Семестр_4_Лекции_14_15 (Отличные лекции от Семиколенова), страница 3

Поэтомупри Z i >> 1 и N i >> 1 , выполняетсяS = k ⋅ ∑  Z i ln Z i − Z i − N i ln N i + N i − ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i ) + ( Z i − N i )  илиiS = k ⋅ ∑  Z i ln Z i − N i ln N i − Z i ln ( Z i − N i ) + N i ln ( Z i − N i )  .iS = С − k ⋅ ∑  N i ln N i + ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i )  , где С = k ⋅ ∑ Z i ln Z iiiСлагаемое С можно в дальнейшем не учитывать, поскольку при решении задачи на экстремумэнтропии S варьироваться будут только числа частиц в слое N i , а C от них не зависит.Для отыскания максимума энтропии используем метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию F = S + λ1 N + λ 2 EF = С − k ⋅ ∑  N i ln N i + ( Z i − N i ) ln ( Z i − N i )  + λ1 ∑ N i + λ 2 ∑ N i Eiiiiгде λ1 и λ2 - множители Лагранжа. Равенство нулю частных производных этой функции по N i :N1− iλ +λ E− 1 2 iZi∂F= − k ⋅ ln N i + 1 − ln ( Z i − N i ) − 1 + λ1 + λ 2 Ei = 0 , откуда=e k .Ni∂N iZi8Семестр 4. Лекции 14-15.Niпредставляет собой среднее число ферми-частиц, приходящихся наZi1одну ячейку, т.е. на одно квантовое состояние: ni = λ1 +λ2 Ei.−ke+1Множители Лагранжа λ1 и λ2 находятся точно также как и в случае бозе-частиц.1µ1λ 2 = − , λ1 = , где µ - химический потенциал.

Тогда ni = Ei −µ.TTe kT + 11Освобождаясь от индекса i, приходим к окончательному выражению n = E −µ.kTe +1Это соотношение называется распределением Ферми-Дирака. Оно определяет среднее числоферми-частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией E.Следствия из распределения Ферми-Дирака.1. n не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состояниине может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Поскольку n ≤ 1 , то говорят, что распределение Ферми-Дирака определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией E при температуре T.2.

Химический потенциал µ для ферми-частиц может быть только положительным, т.е.µ>0. Иначе при T→0 экспонента в знаменателе обратилась бы в бесконечность, а числа заполнения - в нуль, чего быть не может.1Рассмотрим случай малых чисел заполнения, т.е. n = E −µ<< 1 . Это условие выполkTe +1Отношение ni =E −µkT−E −µkT−EkTµkTняется при e>> 1 , тогда n ≈ e= A ⋅ e , где A = e . Т.е. распределение Ферми-Диракапри малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного ферми-газа, переходитв классическое распределение Больцмана.

Т.к. в распределение Больцмана в случае малых чисел заполнения переходит также и распределение Бозе-Эйнштейна, то можно сделать вывод,что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.Принципиальное различие между распределения Ферми-Дирака и Больцмана наблюдаетE −µся при< 1 . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии вkTбольшом количестве.

Для них n тем больше, чем меньше энергия состояния E. Что же касается ферми-частиц, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышатьединицу, что согласуется с запретом Паули.Химический потенциал µ, который имеет размерность энергии, в случае ферми-частицназывают энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают EF. При этом распределение Ферми-Дирака принимает вид1n = E − EF.e kT + 1Т.к. для фермионов µ>0, то энергия Ферми EF >0 также больше нуля. (Энергия Ферми EFмедленно меняется с изменением температуры T).Рассмотрим зависимость распределения Ферми-Дирака от температуры. Будем считать,что рассматриваемая температура T может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е.T→0. Обозначим через EF(0) значение энергии Ферми при T→0.

Этот случай будем условно на-9Семестр 4. Лекции 14-15.зывать случаем «нулевой температуры T=0». Из распределения Ферми-Дирака следует, что вслучае T=01, E < EF ( 0 )n =0 , E > EF ( 0 )Это означает, что все квантовые состояния с энергиями E < EF ( 0 ) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > EF ( 0 ) - свободными. Таким образом, при T=0 энергия Ферми EF(0) является максимальной энергией, которой могут обладать ферми-частицы.Распределение Ферми-Дирака в этом случае представляет собой ступенчатую функцию<n><n>T=01T >0∼kT11/2E0EF(0)E0EF(0)единичной высоты, обрывающуюся при E = EF ( 0 ) .

При температурах, отличных от нуля резкий скачок <n> от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, шириной порядка нескольких kT. Чем выше температура, тем шире область, в которой <n>меняется от единицы до нуля, и тем более плавно происходит переход от заполненных состоя1ний к незаполненным. Однако, при любой температуре при E=EF n = . Т.е. в состоянии с2энергией, равной энергии Ферми всегда находится один электрон.Наряду с энергией Ферми EF при анализе поведения ферми-частиц вводятся также им2 EFпульс Ферми pF и скорость Ферми vF, определяемые соотношениями pF = 2me EF , vF =meПри T=0 это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица.Электронный газ в металлахПрименим статистику Ферми-Дирака к описанию электронов проводимости в металлах.Будем рассматривать свободные электроны, т.е.

ту часть атомных электронов, которая можетсвободно перемещаться по всему проводнику. Именно эти электроны, в отличие от электронов,заполняющих внутренние электронные оболочки атомов, обеспечивают электропроводностьметаллов. Поэтому их называют электронами проводимости.Замечание. Электроны проводимости в металлах не являются, вообще говоря, абсолютно свободными, т.к. испытывают взаимодействие с ионами, находящимися в узлах кристаллическойрешетки.

Поэтому электроны находятся в усреднённом электрическом поле положительныхионов. Но внутри металла средняя суммарная сила, действующая на свободный электрон практически равна нулю, тогда как вблизи границе эта сила стремится вернуть электроны внутрьметалла. Таким образом, можно рассматривать идеальный газ свободных электронов, находящихся внутри металла как в потенциальной яме.Рассмотрим поведение электронного газа при T=0. В этом случае электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях. Согласно запрету Паули вкаждом состоянии может находиться не более одного электрона, но т.к.

электроны могут раз1личаться проекцией спина ± , то на каждом энергетическом уровне будет находиться по два2электрона с различной ориентацией спинов. Два электрона заполняют самое низшее энергетическое состояние. Третий и четвертый электроны находятся на первом возбужденном энергети10Семестр 4.

Лекции 14-15.ческом уровне, следующая пара электронов - на втором возбужденном уровне и т.д. Если числоэлектронов в металле равно N, то при T=0 будут заполнены первые N 2 уровней с энергиейE ≤ Emax . Все остальные уровни с энергией E > Emax будут свободны. Сравнивая полученныйрезультат с распределением Ферми-Дирака при T=0, приходим к выводу, что максимальнаяэнергия электронов Emax совпадает с энергией Ферми EF ( 0 ) .Хотя энергия электронов в металле квантуется и энергетический спектр электронов является дискретным, но уровни энергии расположены настолько плотно, что энергетическийспектр электронов можно считать практически непрерывным (квазинепрерывным).Найдем функцию распределения электронов проводимости по энергии. Плотность кван32m 2товых состояний для электронов в металле g ( E ) = 2 30 V E .πℏПроизведение g ( E ) на ширину энергетического интервала dE определяет число состояний, приходящихся на интервал энергий от E до E+dE.

Умножая это произведение на <n>, т.е.на вероятность заполнения данного энергетического состояния, находим число электронов dN,энергия которых лежит в интервале от E до E+dE.Интегрируя это выражение по энергии, получаем полное число свободных электронов в∞металле N = ∫ g ( E ) n dE .0Запишем аналогичные выражения для концентрации электронов n =32m 2получаем dn = 2 30πℏ1EФункция F ( E ) =∞eE − EFkT+1dE и n = ∫03202 32mdn=dEπℏEN. С учетом вида g ( E )V32m02π2 ℏ31E − EFkT1EeE − EFkTdE+1называется функцией распределения свободныхe+1электронов по энергиям.

При T=0 функция F(E) имеет вид32 2m0 E , E < E ( 0 )F23F (E) =  π ℏ0 , E > E F ( 0 )и распределение электронов по энергиям описывается выражением322m0EdE, E < EF ( 0 ) .23dn =  π ℏ0 , E > E F ( 0 )Замечание. Функции распределения играют в статистической физике очень важную роль. Так,например, если известна функция распределения частиц по энергиям F(E), то можно найтисреднее значение любой физической величины f, зависящей от E. Оно определяется соотношением∞f =∫ f (E) F (E)0∞∫ F (E)=∞1f (E) F (E) .n ∫0011Семестр 4. Лекции 14-15.Получим выражение для энергии Ферми EF ( 0 ) при T=0.

Поскольку при абсолютном ну-ле температуры n = 1 при E < EF ( 0 ) и n = 0 при E > EF ( 0 ) , то верхний предел интеграла вможно заменить на EF ( 0 ) : n =EF ( 0 )∫0Тогда EF ( 0 ) =232m02π2 ℏ3332 2m022.EdE =E0()()F3 π2 ℏ323ℏ3π2 n ) . Из этого соотношения можно по известному значению концентра(2m0ции найти энергию Ферми EF ( 0 ) , или, наоборот, по известной энергии Ферми найти концентрацию свободных электронов в металле.Пример. Оценим величину энергии Ферми для свободных электронов в металле при T=0.

Пустьn=5⋅1022 см-3 =5⋅1028 м-3 , тогда EF ( 0 ) ≈ 5 эВ. Таким образом, EF ( 0 ) по порядку величины составляет несколько электрон-вольт.♣Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми TF: TF =Но EF ( 0 ) =EF ( 0 ).k22ℏ2ℏ23π2 n ) 3 , поэтому TF =3π2 n ) 3 .((2m02m0 kПример. При значении EF ( 0 ) = 5 эВ температура Ферми имеет величину TF = 60000 K, что более чем в 200 раз превышает комнатную температуру. ♣Рассмотрим случай T>0, когда ступенька в распределении Ферми-Дирака, характернаядля T=0, размывается и переход от заполненных электронами состояний к незаполненным происходит более плавным образом.Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину ~kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину ~ kT, оказываются свободными. И только в области энергий шириной ~ kT вблизи энергии Ферми имеются состояния, частично заполненные электронами. Однако, хотя ширина этой области, какправило, невелика по сравнению с энергией Ферми, эта область играет очень важную роль.Только электроны, заполняющие состояния в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах, происходящих в металлах.

Только их энергия может изменятьсяв ходе этих процессов.Получим выражение для энергии Ферми EF при отличной от нуля температуре металла.В этом случаеn=32 ∞02 302mπℏ∫EdE E − EFexp  kT +1 .Это выражение позволяет в принципе найти энергию Ферми EF как функцию температуры T иконцентрации электронов n. Однако, в общем случае интеграл точно не берется. Приближенноезначение интеграла удается получить при kT << EF . В этом случае для энергии Ферми получаем π2  kT  2 EF ≈ EF ( 0 ) 1 −  . 12  EF ( 0 )  Так как условие kT << EF ( 0 ) выполняется для всего диапазона температур, при которомметаллы существуют в твердом виде, то это соотношение справедливо для всех реализуемых напрактике случаев. Более того, во многих ситуациях эта поправка оказывается ничтожно малой,так что ей можно пренебречь и считать, что EF ≈ EF ( 0 ) .