порогаэкспоненту.Введем коэффициент отражения R, характеризующий вероятность отражения частицы от потенциального порога, и коэффициент прохождения D, определяющий вероятность того, что частица преодолеет потенциальный порог иудалится от него на бесконечно большое расстояние.

Поскольку для потокачастиц, падающих на барьер, коэффициент отражения R определяет относительную долю отраженных частиц, а коэффициент прохождения D - относительную долю частиц, преодолевших потенциальный порог, R и D можно определить через отношение соответствующих потоков вероятности:####"#####"jотрjпрош(22)R = ###" , D = ###"jпадjпад###" ###" #####"где jотр , jпад , jпрош - векторы плотности потока вероятности соответственнодля падающей (первое слагаемое в (20а)), отраженной (второе слагаемое в(20а)) и проходящей (20б) волн. Напомним, что вектор плотности потока веро"ятности j определяется через волновую функцию Ψ следующим образом:"i!ψ ⋅ gradψ * − ψ * ⋅ gradψ  .j=2m 0С учетом вида волновых функций (20а, б) получаем###" !k###" !k k − ik 2 !k#####"11121jпад =, jотр =, jпрош = 0.=m0m0 k1 + ik2m0Таким образом, в случае высокого порога коэффициент отражения R=1,коэффициент прохождения D = 0, и тем самым выполняется условие R+D=1.Рассмотрим теперь случай низкого потенциального порога, когда энергияналетающей частицы Е превышает высоту порога U0, т.

е. Е>U0. Решая уравнение Шредингера, находим волновые функции для областей I и II:k −k(23a)Ψ 1 ( x ) = e ik1 x + 1 2 e − ik1 x ,k1 + k 22k1 ik2 x(23б)e ;Ψ 2( x ) =k1 + k 2здесь k1 и k2 определены соотношениями2m02m0k1 =E и k2 =( E − U 0 ).2!!2Представленные волновые функции описывают падающую на порог волну деБройля (первое слагаемое в (23а)), отраженную волну (второе слагаемое в (23а))и волну, проходящую через порог (23б). Векторы плотности потока вероятности для этих трех волн имеют следующий вид:###" !k###" !k k − k#####" !k2k12jпад = 1 , jотр = 1 1, jпрош = 2.m0m0 k1 + k2m0 k1 + k 2Коэффициент отражения частицы от порога R и коэффициент прохождениячастицы через порог D с учетом соотношений (22), (23) естьk − k2R= 1k1 + k 2D=22 1 − 1 − U0 E = , 1+ 1−U E 01 − U0 E4k1 k2=42( k1 + k 2 )( 1 + 1 − U 0 E )2Таким образом, и в случае низкого порога выполняется соотношениеR+D=1, что естественно ожидать с точки зрения сложения вероятностей: падающая на порог частица либо отразится от него, либо пройдет в область II.Отметим, что классическая частица не может отразиться от низкого порога, в области II меняется лишь ее кинетическая энергия.

Квантовая частица, какпоказывает проведенный анализ, с вероятностью, определяемой коэффициентом отражения R, может отразиться не только от высокого, но и от низкого порога. Физическая причина такого явления заключается в наличии у частицыволновых свойств, благодаря которым частица, как и обычная волна, испытывает отражение от любой неоднородности силового поля.Прохождение частицы через потенциальный барьер. Потенциальнымбарьером называется область пространства, в которой потенциальная энергиячастицы U больше, чем в окружающих областях. Рассмотрим простейший слу-чай одномерного прямоугольного потенциального барьера (рис.

8, а), для которого потенциальная энергия частицы имеет вид0 , x < 0 − область Ι ,U( x ) = U 0 , 0 < x < 0 − область ΙΙ ,0 , x < a − область ΙΙΙ .Будем считать, что частица приближается к барьеру со стороны отрицательныхзначений x,т. е. движется слева направо. Рассмотрим случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера,т. е. будем считать, что Е < U0U(x)U0E0x0aa)U(x)U0E00x1xx2б)Рис.