Семестр_4_Лекции_05_06 (1001742)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семестр 4. Лекции 5-6.Лекции 5 - 6. Стационарные задачи квантовой механики.Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Частица в трехмерномпрямоугольном потенциальном ящике. Понятие о вырождении энергетических уровней. Одномерный потенциальный порог и барьер. Туннельный эффект. Сканирующий туннельный микроскоп. Гармонический осциллятор.Задача о бесконечно глубокой потенциальной яме.Частица массы m находится в ограниченной одномерной области, за пределы которойона проникнуть не может. Внутри области нет потенциальной энергии (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области начастицу действует бесконечно большая возвращающая сила.

(Говорят, что стенки ямы непроницаемые для частицы – т.е. частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме).Математическая постановка задачиОбласть Ω = { x ∈ ℝ 0 < x < a} .UU0, x ∈ ΩПотенциальная энергия U ( x ) = +∞ , x ∉ ΩТ.к. частица не может выйти из ямы, то волновая функция частицы вне ямы равна нулю Ψ ( x ) = 0 при x ∉ Ω .Следовательно, ввиду непрерывности волновой функxции, на границе ямы волновая функция должна обращаться в0aноль Ψ ( 0 ) = 0 и Ψ ( a ) = 0 .Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в ноль в граничных точкахψ ( 0) = 0 и ψ ( a ) = 0 .Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со2mстояния ∆ψ + 2 ( E − U ) ⋅ ψ = 0 , которое в одномерном случае для области внутри ямы приметℏвидd 2 ψ 2m+E ⋅ψ = 0.dx 2 ℏ 22md 2ψЕсли ввести обозначение k 2 = 2 E , то уравнение+ k 2 ⋅ ψ = 0 имеет решение в видеℏdx 2ψ = A ⋅ sin ( kx + α ) .

Для поиска значений постоянных А и α поставляем граничные условия.ψ ( 0 ) = A ⋅ sin ( α ) = 0 откуда следует, что можно принять α = 0 .ψ ( a ) = A ⋅ sin ( ka ) = 0 . Это значит, что ka = nπ , где n = 1, 2 ,3,... , т.е. k =nπa nπ Поэтому решение примет вид ψ = A ⋅ sin x . a aДля поиска значения А используем условие нормировки P ( 0 < x < a ) = ∫ ψ dx = 120Ноa∫ψ0a2dx = ∫0 2nπ a1 − cos x22A Aa22a  2nπ  2  nπ A ⋅ sin  x  dx = A ∫ ⋅dx =x−sin x =a22 2nπ  a   02 a 0a1Семестр 4.

Лекции 5-6.2. В данной задаче нет комплексных чисел, поэтому можно считать, что числоa22 nπ А является действительным и положительным, т.е. A =. Тогда ψ n =⋅ sin x.aa a Поэтому A =22m nπ Значения энергии частицы определяются из соотношения k = 2 E =   , т.е.ℏ a 22π2 ℏ 2 2n энергия зависит от номера n. Целое число n, определяющее значение энергии час2ma 2тицы называется главным квантовым числом.2 nπ В итоге, любому натуральному числу n соответствует решение ψ n =sin x  и знаa a E=−i n tπ2 ℏ 2 2ℏчение энергии En =n.ПсифункцияΨ=ψe.nn2ma 2Энергия частицы в бесконечно глубокой яме принимает дискретные значения, или, какговорят, квантуется.Случай n=0 не рассматриваем, т.к.

при n=0 получаем, что ψ 0 = 0 , т.е. частицы нет в яме.Состояние частицы с минимальным значением энергии (n=1) называется основным состоянием.Остальные состояния (для n>1) – возбужденными: n=2 – первое возбуждённое состояние, n=3 –второе возбуждённое состояние и т.д.Разность соседних уровней энергии при больших значенияхπ2 ℏ 2π2 ℏ 2 2 π2 ℏ 2π2 ℏ 22∆E = En +1 − En =n+1−n=2n+1≈n()()2ma 22ma 22ma 2ma 2пропорциональна номеру n.Для молекулы газа с массой m ∼ 10 −27 кг в области с размером a ∼ 0 ,1 м эта разностьравна ∆E ∼ 10−38 n Дж или ∆E ∼ 10−19 n эВ.

Учитывая, что при Т=300 К энергия теплового движения порядка ET ∼ 10 −21 Дж, то дискретностью уровней энергии частицы можно пренебречь.EНо для электрона m = 9,1 ⋅10−31 в области a ∼ 10−10 м (порядок размера атома) ∆E ∼ 10−17 n Дж,что уже соизмеримо со значением тепловой энергии.Замечание. Найдем вектор плотности вероятности для частицы в яме.iℏj=Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) .(2miℏ  ∂Ψ*∂Ψ Т.к. задача одномерная, то j = ( jx , 0,0 ) , где jx =− Ψ*Ψ.2m ∂x∂x ∂ψ n iℏ  ∂ψ* n− ψ* n ψn.2m ∂x∂x 2 nπ Из вещественности решения ψ n = ψ* n =sin x  следует, чтоa a Из Ψ n = ψ n e−iEntℏследует jx =∂ψ n iℏ  ∂ψ* n− ψ* n ψn=02m ∂x∂x Т.е.

вероятность нахождения частицы в яме не изменяется с течением времени.jx =Частица в трёхмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками.Частица массы m находится в трёхмерной области, за пределы которой она проникнутьне может. Внутри области нет потенциальной энергии (U=0), а снаружи потенциальная энергия2Семестр 4. Лекции 5-6.принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области на частицу действуетбесконечно большая возвращающая сила.Математическая постановка задачиОбласть Ω = {( x, y, z ) 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c} .0 , ( x, y,z ) ∈ ΩПотенциальная энергия U ( x, y,z ) = .+∞ , ( x, y,z ) ∉ ΩТ.к. частица не может выйти из ямы, то волновая функция частицы вне ямы равна нулюΨ ( x, y,z ) = 0 при ( x, y,z ) ∉ Ω .

Следовательно, на границе ямы волновая функция должна обращаться в нульΨ ( 0, y,z ) = 0 и Ψ ( a, y,z ) = 0 ;Ψ ( x,0,z ) = 0 и Ψ ( x,b,z ) = 0 ;Ψ ( x, y,0 ) = 0 и Ψ ( x, y,c ) = 0 ;Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в ноль в граничных точках.Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со2mстояния ∆ψ + 2 ( E − U ) ⋅ ψ = 0 , которое в трёхмерном случае для области внутри ямы приметℏвид∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 2m+++E ⋅ψ = 0 .∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ℏ 2Решение ищем в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от однойиз координат ψ = A ⋅ X ( x ) ⋅ Y ( y ) ⋅ Z ( z ) . После подстановкиA ⋅ X xx′′ ⋅ Y ⋅ Z + A ⋅ X ⋅ Yyy′′ ⋅ Z + A ⋅ X ⋅ Y ⋅ Z zz′′ +2mE ⋅ A⋅ X ⋅Y ⋅ Z = 0ℏ2разделим на A ⋅ X ⋅ Y ⋅ Z . Тогда в полученном уравненииX xx′′ Yyy′′ Z zz′′ 2m+++ 2 E = 0.XYZℏПервые три слагаемые зависят от трёх разных аргументов, но сумма является постоянным числом.

Это возможно, если каждое из слагаемых – постоянное число. Например,Yyy′′X xx′′Z ′′= − k12 ,= − k22 , zz = − k32 .XYZРешения этих уравнений должны быть ограниченными, поэтому константы – отрицательные.Исходное уравнение от трех переменных распадается на три одномерных уравнения. Решая их сучётом граничных условий как в предыдущем случае, получаем решенияnπnπnπk1 = 1 , k2 = 2 , k3 = 3 .abc222n π nπ n π X=⋅ sin  1 x  , Y =⋅ sin  2 y  , Z =⋅ sin  3 z  .abc a  b  c ψ=8n π nπ n π ⋅ sin  1 x  ⋅ sin  2 y  ⋅ sin  3 z  .abc a  b  c 2mE = 0 находим выражение для энергииℏ2ℏ2 2π2 ℏ 2  n12 n22 n32 22E=k+k+k=( 1 2 3 ) 2m  a 2 + b 2 + c 2  .2mОткуда видно, что в этом случае тоже энергия принимает дискретные значения.Из равенства − k12 − k22 − k32 +3Семестр 4. Лекции 5-6.Предположим, что яма является кубической, т.е.

a = b = c . Тогда из выражения для энергииπ2 ℏ 2 2( n1 + n22 + n32 )2ma 2видно, что возможны случаи, когда одному значению энергию соответствуют различные псифункции.Определение. Совокупность (различных) состояний, в которых частица имеет одинаковое значение энергии, называется вырожденным состоянием. Количество таких состояний (для одного и того же значения энергии) называется кратностью вырождения уровня энергии. Есликратность уровня энергии равна единице, то говорят, что уровень энергии не вырожден.Пример.

Найдём кратность вырождения уровней энергии (с 1-го по 6-й) в кубической потенциальной яме.Вид пси-функции определяется набором трех натуральных чисел ( n1 ,n2 ,n3 )E=ψ=8nπ nπ n π ⋅ sin  1 x  ⋅ sin  2 y  ⋅ sin  3 z  ,abc a  a  a а значение энергии зависит от «квадрата длины набора» ( n12 + n22 + n32 ) :π2 ℏ 2 2n + n22 + n32 ) .2 ( 12maЗначения энергии упорядочиваем по величине.Кратность вырождения равна числу наборов «одной длины».№Значение энергииНаборы чисел ( n1 ,n2 ,n3 )E=1(1,1,1)2( 2,1,1) , (1, 2,1) , (1,1, 2 )3( 2, 2,1) , (1, 2, 2 ) , ( 2,1, 2 )4( 3,1,1) , (1,3,1) , (1,1,3)5( 2 , 2, 2 )6(1, 2,3) , ( 2,1,3) , (1,3, 2 ) ,( 3,1, 2 ) , ( 3, 2,1) , ( 2,3,1)3π2 ℏ 2E1 =2ma 23π2 ℏ 2E2 =ma 29π2 ℏ 2E3 =2ma 211π2 ℏ 2E4 =2ma 26π 2 ℏ 2E5 =ma 27 π2 ℏ 2E6 =ma 2Кратность вырождения133316Падение частицы на потенциальный порог.1. Частица массы m с энергией Е движется вдоль оси Х,IIIсначала в области I, где потенциальная энергия меньшеU0энергии частицы, и налетает на область II, в которой потенциальная энергия больше энергии частицы U0>E.

ДляEобласти I пусть x<0, а для области II x>0.Примем зависимость потенциальной энергии в видеx00 , x < 0U ( x) = U 0 , x > 0Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:4Семестр 4. Лекции 5-6.d 2 ψ I 2m+ 2 E ⋅ ψI = 0 .dx 2ℏ2mСоответственно, решение ψ I = C1eik1 x + C2 e− ik1 x , где k12 = 2 E .ℏВ области I решение является суперпозицией падающей на порог и отраженной от порогаволн:ψ I = ψ IПАД + ψ ОТР.IТ.к. уравнение падающей (в положительном направлении оси Х) на преграду волны де Бройлядолжно иметь видΨПАД= C1 ⋅ eE− i  n t − k1 x  ℏ= C1 ⋅ eik1 x ⋅ e−iEntℏ,то в решении для области I падающей волне соответствует координатная часть ψ IПАД = C1eik1x .Соответственно, отражённую волну де Бройля описывает ψ ОТР= C2 e − ik1 x .IДля области II:d 2 ψ II 2m− 2 (U 0 − E ) ⋅ ψ II = 0dx 2ℏ2mрешение имеет вид ψ II = C3e − k2 x + C4 e k2 x , где k2 =(U 0 − E ) .ℏ2Оставляем только решение, убывающее при x→+∞ .

(Этому соответствует условие того,что вероятность нахождения частицы внутри барьера убывает с глубиной.) Поэтому прошедшаяволна ψ IIПРОШ = C3e− k2 x .Граничным условием является непрерывность функции ψ и её первой производной ψ′x награнице барьераdψIdψψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ,( 0 ) = II ( 0 ) .dxdxC1 + C2 = C3откуда получаем систему для определения коэффициентов .ik1C1 − ik1C2 = − k2C3Решение этой системы имеет вид C2 =( k2 + ik1 ) C , C = 2ik1 C .( ik1 − k2 ) 1 3 ( ik1 − k2 ) 1Эффективной глубиной L проникновения частицы в область порога называется расстояние отграницы порога, на котором плотности вероятности уменьшается в е раз.e2k2 Lψ ПРОШ( 0)II2ψ IIПРОШ ( L )2=C32C3e − k2 L2=e11ℏ2= e , 2k2 L = 1 , L =.=2k2 2 2m (U 0 − E )Замечание.

Из последней формулы следует, что при увеличении «высоты» порога U 0 → ∞ эффективная глубина уменьшается L → 0 .Найдём плотность потока вероятности падающей волны*ik1 xik1 x ПАД *ПАД ∂Ce∂ψ* ∂ ( C1e*()()) =ℏℏi∂ψi1ikxikxПАДПАДПАД11ψ=jx =− (ψ )C1e− ( C1e )2m ∂x∂x  2m ∂x∂xiℏiℏ2=C1C1* eik1 x ( −ik1 ) e− ik1x − ( C1* C1e − ik1 x ) ( ik1 ) eik1 x = −2ik1C12m2mПлотность потока вероятности отраженной волны()5Семестр 4. Лекции 5-6.*ОТР *ОТР ∂ ( C2 e −ik1x )∂ ( C2 e − ik1 x ) iℏ  ОТР ∂ ( ψ )iℏikx−− ik1 x *ОТР * ∂ψ1=ψ− (ψ )=− ( C2 e )j =C2 e2m ∂x∂x  2m ∂x∂xiℏiℏ2=C2C2* e − ik1 xik1eik1x − ( C2* C2 eik1 x ) ( −ik1 ) ( e− ik1x ) = 2ik1C22m2miℏ2222ikCОТР12jC2k2 + ik12mКоэффициент отражения от порога равен R = ПАД ====1iℏ2C1ik1 − k2jC12ik12mт.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций