Семестр_4_Лекция_03_04 (Отличные лекции от Семиколенова), страница 2

В квантовой механике же нулевая амплитуда соответствует отсутствию частицы вданном состоянии.Для того чтобы определить какую-либо физическую величину, описывающее состояниечастицы, надо осуществить некие математические операции над волновой функцией, соответствующей данному состоянию, и проанализировать полученные результаты.3Семестр 4. Лекции 3-4.Процесс определения значения какой-либо физической величины А в соответствующемсостоянии частицы, по своей сути является процессом измерения данной физической величины,изменяющим состояние частицы.

Поэтому в результате измерения должна измениться волноваяфункция данного состояния. Таким образом, процесс измерения следует описывать правилом,по которому меняется волновая функция, т.е. следует задать соответствующую «функцию отфункции» или оператор физической величины Â , сопоставляющий волновой функции одногоɶ . Математически процесс измерениясостояния Ψ волновую функцию другого состояния Ψɶ .

Принцип суперпозиции требует, чтобы этот оператор был линейможно записать так ÂΨ = Ψˆ (c Ψ + c Ψ ) = c Aˆˆным, т.е. A1 1221 Ψ1 + c2 AΨ 2 .Допустим, что при измерении некоторой физической величины в состоянии с волновойфункцией Ψ1 получается одно значение А1, а в состоянии с Ψ2 – другое А2. Какое значение получится при измерении в состоянии, являющимся суперпозицией этих состоянийΨ3=с1Ψ1+с2Ψ2?Процесс измерения любой физической величины носит вероятностный характер. Т.е. тотили иной результат измерения можно получить с какой-то определённой вероятностью. Это означает, что при однократных измерениях мы будем получать значения А1 или А2 с некоторыми,вообще говоря, разными вероятностями р1 и р2 .Замечание. Состояние, которое можно описать волновой функцией принято называть чистымсостоянием.

В обратном случае, состояния называются смешанными.Требования, чтобы измерения сводились к операциям над волновыми функциями, приводит к условию, налагаемому на математическое выражение для волновой функции – онадолжна быть функцией, принимающей значения в комплексном пространстве. Поэтому длянеё справедливы все операции над комплексными числами.Математическое отступление.Напомним, что символом i обозначается такое комплексное число, что i 2 = −1 .Любое комплексное число z может представлено в виде z = x + i ⋅ y , где x и y – вещественныечисла.

При этом число x называется вещественной частью числа z и обозначается x = Re ( z ) , ачисло y называется мнимой частью числа z и обозначается y = Im ( z ) .Число z* является комплексно сопряжённым числу z = x + i ⋅ y , если z* = x − i ⋅ y .В частности i* = −i . Для вещественного числа z* = z .Сумма двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равнаz1 + z2 = x1 + x2 + i ( y1 + y2 ) .Произведение двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 равноz1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 ) ⋅ ( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + iy1 ⋅ iy2 = x1 x2 − y1 y2 + i ( x1 y2 + y1 x2 )и не зависит от порядка сомножителей.В частности, z ⋅ z* = x 2 + y 2 = z* ⋅ z .Величина z = x 2 + y 2 называется модулем комплексного числа z = x + i ⋅ y .Т.е. z ⋅ z* = z* ⋅ z = z .

Кроме того, z = z* .2Для того чтобы разделить одно комплексное число z1 = x1 + iy1 на другое z2 = x2 + iy2 надо знаменатель и числитель дроби умножить на комплексно сопряжённое число к знаменателюz1 z1 z2* z1 z2*1==. В частности, = −i .2*z2 z2 z 2iz22zxyzДля числа= +iможно записатьzzzz4=x2z2+y2z2= 1.Семестр 4. Лекции 3-4.Следовательно, существует такой угол ϕ, чтоxy= cos ϕ ,= sin ϕ . Тогда комплексное числоzzz = x + i ⋅ y можно записать в виде z = z ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) .Соотношение Эйлера eiϕ = cos ϕ + i ⋅ sin ϕ можно получить следующим образом.

Обозначим f ( ϕ ) = cos ϕ + i ⋅ sin ϕ . Тогда справедливо соотношениеf ′ ( ϕ ) = − sin ϕ + i ⋅ cos ϕ = i ⋅ ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) = i ⋅ f .Решением этого дифференциального уравнения, с учётом условия f ( 0 ) = 1 , является функцияf ( ϕ ) = eiϕ , поэтому eiϕ = cos ϕ + i ⋅ sin ϕ . Это соотношение позволяет привести ещё более корот-кую запись для комплексного числа z = z eiϕ .С учётом такой формы записи получаем, что z* = z e − iϕ , z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2 e (i ϕ1 +ϕ2 )( z1 ⋅ z2 )*(= ( z1 eiϕ1 ⋅ z2 eiϕ2 ) = z1 ⋅ z2 e (*i ϕ1 +ϕ2 ))*= z1 ⋅ z2 e− i ( ϕ1 +ϕ2 ), z ⋅ z* = z .2= z1 e − iϕ1 ⋅ z2 e − iϕ2 = z1* ⋅ z2* .Возведение комплексного числа в степень z n = z einϕ .nИзвлечение корня n-й степениnz=nz ⋅eiϕ+ 2 πkn(где k=0, , n−1) даёт n корней.Замечание. eiϕ = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 .Статистический смысл волновой функции.Макс Борн предложил следующий смысл волновой функции: dP - вероятность того , чточастица находится в некоторой малой области пространства, объём которой dV, определяетсяравенствомdP = Ψ ⋅ dVт.е.

квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности нахождения частицы вdP2некоторой области пространства= Ψ . Поэтому для нахождения вероятности того, чтоdV2частица находится в некоторой области V надо вычислить интеграл P (V ) = ∫ Ψ dV .2VСледовательно, если частица не может находиться в области V, то P (V ) = ∫ Ψ dV = 0 .2VТ.к. Ψ ≥ 0 , то это равенство возможно при Ψ = 0 , т.е. Ψ = 0 в этой области V.2Если частица обязательно находится в области V, то P (V ) = ∫ Ψ dV = 1 .2VСледовательно, квадрат модуля волновой функции должен быть интегрируемой функцией поэтой области.Замечание.

Вероятность того, что частица находится в какой-то определённой точке, равна нулю, т.к. в этом случае объем соответствующей области нулевой.Уравнение Шрёдингера.Волновая функция должна являться решением уравнения Шрёдингера∂Ψℏ2iℏ=−∆Ψ + U ⋅ Ψ∂t2mгде m – масса частицы, U – действительная функция координат и времени, такая, что вектор− gradU является классическим аналогом силы, действующей на частицу. В случае, когда U независит от времени, она совпадает с потенциальной энергией.5Семестр 4. Лекции 3-4.∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ++- результат действия на функцию Ψ оператора Лапласа.∂x 2 ∂y 2 ∂z 2Следовательно, волновая функция должна быть непрерывно-дифференцируемой один раз повремени и два раза по пространственным координатам.∂Ψℏ2Уравнение iℏ=−∆Ψ + U ⋅ Ψ носит название (временного) уравнения Шрёдингера∂t2mпо имени немецкого физика Эрвина Шрёдингера, предложившего его в 1926 году.Уравнение Шрёдингера является одним из постулатов (аксиом) квантовой механики и играет в атомной физике такую же фундаментальную роль, как уравнения Ньютонав классической механике и уравнения Максвелла в классической электродинамике.Уравнение Шрёдингера является линейным, т.е.

линейная комбинация решений тоже является решением. Действительно, если каждая из функций Ψ1 и Ψ2 является решением, то ихлинейная комбинация Ψ3=с1Ψ1+с2Ψ2 (где с1 и с2 – некоторые константы) тоже является решени∂Ψ 3ℏ2ем, т.к. уравнение iℏ=−∆Ψ 3 + U ⋅ Ψ 3 в силу равенств∂t2m∂ ( c1Ψ1 + c2 Ψ 2 )ℏ2iℏ=−∆ ( c1Ψ1 + c2 Ψ 2 ) + U ⋅ ( c1Ψ1 + c2 Ψ 2 )∂t2m∂Ψ∂Ψ 2ℏ2ℏ2или c1iℏ 1 + c2iℏ= −c1∆Ψ1 + c1U ⋅ Ψ1 − c2∆Ψ 2 + c2U ⋅ Ψ 2∂t∂t2m2mявляется линейной комбинацией уравнений∂Ψ1ℏ2∂Ψ 2ℏ2iℏ=−∆Ψ1 + U ⋅ Ψ1 и iℏ=−∆Ψ 2 + U ⋅ Ψ 2 .∂t2m∂t2mСледовательно, принцип суперпозиции состояний не противоречит уравнению Шрёдингера.Замечание. Сопряжённое уравнение Шрёдингера для волновой функции имеет вид∆Ψ =*2∂Ψ*ℏ2 ∂Ψ   ℏ∆Ψ + U ⋅ Ψ  или −iℏ=−∆Ψ* + U ⋅ Ψ* . iℏ = −∂t2m ∂t   2mПример.

Найдем волновую функцию для свободно движущейся частицы в одномерной области(волны де Бройля). В этом случае U=0, поэтому уравнение Шрёдингера принимает вид∂Ψℏ2iℏ=−∆Ψ .∂t2m∂Ψℏ2 ∂ 2ΨПусть частица движется вдоль оси Х, тогда получаем соотношение iℏ=−.∂t2m ∂x 2Решение этого уравнения ищем в виде плоской волны (С=const)i kx −ωt )Ψ = C ⋅e (= C ⋅ ( cos ( kx − ωt ) + i sin ( kx − ωt ) ) .После подстановки в уравнение выражений для производных∂Ψ ∂  i( kx −ωt ) ∂ 2 Ψ ∂ 2  i( kx −ωt ) i ( kx −ωt )i kx −ωt )= Ce=−iωCe,= 2 Ce= − k 2Ce (2∂t ∂t∂x∂x2ℏi kx −ωt )получаем равенство iℏ −iωCei( kx −ωt ) = −− k 2Ce (.2mℏ2 2После сокращений остаётся ℏω =k .

Если по аналогии с фотоном свободной частице при2mписать энергию E = ℏω и импульс p = ℏk , то получим классическое соотношение между кине*{}тической энергией и импульсом E =6{p2.2m}Семестр 4. Лекции 3-4.Рассмотрим решение типа плоской волны для частицы, которая движется в одномернойi kx −ωt )области, в которой U(x) не зависит от времени. Т.к.

в этом случае Ψ = Ce (и уравнение22∂Ψℏ ∂ΨШрёдингера имеет вид iℏ=−+ U ⋅ Ψ , то после подстановки функции в уравнение∂t2m ∂x 2получаем равенствоℏ2iℏ −iωCei( kx −ωt ) = −− k 2Cei( kx −ωt ) + U ⋅ Cei( kx −ωt ) .2m2 2ℏkПолучаем соотношение ℏω =+ U , которое можно трактовать как определение механиче2mской энергии в классической физике E = EK + U .♣Замечание. Для свободной частицы квадрат модуля волновой функции равен{}Ψ = Ce (i kx −ωt )22=C{2}( cos ( kx − ωt ) + sin ( kx − ωt ) ) = C222.bПоэтому интеграл P ( a < x < b ) = ∫ Ψ dx = C ⋅ ( b − a ) имеет смысл только для ограниченной22aобласти.Условие нормировки.Уравнение Шрёдингера линейное, поэтому если решением является функция Ψ, то решением является также и функция Ψ1 = с ⋅ Ψ , где с=const.