Семестр_4_Лекция_03_04 (Отличные лекции от Семиколенова), страница 3

В этом смысле говорят, что волноваяфункция определяется с точностью до константы.Из физического смысла следует, что для всей области определения волновой функции Vсправедливо утверждение – вероятность того, что частица находится в этой области V, равнаединице2P (V ) = ∫ Ψ dV = 1 .VСледовательно, если при решении задачи о поиске волновой функции в некоторой области было найдено решение Ψ1, но при этом∫Ψ21dV = С ≠ 1 , то в качестве волновой функции следу2V1ет взять функцию Ψ 2 = Ψ1 , т.к. она тоже является решением и для неё выполняетсяСΨ11122dV = 2 ∫ Ψ1 dV = 2 С = 1 .СС VС2∫ΨV22dV = ∫VПравило выбора решения Ψ, такого, что для него во всей области выполняется условие2P (V ) = ∫ Ψ dV = 1Vназывается условием нормировки решения на единицу или просто условием нормировки.Замечание. В принципе, формально можно выбрать и другое условие нормировки – например:∫Ψ2dV = 2 ,Vно тогда квадрат модуля волновой функции уже не будет иметь смысл плотности вероятности.Вектор плотности потока вероятности.В классической физике из уравнений движения частиц или уравнений Максвелла следуют разнообразные законы сохранения и уравнения непрерывности.

Посмотрим, как обстоит дело с уравнением Шрёдингера.Если частица не находится постоянно в некоторой области пространства V, то вероятность её нахождения в этой области должна зависеть от времени. Поэтому в этом случае7Семестр 4. Лекции 3-4.dP d 2=  ∫ Ψ dV  ≠ 0 .dt dt  VПредполагаем, что объём неподвижен, поэтому ∂Ψ * ∂Ψ* dP d 22∂∂=  ∫ Ψ dV  = ∫  Ψ dV = ∫  ( ΨΨ* ) dV = ∫ Ψ +Ψ dV .dt dt  V∂t∂t∂tVV V  ∂tИз уравнения Шрёдингера следует, что∂Ψ 1  ℏ2= −∆Ψ + U ⋅ Ψ  .∂t iℏ  2mИз сопряжённого уравнения Шрёдингера∂Ψ*1  ℏ2= − −∆Ψ* + U ⋅ Ψ*  .∂ti ℏ  2mТогда 1  ℏ2 dP1  ℏ2= ∫  −∆Ψ + U ⋅ Ψ  Ψ* − −∆Ψ* + U ⋅ Ψ*  Ψ dVdt V  iℏ  2mi ℏ  2m откуда после сокращений 1 ℏ2dP1 ℏ2iℏ*= ∫−∆ΨΨ+∆Ψ* ) Ψ dV = −∆Ψ* ) Ψ − ( ∆Ψ ) Ψ* dV .( )((∫dt V  iℏ 2miℏ 2m2m V()Т.к.

div ( Ψgrad Ψ* ) = ( grad Ψ ,grad Ψ* ) + Ψ∆Ψ* иdiv ( Ψ* grad Ψ ) = ( grad Ψ , grad Ψ* ) + Ψ* ∆Ψ , тоdiv ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) = Ψ∆Ψ* − Ψ* ∆Ψ .С учётом теоремы Остроградского-Гаусса получаемdPiℏiℏ=−div ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ )dV = −( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ ) ,dS .∫dt2m V2m ∫SВектор плотности вероятности определяется соотношениемiℏj=Ψ ⋅ grad Ψ* − Ψ* ⋅ grad Ψ ) .(2mУравнение непрерывности для вероятности в интегральной форме:dP= − ∫ j ,dSdtSизменение вероятности нахождения частицы в некотором объёме V равно с обратным знакомпотоку вектора плотности вероятности через замкнутую поверхность S, ограничивающую этотобъём.dP d 22∂Т.к.

для неподвижного объёма справедливо равенство=  ∫ Ψ dV  = ∫  Ψ dV ,dt dt  V V  ∂t(())iℏ2∂то из равенства ∫  Ψ dV = −div ( Ψgrad Ψ* − Ψ* grad Ψ )dV можно получить уравнение∫∂t2m VVнепрерывности для вероятности в дифференциальной форме:∂2Ψ = −div ( j ) .∂tСтационарные состояния.Состояния частицы, для которых значение энергии определено однозначно, называютсястационарными состояниями.8Семестр 4. Лекции 3-4.ℏследует, что ес2ли неопределённость энергии в каком-то состоянии стремится к нулю ∆E → 0 , то время пребывания системы в этом состоянии должно быть бесконечно большим.

В этом смысле состояниеназывается стационарным.Как будет установлено далее (в теории операторов), волновая функции частицы в стационарном состоянии со значением энергии Е принимает особый видЗамечание. Из принципа неопределённостей для времени и энергии ∆E ⋅ ∆t ≥E−i tΨ = ψ ⋅e ℏ ,где функция «пси малая» ψ зависит только от координат частицы, но не зависит от времени,поэтому её иногда называют координатной частью волновой функции стационарного состояния.В стационарном состоянии плотность вероятности не зависит от времени. Действительно, плотность вероятности равна квадрату модуля волновой функцииΨ = ψ ⋅e2E 2−i tℏ= ψ ⋅e2E 2−i tℏ=ψ .2Следовательно, для стационарного состояния уравнение непрерывности для вероятностипримет вид:div ( j ) = 0 .Соответственно, вектор плотности вероятности для стационарного состоянияiℏj=ψ ⋅ grad ψ* − ψ* ⋅ grad ψ ) .(2mУравнение Шрёдингера для стационарного состояния.Необходимым условием стационарности состояния является независимость от временифункции U, т.е.

в стационарном состоянии эта функция однозначно трактуется как потенциальная энергия. В этом случае, подставим во временное уравнение Шрёдингера Ψ = ψ ⋅ eE−i tℏ:∂Ψℏ2=−∆Ψ + U ⋅ Ψ ,∂t2mEEE−i t −i t −i t∂ℏ2 iℏ  ψ ⋅ e ℏ  = −∆  ψ ⋅e ℏ  +U ⋅ψ ⋅e ℏ ,∂t 2m EEE2−it−it−i tℏ Eℏℏiℏψ  −i  ⋅ e=−⋅ e ∆ψ + U ⋅ ψ ⋅ e ℏ .2m ℏiℏТ.к. eE−i tℏ≠ 0 , то можно сократить eE−i tℏ: Eψ = −ℏ2∆ψ + U ⋅ ψ .

После преобразований получаем2mуравнение2m( E −U ) ⋅ ψ = 0ℏ2которое носит название уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.∆ψ +9.