Семестр_4_Лекция_03_04 (Отличные лекции от Семиколенова)

Семестр 4. Лекции 3-4.Лекции 3 - 4. Волновые свойства микрочастиц.Гипотеза де Бройля. Дифракция микрочастиц. Принцип неопределенности Гейзенберга. Заданиесостояния микрочастицы. Волновая функция, ее статистический смысл и условия, которымона должна удовлетворять. Принцип суперпозиции квантовых состояний. Общее уравнениеШредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.Гипотеза де БройляВ 1924 году французский физик Луи де Бройль высказал гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм характерен не только для фотонов, но и вообще для всех частиц (электронов, протонов, атомов и так далее)Каждой частице, обладающей импульсом p можно сопоставить волну, длина которойhλ = , где h – постоянная Планка.

Эти волны получили название волн де Бройля.pВ 1927 году американские учёные Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер провели опыт попроверке гипотезы.Опыт Дэвиссона-Джермера.Они исследовали дифракцию электронов при отражении от монокристалла никеля.Пучок монохроматических электронов (т.е. электронов содинаковой кинетической энергией) из электронной пушки падал наϕшлифованную поверхность кристалла никеля, структура которогобыла хорошо известна из данных рентгеноструктурного анализа.Рассеянные от кристалла электроны улавливались специальнымэлектродом, присоединенным к чувствительному гальванометру.Приемник электронов мог перемещаться так, чтобы улавливатьэлектроны, рассеиваемые под различными углами ϕ.

Интенсивностьотражённого пучка оценивалась по силе тока.Если длина волны де Бройля будет меньше размера решётки,то должна наблюдаться дифракционная картина, аналогичная картине при дифракции рентгеновских лучей на кристалле никеля.Максимум при отражении от какой-то системы главных атомных плоскостей определяетсяформулой Вульфа-Брэггов 2d sin θ = n ⋅ λ . Результаты опыта полностью подтвердили гипотезуде Бройля.В 1927 году Петр Саввич Тартаковский , а в 1928 году английский физик Дж.

Томсон(сын Дж. Томсона, открывшего электрон) получили новое подтверждение гипотезы де Бройля.В своих экспериментах Тартаковский наблюдал дифракционную картину при прохождениимедленных электронов через поликристаллы никеля,а Томсон наблюдал дифракционную картину, возниФольгакающую при прохождении пучка электронов черезтонкую поликристаллическую фольгу из золота.пучок электроновВпоследствии дифракционные явления былиобнаружены также длянейтронов, протонов,атомных и молекулярных пучков. Экспериментальное доказательФопластинкаство наличия волновыхсвойств микрочастиц привело к выводу о том, что это универсальное явление природы, общее свойство материи. Следовательно,волновые свойства должны быть присущи и макроскопическимДифракция электротелам. Однако вследствие большой массы макроскопических телнов на серебрянойих волновые свойства не могут быть обнаружены экспериментальфольгено.

Например, песчинке массой 0,1 г, движущийся со скоростью1Семестр 4. Лекции 3-4.0,1 м/с соответствует волна де Бройля с длиной порядка 10–30 м, т. е. приблизительно на 20 порядков меньше размеров атомов. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области. Этот пример показывает, что макроскопические тела могут проявлять только корпускулярные свойства.Таким образом, учёт волновых свойств частиц необходим в случае, когда характерныйразмер задачи сопоставим с длиной волны де Бройля.∆xПринцип неопределённости Гейзенберга.Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является однимиз фундаментальных принципов квантовой механики.В классической физике погрешности измерения параметров частицы обусловлены толькоточностью измерений.

И если физические величины являются независимыми друг от друга, топогрешности их измерений тоже являются независимыми. При указании значений измереннойфизической величины приводится доверительный интервал, в котором она принимает значенияс некоторой вероятностью.

Полуширина этого доверительного интервала пропорциональнасреднеквадратичному отклонению.Оказывается, что учёт волновых свойств частиц накладывает принципиальные ограничения на точность измерения физических величин. Эти ограничения не свяXзаны с погрешностями измерений, а являются следствиями корпускулярноϕволнового дуализма частиц.Рассмотрим дифракцию частицы на щели. Частица движется поλнормали к экрану с щелью, поэтому её вектор импульса направлен перпендикулярно к экрану. Если вдоль экрана, перпендикулярно щели направитьось Х, то можно сказать, что до щели у частицы был нулевой импульсвдоль оси Х.

Пусть ширина щели равна ∆x. После дифракции на щели частицы как волны де Бройля положение первого минимума дифракционной картины задаётся величиной угла ϕ, где ∆x ⋅ sin ϕ = λ . Т.е. можно сказать, что после щели у частицы появится дополнительный импульс вдоль оси Х ∆px , что приведёт к отклонению частицы от направления∆pпервоначального движения.

При этом tg ϕ = x . Т.к. величина угла ϕ мала, тоp∆pxλh= tg ϕ ≈ sin ϕ =. Но λ = , поэтому получаем, что ∆px ⋅ ∆x = h . Это равенство можноp∆xpтрактовать следующим образом – при более точном определении положения частицы на оси Х( ∆x → 0 ) мы получаем большую погрешность в определении импульса вдоль этой оси( ∆px → ∞ ).Этот факт отражает принцип неопределённости – в природе не существует состояниячастицы с точно определёнными значениями координаты и проекции импульса на эту ось. Таким образом, понятие траектории частицы в микромире теряет смысл.Измерение величины одного параметра приводит к изменению величины какого-то другого параметра, следовательно, появляется неопределённость этого параметра.

Чтобы отразитьэтот факт, принцип неопределённости можно сформулировать следующим образом – любоеизмерение состояния системы приводит к изменению этого состояния.Математическим выражением термина неопределённость физической величины являетсясреднеквадратичное отклонение значения этой величины, получаемое в процессе наблюденияза частицей (системой). Это среднеквадратичное отклонение физической величины А принятообозначать ∆А.Две физические величины называются канонически сопряженными, если для них можнозаписать соотношение неопределённости Гейзенберга.

Например, координата частицы и им-2Семестр 4. Лекции 3-4.пульс вдоль этой координаты являются канонически сопряженными. Тогда для них можно заℏℏℏписать ∆px ⋅ ∆x ≥ , аналогично ∆p y ⋅ ∆y ≥ и ∆pz ⋅ ∆z ≥ .222В любом состоянии частицы нельзя одновременно как угодно точно измерить импульс икоординату частицы вдоль одной оси.Замечание. В этих соотношение неравенство надо понимать как оценочное, т.к. при расчётахполучаются оценки по порядку величин.Но координата и импульс вдоль другой координаты не являются сопряжёнными величинами. Например ∆px ⋅ ∆y = 0 - т.е.

эти величины могут быть измерены одновременно как угодноточно.ℏСуществуют и другие сопряжённые величины. Например, энергия и время ∆E ⋅ ∆t ≥ ,2где ∆Е – неопределённость значения энергии, ∆t – неопределённость интервала времени, в течение которого проводились наблюдения за значением энергии.Отсюда, в частности, следует оценка времени пребывания системы в нестабильном соℏстоянии с «избыточным» значением энергии τ ∼.∆EИ, наоборот, если неопределенность времени наблюдения за состоянием системы равнаℏ∆t , то в этом состоянии неопределенность энергии ∆E ∼.∆tЗамечание.

В случае, когда длина волны де Бройля λ значительно меньше характерного размераλзадачи L можно пользоваться законами классической физики. Действительно, если << 1 , т.е.Lh2πℏℏ=<< 1 , то, считая, что ∆px = p и применяя соотношение неопределённости ∆x =,2ppL pL∆xполучаем оценку погрешности<< 1 .LВ итоге, можно сказать, что при учёте волновых свойств частицы теряет смысл не толькопонятие траектории, но и деление энергии частицы на потенциальную и кинетическую.

Ибо потенциальная энергия зависит от координаты, а кинетическая от импульса.Равенство Е=Ек+Епот выполняется только для средних значений энергийВолновая функцияСостояние микрочастицы, характеристики её движения, взаимодействия с другими частицами и т.д. полностью задаётся функцией, которую называют волновой функцией и обозначают Ψ (пси-функция).Принцип суперпозиции состояний.

Если частица может находиться в одном состоянии иможет находиться в другом состоянии, то она может находиться и в состоянии, являющимсясуперпозицией этих состояний. Это означает, что если первое состояние описывается волновойфункцией Ψ1, а второе Ψ2, то состояние, являющееся суперпозицией состояний описываетсяволновой функцией, являющейся их линейной комбинацией Ψ3=с1Ψ1+с2Ψ2, где с1 и с2 – некоторые константы.Суперпозиция состояний в квантовой механике отличается от состояний от суперпозиции колебаний в классической физике. В классической физике суперпозиция колебаний приводит к новому колебаний с большей или меньшей амплитудой. Возможнее даже случай нулевойамплитуды.