Принцип суперпозиции в квантовой механике (Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова - Сборник задач по курсу физики с решениями)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаМетодические указанияМ.Ю. КонстантиновРешению задач по курсу общей физикиРаздел: «Принцип суперпозиции в квантовой механике»Под редакцией Е.В. СмирноваИздательство МГТУ им. Н.Э.

БауманаРецензент: П.Н. АнтонюкКонстантинов М.Ю.Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Раздел: «Принцип суперпозиции в квантовой механике» / Под ред. Е.В. Смирнова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. БауманаДан краткий обзор основных понятий и соотношений теории, необходимых для решения задач по разделу «Принцип суперпозиции в квантовоймеханике». Изложена методика решения типовых задач.

Приведены задачидля самостоятельного решения.Для студентов II курса всех специальностей.21. Принцип суперпозиции в квантовой механикеОбсуждаемый в настоящем пособии принцип суперпозиции являетсяодним из основных принципов квантовой механики и связан с особенностями описания квантовых частиц и систем.

Напомним, что в квантовой механике не существует понятия траектории частицы. Вместо него вводится понятие состояния, которое описывается волновой функцией Ψ ( r , t ) , квадратмодуля которой определяет плотность вероятности нахождения частицы вточке с радиус-вектором r . То есть величина Ψ 2 dV есть вероятность того,что частица находится в элементе объема dV . Поскольку вероятность нахождения частицы во всём пространстве равна единице, то должно выполняться условие нормировки*∫ Ψ ΨdV = 1,(1)где интегрирование ведётся по всей области, где может быть локализованачастица, а символ « * » означает комплексное сопряжение.Волновые функции, удовлетворяющие условию (1), называются нормированными1.Использование для описания квантовых частиц и систем волновойфункции Ψ ( r , t ) , вместо имеющего физический смысл квадрата ее модуля,связано с выполнением принципа суперпозиции состояний, который формулируется следующим образом: суперпозиция состояний квантовомеханической системы также является состоянием этой же системы.Это означает, что если Ψ1 и Ψ 2 - нормированные волновые функции,описывающие разные состояния одной и той же частицы или системы, толинейная комбинация этих функций, то есть волновой функциейΨ = c1Ψ1 + c2 Ψ 2 ,1(2)В некоторых случаях, например, в случае инфинитного движения, вместо условия (1) используется нормировка на δ -функцию, либо ненормированные волновые функции.

Эти случаи здесь не рассматриваются.3тоже является волновой функцией, описывающей некоторое состояние тойже самой частицы которое называется суперпозицией состояний, описываемых волновыми функциями Ψ1 и Ψ 2 . Например, волновая функцияΨ ( x, t ) = c1e−i( E1t − p1x )+ c2e−i( E2t + p2 x )является суперпозицией двух плоских волн де Бройля, распространяющихсявдоль оси x во взаимно противоположных направлениях.Из условия нормировки волновой функции Ψ вытекает условие, которому должны удовлетворять коэффициенты c1 и c2 :c1*c1 + c2*c2 + c2*c1 ∫ Ψ *2 Ψ1dV + c1*c2 ∫ Ψ1*Ψ 2 dV = 1 ,(3)причем в общем случае состояния, описываемые волновыми функциями Ψ1и Ψ 2 не ортогональны, то есть*∫ Ψ 2 Ψ1dV ≠ 0 .При этом коэффициенты c1 и c2 в разложении (2) не имеют определённогофизического смысла.

В важном частном случае, когда состояния, описываемые волновыми функциями Ψ1 и Ψ 2 , ортогональны, а сами волновыефункции Ψ1 и Ψ 2 , соответствующие этим состояниям, ортонормированны,то есть удовлетворяют условиям**∫ Ψ1 Ψ1dV = ∫ Ψ 2 Ψ 2 dV = 1;**∫ Ψ 2 Ψ1dV = ∫ Ψ1 Ψ 2 dV = 0 ,то коэффициенты c1 и c2 приобретают простой физический смысл.

Действительно, умножая в этом случае равенствоΨ = c1Ψ1 + c2 Ψ 2слева на Ψ *i , и произведя интегрирование, получим:2****∫ Ψ i ΨdV = ci ci ∫ Ψ i Ψ i dV = ci ci = ci , i = 1, 2 .(4)Поэтому условие нормировки (1) примет вид22c1 + c2 = 1 ,а коэффициенты c1 и c2 разложения (2) выражаются равенством4(5)ci = ∫ Ψ *i ΨdV ,i = 1, 2 .Учитывая вероятностную интерпретацию волновой функции, приходимк следующему выводу: в случае ортонормированных волновых функций Ψ1и Ψ 2 , квадрат модуля коэффициента ci есть вероятность того, что частица,находящаяся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ , будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ i .Соотношения, аналогичные соотношениям (2)-(5) для двух состояний,справедливы и для произвольного числа состояний N , включая случайN →∞:NΨ = ∑ ci Ψ i ,(6)i =1где Ψ i нормированные волновые функции, описывающие различные состояния частицы, а условие нормировки (3) примет видN N**∑ ∑ ci ck ∫ Ψ i Ψ k dV = 1.(7)i =1 k =1Если система волновых функций Ψ i ортонормированна, то есть если1, npu m = n,**∫ Ψ m Ψ n dV = δ mn = 0, npu m ≠ n,(8)то коэффициенты ci разложения (6) определяются равенствамиcn = ∫ Ψ *n ΨdV ,а квадраты их модулей cn2(9)определяют вероятности обнаружения частицы,находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ , в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ n .Принцип суперпозиции позволяет ввести понятие независимости состояний: состояния частицы называются независимыми, если описывающаяих система волновых функций Ψ1 , Ψ 2 ,…, Ψ N является независимой, то есть,если равенство5N∑ ci Ψ i = 0(10)i =1выполняется в том и только в том случае, когда все коэффициенты ci равнынулю, или, другими словами, если ни одна из волновых функцийΨ1 , Ψ 2 ,…, Ψ N не является линейной комбинацией остальных.Соотношения (9)-(10) аналогичны соответствующим равенствам длявекторов конечномерного евклидова пространства.

Поэтому, множество состояний квантовой частицы можно рассматривать как векторное пространство (в общем случае бесконечномерное), элементами (векторами) которогоявляются нормированные волновые функции, а скалярное произведение определяется интегралом( Ψ i , Ψ k ) = ∫ Ψ*i Ψ k dV .(11)Вместе с тем, имеется одно принципиальное отличие пространства волновых функций от обычного векторного пространства, благодаря которомупринцип суперпозиции квантовой механики существенным образом отличается от принципа суперпозиции классической физики.

А именно, в случаеобычных векторных пространств, умножение произвольного ненулевого век тора u на число α ≠ 1 даёт новый вектор α u ≠ u . Например, если r - радиусвектор, определяющий положение частицы, то векторы r и α r , гдеα = const ≠ 1 , определяют разные положения частицы, то есть разные её состояния.

Аналогично, векторы напряжённости E , α E и α E + β E = (α + β ) Eхарактеризуют разные электростатические поля или разные состояния электростатического поля.В квантовой механике, в отличие от классической, волновые функцииΨ ( x, t ) и αΨ ( x, t ) характеризуют одно и то же состояние частицы илисистемы. Поэтому множество волновых функций разбивается на классы эк-6вивалентности, образованные волновыми функциями вида αΨ , где α ∈» ,» - множество комплексных чисел2.Из принципа суперпозиции следует, что все уравнения, описывающиесостояние квантовых частиц или систем должны быть линейными. Обратноеневерно, поскольку не любое решение уравнения Шредингера описывает какое-либо состояние квантовой частицы или системы частиц. Например, есливолновые функции Ψ1 ( x1 , t ) и Ψ 2 ( x2 , t ) описывают состояния двух тождественныхчастиц(например,двухэлектронов),тофункцияΨ = Ψ1 ( x1 , t ) Ψ 2 ( x2 , t ) является решением уравнения Шредингера для двухневзаимодействующих тождественных частиц, но не описывает какого-либосостояния системы этих частиц.

Действительно, системы частиц описываются либо симметричными (бозоны), либо антисимметричными функциями(фермионы), тогда как функция Ψ не является ни симметричной, ни антисимметричной.Одним из экспериментальных подтверждений справедливости принципасуперпозиции являются опыты по дифракции частиц.Для того чтобы иметь возможность применять принцип суперпозиции кконкретным физическим задачам, необходимо иметь возможность находитьполные системы ортонормальных волновых функций (состояний), по которым будет раскладываться исследуемая волновая функция.Напомним, что система волновых функций Ψ1 , Ψ 2 , ..., Ψ n , ...

называетсяполной, если произвольная волновая функция частицы Ψ может быть представлена в виде суперпозиции вида (6) волновых функций данной системы.Построение полных систем ортонормированных волновых функций основано на одном из принципов квантовой механики, сформулированном вработах М. Борна, П. Дирака и других учёных, утверждающем, что каждойфизической величине f соответствует оператор этой физической ве2В математике пространства, элементы которых u и α u при u ≠ 0, α ≠1 эквивалентны, называются проек-7личины, обозначаемый F€ и переводящий волновую функцию Ψ в волновую( )функцию F€Ψ .Оператор F€ определяется так, чтобы среднее значение f физическойвеличины f выражалось равенством( )f = ∫ Ψ * F€Ψ dV .(12)Линейность этого выражения как по Ψ , так и по Ψ * означает, что сам оператор F€ должен быть линейным, то естьF€ ( c1Ψ1 + c2 Ψ 2 ) = c1F€Ψ1 + c2 F€Ψ 2 ,где Ψ1 и Ψ 2 - произвольные функции, а c1 и c2 - некоторые постоянные.Ограничимся, для простоты, случаем, когда величина f имеет дискретный спектр, то есть когда она может принимать конечное или счетноемножество значений f1 , f 2 , ..., f n , ...

, называемых собственными значениямифизической величины f . Обозначим волновую функцию частицы в состоянии, в котором f = f n посредством Ψ n . Волновые функции Ψ n называютсясобственными функциями физической величины f .Если волновой функцией Ψ является одна из собственных функций Ψ n ,то среднее значение f величины f совпадает со значением f n , которое величина f имеет в этом состоянии()f = ∫ Ψ *n F€Ψ n dV = f n .Из этого равенства следуетF€Ψ n = f n Ψ n ,т.е.