Принцип суперпозиции в квантовой механике (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями), страница 2

в результате действия оператора F€ собственная функция Ψ n умножаетсяна соответствующее собственное значение f n .Таким образом, собственные функции данной физической величины fтивными пространствами.8являются решениями уравненияF€Ψ = f Ψ ,(13)а собственные значения – значения f , при которых написанное уравнениеимеет решения, удовлетворяющие требуемым условиям.Вид операторов для различных физических величин может быть установлен из физических соображений, а полученное уравнение дает возможность находить собственные функции и собственные значения.Можно показать, что если собственные функции Ψ n оператора F€ нормированы, то система собственных функций Ψ n образует полную системуортонормированных функций, то есть произвольная волновая функция частицы может быть представлена в виде суперпозиции (6) собственных функций Ψ n оператора F€Ψ = ∑ cn Ψ n ,nгде коэффициенты разложения определяются равенствомcn = ∫ Ψ *n ΨdV ,где Ψ n - собственные функции оператора F€ , соответствующего физическойвеличине f .Представляя произвольную волновую функцию в виде разложения (6) ипользуясь равенствами (11)-(13), получаем( )()()f = ∫ Ψ* F€Ψ dV = ∫ ∑ cm* Ψ*m F€ ∑ cn Ψ n dV =mn2= ∫ ∑ cm* cn f n Ψ *m Ψ n dV = ∑ cm* cn f n = ∑ cn f n .m ,nm ,nnТаким образом, физический смысл коэффициентов cn разложения (6)состоит в том, что квадраты их модулей, во-первых, определяют вероятностинахождения частицы с волновой функцией Ψ в состоянии, в котором физическая величина f имеет значение f n , и, во-вторых, вероятности появленияэтих значений при измерении.

Другими словами, измерение физической ве9личины f в состоянии, описываемом волновой функцией (6а) с вероятно2стью cn даст значение f n .Принцип суперпозиции позволяет решать многие задачи квантовой механики и упрощать их решение. В частности, принцип суперпозиции является мощным инструментом построения решений уравнения Шредингера.

Разложение волновых функций состояний частицы по собственным функциямоператоров физических величин даёт возможность представить эти состояния в виде суперпозиции состояний, в которых эти величины имеют определённые значения, т.е. дать их физическую интерпретацию и установить возможные результаты измерения величин и вероятности их появления.2.

Примеры решения задач.Задача 1. Частица массой m находится в одномерной потенциальнойяме шириной a с бесконечно высокими стенками, т.е. в потенциальном полес потенциальной энергией0U =∞0 ≤ x ≤ a,x < 0, x > a.(14)В момент времени t = 0 волновая функция частицы имеет вид Ax ( a − x ) ,Ψ ( x,0) = ψ ( x ) = 0,0 < x < a,x < 0, x > a.(15)Требуется найти волновую функцию частицы Ψ ( x, t ) , возможные результаты измерения энергии частицы и вероятности их появления, а также вероятность обнаружения частицы в основном и в двух первых возбуждённых состояниях.Решение.В нерелятивистской квантовой механике волновые функции, определяющие состояние квантовой частицы (системы), являются решениями уравнения Шредингера10i∂Ψ = H€Ψ ,∂t(16)где H€ - оператор Гамильтона, имеющий для отдельной частицы вид2H€ = −∆ + U (r , t ) ,2m(17)где ∆ - оператор Лапласа, который в прямоугольной декартовой системе координат определяется равенством∂2∂2∂2∆= 2 + 2 + 2,∂x∂y∂z(18)а U ( r , t ) - потенциальная энергия частицы, являющаяся, в общем случае,функцией координат и времени.

В рассматриваемой задаче U ( r , t ) ≡ 0 при0 < x < a и обращается в бесконечность при x < 0 и x > a . Поэтому началь-ное условие (15) должно быть дополнено граничными условиямиΨ ( 0, t ) = Ψ ( a, t ) = 0 ,вытекающими из условия непрерывности волновой функции.Поскольку в рассматриваемой задаче потенциал не зависит от времени,то в потенциальной яме существуют стационарные состояния, то есть состояния, в которых частица определенные значения энергии.

Поэтому, в силупринципа суперпозиции, любая волновая функция, описывающая состояниечастицы в потенциальной яме, может быть разложена по собственным функциям стационарных состояний, то есть по собственным функциям оператораэнергии. Волновые функции стационарных состояний частицы в потенциальной яме имеют видΨ n ( x, t ) = ei− Entψ n ( x) ,(20)где функции ψ n ( x ) являются решениями одномерного стационарного уравнения ШредингераH€ψ n = Enψ n11или∂ 2ψ n 2m+ 2 Enψ n = 0 .∂x 2Решения этого уравнения, удовлетворяющие граничным условиямψ ( 0) =ψ ( a ) = 0(21)и условию нормировкиa∫ ψ ( x ) dx = 12(22)n0имеют вид2π nxsin,aaψ n ( x) =(23)а соответствующие им значения энергии определяются равенствомEn =π 222ma2n2 .(24)Волновые функции (23) ортонормированны, тоaa∫ Ψ Ψ dx = ∫ψ ψ dx = δ*k*kl0lkl,0где δ kl есть символы Кронекера, и образуют полную систему волновыхфункций.Таким образом, согласно принципу суперпозиции, произвольную волновую функцию Ψ ( x, t ) , описывающую состояние частицы в яме, можнопредставить следующим образом∞Ψ ( x, t ) = ∑ cn ei− Entn =1i− Ent2 ∞π nxψ n ( x) =cnesin,∑a n=1a(25)где значения энергии En определены равенствами (24).Чтобы найти коэффициентыcnразложения (25), заметим, что при t = 0волновая функция (25) равна12∞Ψ ( x,0 ) = ψ ( x ) = ∑ cnψ n ( x ) .n =1где функция ψ ( x ) - определяется равенствами (15).Таким образом, коэффициенты cn разложения (25), совпадают с коэффициентами разложения функции ψ ( x ) = Ψ ( x,0 ) по собственным функциямψ n ( x ) оператора Гамильтона (23).Прежде всего, из условия нормировки найдем коэффициент A в равенстве (15)aaA2 a 51 = ∫ψ ( x ) dx = A ∫ x ( a − x ) dx =,30002222откудаA=−30a5/ 2.Знак минус выбран для того, чтобы функция ψ ( x ) = Ψ ( x,0 ) была положительной.Далее, с помощью равенства (9) найдём коэффициентыcnразложения(25),2acn = ∫ ψ n ( x )ψ ( x ) dx = −030a5/ 22a2a∫ ( x − a ) sin0π nx2adx =4 15 (1 − cos π n ).π 3n3Из полученной формулы следует, чтоn = 2k ,0,cn =  8 15 3 3 , n = 2k + 1,π nто есть в разложении (25) присутствуют волновые функции только нечетныхэнергетических уровней стационарных состояний.Таким образом, волновая функция Ψ ( x, t ) может быть представлена ввиде следующей суперпозиции волновых функций стационарных состояний13ii− E2 k +1t− E2 k +1t2k + 1) π x 8 30 ∞(8 30 ∞11Ψ ( x, t ) = 3= 3esineψ 2 k +1 ,∑∑33aπ a k =0 ( 2k + 1)π a k =0 ( 2k + 1)откуда следует, что измерение энергии частицы с вероятностьюP2 k +1 = c22k +1 =960π ( 2k + 1) 6даст значениеE2 k +1 =π 222ma2( 2k + 1)2,где k = 0, 1, 2, ...

. В частности, вероятность обнаружения частицы в основномсостоянии ( k = 0, n = 1) равна P1 = 0.998555 , в первом возбуждённом состоянии (n = 2) - P2 = 0 , а во втором возбуждённом состоянии( k = 1, n = 3)-P3 = 0.0014 .Задача 2. В момент времени t = t0 волновая функция частицы массой mв одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками равнаΨ ( x,0 ) = ψ ( x) = A sin3π xπxπxcos cos.2ll2l(26)Написать выражение для волновой функции частицы Ψ ( x, t ) , найтисреднюю энергию частицы и вероятность её обнаружения в первом возбуждённом состоянии.

Является ли состояние частицы стационарным?Решение. Как и при решении задачи 1, будем искать решение в видеразложения вида (25). С этой целью, пользуясь известными тригонометрическими формулами1cos α ⋅ cos β = cos (α + β ) + cos (α − β ) 2(27)1sin α ⋅ cos β = sin (α + β ) + sin (α − β )  ,2(28)и14преобразуем заданную волновую функцию ψ ( x ) к виду:A  3π x2π xπxsinsinsin++.4 lll ψ ( x) =Постоянный множитель A находим из условия нормировки:l1 = ∫ ψ ( x)02lA2  2 3π xA2 3l2 2π x2 πx+ sin+ sindx = ∫ sindx =,16 0 lll 16 2откудаA=423lЗдесь мы учли свойство ортогональности тригонометрических функций, состоящее в том, что при любых целых значениях k и n справедливо равенство:l0 k ≠ n,2π kx π nxδsinsindx==knl ∫0ll1 k = n.(29)Таким образом, функция ψ ( x ) принимает следующий окончательный видψ ( x) =где ψ n ( x ) =πx 12  3π x2π x+ sin+ sinψ 1 ( x ) + ψ 2 ( x ) + ψ 3 ( x )  , sin=3l lll 32π nxsin- волновые функции стационарных состояний.llВ силу ортонормированности волновых функций ψ n , вероятность обнаружения частицы в состоянии с волновой функцией ψ n равна квадрату коэффициента при ψ n .

Поскольку коэффициенты разложения волновой функции ψ по волновым функциям ψ n стационарных состояний совпадают, тосостояние частицы в яме представляет собой равновероятную суперпозициюосновного ( n = 1 ) и двух первых возбужденных состояний ( n = 2, 3 ). Вероятность обнаружения частицы в каждом из этих состояний одинакова и равна1Pn = P = .315(30)Далее, учитывая, что волновая функция стационарного состояния равнаΨ n ( x, t ) = eгде En =i− Entψ n ( x) ,π 22 2n - энергия состояния, m - масса частицы, получим оконча2ml 2тельное выражение для волновой функции Ψ ( x, t ) :ii− E2t− E3t1  − i E1tΨ ( x, t ) =e ψ 1 ( x ) + e ψ 2 ( x ) + e ψ 3 ( x )  .3(31)Таким образом, при измерении энергии частицы с вероятностью 1/ 3может быть получено одно из значений En (n = 1, 2, 3) .

Поэтому среднее значение энергии равно11 π 22 213 π 2 222E = ( E1 + E2 + E3 ) =(1 + 2 + 3 ) = 3 2ml 2 .33 2ml 2(32)Поскольку в рассматриваемом состоянии энергия частицы не имеет определенного значения, то состояние частицы не является стационарным.Равенства (30)-(32) дают полное решение задачи.Задача 3. Определить результаты измерения проекции импульса Lz ивероятности их выпадения для системы, находящейся в состоянии с волновой функциейψ (ϕ ) = A (1 + cos ϕ ⋅ cos 2ϕ ) ,(33)где ϕ - азимутальный угол, A - некоторая константа.Решение.