Семестр_4_Лекции_14_15 (Отличные лекции от Семиколенова), страница 2

распределение, для которого статистический вес Ω максимален. Т.е. нужно найти мак( N + Zi − 1)! при заданном числе частиц системы N = N исимум выражения Ω = ∏ Ωi = ∏ i∑i iN i!( Z i − 1) !iiполной энергии системы E = ∑ N i Ei .iВместо поиска экстремума выражения Ωi = ∏ Ωi = ∏ii( Ni + Zi − 1) !N i!( Z i − 1) !будем искать макси-мум энтропии S, которая связана со статистическим весом соотношением БольцманаS = k ⋅ ln Ω :( N + Zi − 1)! = k ⋅ ln N + Z − 1 ! − ln N ! − ln Z − 1 !  .S = k ⋅ ln ∏ i∑  {( i i ) } { i } {( i ) }N !( Z − 1) !iiiiДля дальнейших преобразований воспользуемся формулой Стирлинга, согласно которойпри n >> 1 ln {n!} ≈ n ln ( n ) − n . При N i >> 1 и Z i >> 1 получаемS = k ⋅ ∑ ( N i + Z i − 1) ln ( N i + Z i − 1) − ( N i + Z i − 1) − N i ln N i + N i − ( Z i − 1) ln ( Z i − 1) + ( Z i − 1) iили S = k ⋅ ∑ ( N i + Z i − 1) ln ( N i + Z i − 1) − N i ln N i  + C , где величина C = − k ∑ ( Z i − 1) ln ( Z i − 1) iне зависит от числа частиц N i .4iСеместр 4.

Лекции 14-15.Чтобы найти максимум энтропии для заданного числа частиц системы N и энергии E,применяем метод множителей Лагранжа, согласно которому необходимо построить вспомогательную функцию F = S + λ1 N + λ 2 E (где λ1 и λ2 – постоянные множители) и найти её экстремум: F = k ⋅ ∑ ( N i + Z i − 1) ln ( N i + Z i − 1) − N i ln N i  + C + λ1 ∑ N i + λ 2 ∑ N i Ei .iiНеобходимые условия экстремумаi∂F= 0 имеют вид∂N i∂F11 = k ⋅ ln ( N i + Z i − 1) + ( N i + Z i − 1)− ln N i − N i  + λ1 + λ 2 Ei = 0Ni ∂N i( Ni + Zi − 1)илиNi + Zi − 1=eNiλ +λ E− 1 2 ikNi1+1−λ +λ E− 1 2 iZZi, откуда i=e k . Ni   Zi Ni= ni представляет собой среднее число частиц, приходящихся на однуZiячейку фазового пространства, т.е.

на одно состояние в i-ом энергетическом слое.1Поскольку Z i >> 1 , то слагаемым в числителе<< 1 можно пренебречь. Таким образом, дляZiОтношениеni получаемni =1λ +λ E− 1 2 ik.e−1Найдем множители Лагранжа λ1 и λ2. Т.к. все частные производные функции F равны нулю, тоэто означает, что равен нулю дифференциал этой функции dF, т.е. dF = dS + λ1dN + λ 2 dE = 0 .Но так как число частиц системы N постоянно, то dN=0 и, поэтому dS = −λ 2 dE .Предположим теперь, что рассматриваемая система получает в обратимом процессе некоторое количество теплоты δQ при неизменном объеме V.

Поэтому изменение энтропии сисδQdEтемы равно dS =. Поскольку V=const, то δA=0 и δQ = dE , следовательно, dS =откудаTT1λ2 = − .TµМножитель λ1 запишем в виде λ1 = , где µ - некоторая функция параметров состоянияTсистемы, в частности, температуры. Эту функцию называют химическим потенциалом. С уче1том выражений для λ1 и λ2 выражение для ni принимает вид ni = Ei −µ.kTe−1Освобождаясь от индекса i, окончательно получаем распределение Бозе-Эйнштейна1n = E −µ.e kT − 1Оно описывает распределение бозе-частиц по энергиям и определяет среднее число бозе-частицn , находящихся в квантовом состоянии с энергией E. Величину n называют также числомзаполнения энергетического уровня с энергией E.Как следует из распределения Бозе-Эйнштейна, число бозе-частиц, находящихся на одном энергетическом уровне (в одном состоянии), ничем не ограничено и при малых значениях5Семестр 4.

Лекции 14-15.параметраE −µможет оказаться очень большим. Это важная отличительная особенность бозеkTчастиц.Замечание. Химический потенциал µ для систем бозонов с постоянным числом частиц N можетпринимать только отрицательные значения, т.е. µ<0. Действительно, если бы µ мог быть полоE −µжительным, то при E < µ экспонента в знаменателе была бы меньше единицы e kT < 1 и соответствующие числа заполнения n стали бы отрицательными, что невозможно.Рассмотрим случай малых чисел заполнения n << 1 . Это условие выполняется приE −µe kT >> 1 , илиn ≈1E −µkTE −µ>> 1 .

Пренебрегая единицей по сравнению с экспонентой в знаменателеkT= A⋅e−EkTµkT, где A = e . Мы видим, что при малых числах заполнения, или, как гово-eрят, в случае разреженного бозе-газа, распределение Бозе-Эйнштейна переходит в классическое распределение Больцмана.Газ, свойства которого отличаются от свойств классического идеального газа, называетсявырожденным газом. Поскольку распределение Бозе-Эйнштейна существенным образом отличается от распределения Больцмана, то газ бозонов является вырожденным газом. И только вслучае малой плотности ( n << 1 ) вырождение снимается и разреженный бозе-газ ведет себяподобно идеальному газу.Число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне, может быть очень большим.

Кроме того, при определенных условиях в системе бозе-частиц может происходить бозеконденсация - скопление очень большого числа частиц в состоянии с энергией E=0. Именно сбозе-конденсацией связаны такие явления, как сверхтекучесть и сверхпроводимость.Распределение Бозе-Эйнштейна используется для описания свойств систем, состоящихиз бозе-частиц: как простых, например, фотонов, фононов, так и более сложных, составных, например, атомов 4 He , электронов, образующих куперовские пары, и т.д. С его помощью описываются свойства теплового излучения, теплоемкость кристаллов и многие другие физическиеявления. Что же касается поведения обычных газов, атомы которых являются бозе-частицами,то анализ показывает, что при нормальных температурах и давлениях эти газы не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.

Вырождение наступает либо при оченьнизких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. при тех условиях, при которыхгазы перестают быть идеальными. Таким образом, для этих газов статистика Бозе-Эйнштейна втой области, в которой справедлива кинетическая теория газов, практически не отличается отклассической статистики Больцмана.Случай переменного числа частиц.При выводе распределения Бозе-Эйнштейна число частиц системы N оставалось постоянным.

Какой вид имеет распределение Бозе-Эйнштейна для системы с переменным числомчастиц? Примером такой системы является тепловое излучение внутри замкнутой полости.Стенки полости непрерывно поглощают и испускают излучение, поэтому число фотонов внутри полости постоянно меняется.

Фотоны являются бозе-частицами и при не очень сильных (нелазерных) интенсивностях излучения не взаимодействуют друг с другом. Так что излучение взамкнутой полости представляет собой идеальный бозе-газ фотонов с переменным числом частиц.Рассматриваем систему бозонов с переменным числом частиц N. Решаем задачу так жекак и выше.

Поскольку в данном случае ∑ N i = N ≠ const то при нахождении условного эксiтремума энтропии S методом множителей Лагранжа вместо функции F = S + λ1 N + λ 2 E следует6Семестр 4. Лекции 14-15.взять функцию F = S + λ 2 E (исчезло условие постоянства числа частиц системы). Поэтому соответствующий множитель Лагранжа следует считать λ1 = 0 . В силу того, что химический потенциал µ и множитель λ1 связаны соотношением µ=λ1 Т, получаем, что и µ=0.

Таким образом,химический потенциал системы бозонов с переменным числом частиц равен нулю и распреде1ление Бозе-Эйнштейна для систем с переменным числом частиц принимает вид n = E.kTe −1Пример. Получим формулу Планка для равновесного теплового излучения из распределенияБозе-Эйнштейна.Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки которой нагретыдо некоторой температуры Т. Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов. По1скольку для фотонов E = ℏω , то n = ℏω.e kT − 1Энергия излучения в узком энергетическом интервале от E до E+dE складывается изэнергий отдельных фотонов.

Плотность квантовых состояний g(E), т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов определяется выражениемE2g ( E ) = 2 3 3 V . Произведение g(E) на dE дает число квантовых состояний, заключенныхπℏcвнутри интервала dE.

Умножая это произведение на среднее число фотонов в данном состоянииn и на энергию фотона E, получаем, что суммарная энергия фотонов в интервале dE равнаn ⋅ g ( E ) ⋅ EdE .Данному энергетическому интервалу от E до E+dE соответствует частотный интервалEE dEчастот от ω =до ω + d ω = +.ℏℏ ℏСпектральная плотность объёмной плотности энергии uω,T представляет собой энергиюизлучения в единичном частотном интервале, отнесенную к единице объема. Т.к.

энергия фотонов в частотном интервале dω равна uω ,T ⋅ V ⋅ d ω , (V - объем полости), тоuω ,T ⋅ V ⋅ d ω = n ⋅ g ( E ) ⋅ EdE или uω ,T ⋅ V ⋅откуда uω,T =ℏωπ2 c331eℏωkTdEE2= 2 3 3 V ⋅ EdEℏ πℏc1eℏωkT,−1.−1Распределение Ферми-ДиракаНайдем распределение ферми-частиц, т.е. частиц, обладающих полуцелым спином.

Ферми-частицы подчиняются принципу (запрету) Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находится более одного фермиона. Т.е. можно сказать, чтофермионы являются частицами-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т.е систему, состоящую из невзаимодействующих фермионов.Сначала найдем число возможных распределений N частиц по Z ячейкам пенала при условии, что в каждой ячейке не может находится более одной частицы. Число ячеек Z и числочастиц N должны удовлетворять условию Z≥N.Число всевозможных перестановок пустых ячеек пенала и ячеек с частицами равно Z!.При этом перестановки только ячеек с частицами в силу тождественности частиц не приводят кновым распределениям.

Число таких перестановок равно N!. Перестановки местами пустыхячеек тоже не дают новых распределений, их число равно (Z−N)!. Таким образом, число различных распределений N частиц по Z ячейкам в данном случае равно7Семестр 4. Лекции 14-15.Z!.N!( Z − N ) !Это выражение определяет число возможных распределений N фермионов по Z ячейкам,т.е. статистический вес макросостояния системы фермионов.Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится также как и для бозе-частиц.В шестимерном фазовом пространстве с координатами ( x, y,z, px , p y , p z ) две изоэнергеΩ=тические поверхности f ( x, y, z, px , p y , pz ) = Ei = const и f ( x, y, z, px , p y , pz ) = Ei +1 = const выделяют тонкие энергетические слои. Опять предполагаем, что Ei +1 − Ei << Ei .

Пусть в i-ом слоеимеется Zi ячеек и N i частиц. Тогда статистический вес подсистемы из N i частиц естьZ i!Ωi =. Статистический вес всей системы равен произведению статистических весовN i!( Z i − N i ) !ее отдельных подсистемZ i!Ω = ∏ Ωi = ∏.ii N i!( Z i − N i ) !Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение частиц по ячейкам, нужно найти максимум статистического веса при условии, что полное число частиц системы N и полнаяэнергия системы E остаются постоянными, т.е. N = ∑ N i = const и E = ∑ N i Ei = const .iiКак и для бозе-частиц, вместо максимума статистического веса Ω будем искать максимум энтропии S = k ⋅ ln Ω :Z i!S = k ⋅ ln ∏= k ⋅ ∑ ln {Z i!} − ln { N i!} − ln {( Z i − N i ) !} .ii N i!( Z i − N i ) !Используем формулу Стирлинга ln {n!} ≈ n ln ( n ) − n , которая справедлива при n >> 1 .