Семестр_4_Лекции_07_08 (Отличные лекции от Семиколенова), страница 2

Например,коммутатор [ xˆ, yˆ ] ( Ψ ) = xˆ ( yˆ ( Ψ ) ) − yˆ ( xˆ ( Ψ ) ) = x ⋅ y ⋅ Ψ − y ⋅ x ⋅ Ψ = 0 , т.е. [ xˆ, yˆ ] = 0ˆ .Следовательно, координаты могут быть одновременно измерены с любой точностью.Оператор координаты является самосопряженным.

Проверим это, например, для x̂ :3Семестр 4. Лекции 7-8.( ˆx ( Ψ ) , Ψ ) = ∫ Ψ12*2⋅ ˆx ( Ψ1 ) ⋅ dV = ∫ Ψ 2* ⋅ x ⋅ Ψ1 ⋅ dV = ∫ Ψ 2* ⋅ x* ⋅ Ψ1 ⋅ dV =VVV= ∫ ( xΨ 2 ) ⋅ Ψ1 ⋅ dV = ( Ψ1 ,xˆ ( Ψ 2 ) )*VСобственные числа этого оператора – это значения координат. Очевидно, что эти значения действительные числа.

Оператор координаты обладает непрерывным спектром, поэтому среднее значение, например, координаты x определяется равенством2x = ∫ Ψ* ˆx ( Ψ ) dV = ∫ Ψ* xΨdV = ∫ x Ψ dV .VVVОператор радиус-вектора определяется как векторная функцияR ( Ψ ) = ex xˆ ( Ψ ) + ey ˆy ( Ψ ) + ez ˆz ( Ψ ) = x ⋅ Ψ ⋅ ex + y ⋅ Ψ ⋅ ey + z ⋅ Ψ ⋅ ezгде ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.2.

Оператор проекции импульса на ось декартовой системы координатℏ ∂Ψℏ ∂Ψℏ ∂Ψp̂x ( Ψ ) =, p̂ y ( Ψ ) =, p̂z ( Ψ ) =.i ∂xi ∂yi ∂zПроверим, что этот оператор самосопряженный для одномерного случая. Т.к. частица находится в ограниченной области, то на границе области волновая функция частицы обязательно обращается в ноль. Если область задана интервалом a < x < b , то Ψ ( a ) = 0 и Ψ ( b ) = 0ℏ ∂Ψℏ∂Ψ( ˆpx ( Ψ1 ) , Ψ 2 ) = ∫ Ψ ⋅ ˆpx ( Ψ1 ) ⋅ dx = ∫ Ψ ⋅ i ∂x1 ⋅ dx = i ∫ Ψ 2* ⋅ ∂x1 ⋅ dx =aaabb*2b*2*bb b  ℏ ∂Ψ 2* bℏ *∂Ψ 2* ℏ ∂Ψ 2 =  Ψ 2 ⋅ Ψ1 − ∫⋅ Ψ1 ⋅ dx  = ∫  − ⋅ Ψ1 ⋅ dx = ∫  ⋅ Ψ1 ⋅ dx = ( Ψ1 , ˆpx ( Ψ 2 ) )ai∂xi∂xi∂xaa aСобственные значения оператора проекции импульса – это значения проекции импульса. Найдём, например, собственные функции оператора проекции импульса на ось Х.

Для этого надоразрешить операторное уравнение p̂x ( Ψ ) = px ⋅ Ψ . С учётом определения оператора получаемобыкновенное дифференциальное уравнение первого порядкаℏ ∂Ψ= px ⋅ Ψ ,i ∂xpi x ⋅xpdΨкоторое решаем методом разделения переменных= i x ⋅ dx , откуда Ψ = C ⋅ e ℏ , где С неΨℏзависит от х.Коммутатор операторов проекций импульса на разные координатные осиℏ ∂  ℏ ∂Ψ  ℏ ∂  ℏ ∂Ψ  ˆpx , ˆp y  ( Ψ ) = ˆpx ( ˆp y ( Ψ ) ) − ˆp y ( ˆpx ( Ψ ) ) =− =0.i ∂x  i ∂y  i ∂y  i ∂x Т.е. координаты импульсов могут быть измерены одновременно с произвольной точностью.Найдём коммутатор оператора координаты и проекции импульса на одну и ту же осьℏ ∂ℏ ∂Ψ  ℏℏ ∂Ψℏ ∂Ψ ℏ−x= Ψ.( xΨ ) − x [ ˆpx , ˆx] ( Ψ ) = ˆpx ( ˆx ( Ψ ) ) − ˆx ( ˆpx ( Ψ ) ) == Ψ+xi ∂xi ∂xi ∂x i i ∂x  iТаким образом, [ ˆpx , ˆx ] = −iℏ ⋅ Iˆ , где Î - единичный оператор, т.е.

Î ( Ψ ) = Ψ .С учётом того, чтоÎ = 1 для импульса вдоль оси Х и координаты х можно написать соотно-ℏ. Т.е. эти величины являются канонически сопряжёнными.2Найдём коммутатор оператора координаты и проекции импульса на разные осишение ∆x ⋅ ∆px ≥4Семестр 4.

Лекции 7-8.ℏ ∂ℏ ∂Ψ ( y ⋅ Ψ ) − y  = 0.i ∂x i ∂x Т.е. эти величины не являются канонически сопряжёнными.Оператор вектора импульсаˆp ( Ψ ) = e ˆp ( Ψ ) + e ˆp ( Ψ ) + e ˆp ( Ψ ) = ℏ ∂Ψ e + ℏ ∂Ψ e + ℏ ∂Ψ e = ℏ ∇Ψ ,x xy yz zxyzi ∂xi ∂yi ∂zi∂Ψ∂Ψ∂Ψгде оператор «набла» в декартовых координатах задаётся в виде ∇Ψ =ex +ey +ez .∂x∂y∂z[ ˆpx , ˆy ] ( Ψ ) = ˆpx ( ˆy ( Ψ ) ) − ˆy ( ˆpx ( Ψ ) ) =В квантовой механике вводят оператор полной энергии Ê , такой, что изменение волновой функции во времени (или как говорят эволюция) полностью определяется этим оператором:∂Ψ ˆiℏ= E (Ψ) .∂tСобственные значения оператора полной энергии – это значения энергии системы:Ê ( Ψ ) = E ⋅ Ψ .

Найдём вид собственных функций для оператора полной энергии.E− i ⋅t∂ΨdΨE= E ⋅Ψ ,= −i ⋅ dt , Ψ = ψ ⋅ e ℏ , где ψ - функция, не зависящая от времени.∂tΨℏЕсли энергия системы не меняется (стационарное состояние), то волновая функция имеет видiℏΨ = ψ ⋅eE− i ⋅tℏ.Построение операторов квантовой механикиДля построения оператора квантовой механики, соответствующей некоторой динамической переменной в классической механике, следует сначала записать классическое выражениеэтой величины через импульс и координаты, а затем заменить импульс и координату соответствующими операторами.3. Оператор момента импульса.В классической физике вектор момента импульса относительно некоторой точки определяетсяex ey ezвыражением L = R × p = xyz = ex ( ypz − zp y ) + ey ( zpx − xpz ) + ez ( xp y − yp x ) ,px p y pzгде ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.Тогда вектор-оператор момента импульса должен принять видˆ ˆˆ z − ˆzpˆ y ) + ey ( ˆzpˆ x − ˆˆˆ x).L = R × ˆp = ex ( ˆypxpz ) + ez ( ˆˆxp y − ˆypОператоры проекций моментов импульса на осиˆ z − ˆzpˆ y , Lˆ y = ˆzpˆ x − ˆˆˆx.Lˆ x = ˆypxpz , Lˆ z = ˆˆxp y − ˆypЗамечание.

Т.к. операторы проекции импульса на ось и координаты на другую ось коммутируютдруг с другом, то в последних трёх равенствах их порядок не влияет на результат.Рассмотрим, например, коммутаторˆˆ Lx ,Ly  ( Ψ ) = Lˆ x Lˆ y ( Ψ ) − Lˆ y Lˆ x ( Ψ ) = ( ˆypˆ z − ˆzpˆ y ) ( ˆzpˆ x − xpˆˆ z )( Ψ ) − ( ˆzpˆ x − xpˆˆ z ) ( ˆypˆ z − ˆzpˆ y )(Ψ ) =()() ℏ ∂ℏ ∂   ℏ ∂Ψℏ ∂Ψ   ℏ ∂ℏ ∂   ℏ ∂Ψℏ ∂Ψ =y−z−x−x−z z=− z yi ∂y   i ∂xi ∂z   i ∂xi ∂z   i ∂zi ∂y  i ∂z22222222 ∂Ψ2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ2 2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ2 ∂ Ψ= − yℏ− yz ℏ+ yxℏ+z ℏ− zxℏ+ zyℏ− zz ℏ− xyℏ∂x∂z∂x∂z 2∂y∂x∂y∂z∂x∂z∂x∂y∂z 25Семестр 4.

Лекции 7-8.∂Ψ∂2Ψℏ ℏ ∂Ψℏ ℏ ∂Ψ ℏ  ℏ ∂Ψℏ ∂Ψ  ℏℏˆ x − ˆˆxp y ) ( Ψ ) = − Lˆ z ( Ψ )+ zxℏ 2=y−x= y−x = ( ˆyp∂y∂z∂yi i ∂xi i ∂y i  i ∂xi ∂y  iiТ.е. проекции импульса на разные оси не могут быть измерены одновременно с произвольной точностью.Запишем оператор проекции момента импульса на ось z, т.е. L̂z , в цилиндрической сисyтеме координат ( r ,ϕ,z ) : x = r cos ϕ , y = r sin ϕ .

Откуда r = x 2 + y 2 , ϕ = arctg .x∂rx∂ry== cos ϕ ,== sin ϕ ,∂x∂yx2 + y2x2 + y 2+ xℏ 2∂ϕ=−∂xysin ϕ ∂ϕ11 cos ϕ=−,==.22∂yrr y x y x1+  1+  x xВыразим производные∂Ψ ∂Ψ ∂r ∂Ψ ∂ϕ∂Ψ sin ϕ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂r ∂Ψ ∂ϕ∂Ψ cos ϕ ∂Ψ=+= cos ϕ−,=+= sin ϕ+.r ∂ϕ ∂yr ∂ϕ∂x∂r ∂x ∂ϕ ∂x∂r∂r ∂y ∂ϕ ∂y∂r12 ℏ ∂Ψ  ℏ ∂Ψ Lˆ z ( Ψ ) = ˆx ( ˆp y ( Ψ ) ) − ˆy ( ˆpx ( Ψ ) ) = x − y= i ∂x  i ∂y ℏ∂Ψ cos ϕ ∂Ψ ∂Ψ sin ϕ ∂Ψ   ℏ ∂Ψ+−r cos ϕ  sin ϕ − r sin ϕ  cos ϕ =∂r∂rir ∂ϕ r ∂ϕ   i ∂ϕСобственные значения оператора проекции импульса на ось – это величины проекциимомента импульса L̂z ( Ψ ) = Lz ⋅ Ψ .

Найдем вид собственных функций, отвечающих этим собст=i z ⋅ϕℏ ∂Ψ= Lz ⋅ Ψ , откуда Ψ = C ⋅ e ℏ (где С – функция, не зависящая от ϕ).i ∂ϕУчитывая, что при повороте вокруг оси z на угол 2πm (m - целое число) вид функции не меняLется, получаем равенство z = m , т.е.

проекция момента импульса на ось z может приниматьℏзначения, кратные приведённой постоянноё Планка ħ: Lz = m ⋅ ℏ . В этом смысле постояннуюПланка иногда называют квантом действия.Lвенным значениям:4. Оператор потенциальной энергииВ классической механике потенциальная энергия зависит от взаимного положения тел.kx 2Выражение для потенциальной энергии квазиупругой силы (вдоль оси Х) U =в опе2kxˆ 2kkkx 2ˆраторном виде будет выглядеть так же U ( Ψ ) =( Ψ ) = ˆx ( ˆx ( Ψ ) ) = x ⋅ x ⋅ Ψ = ⋅ Ψ .2222Выражение для потенциальной энергии кулоновского взаимодействия двух точечных заq ⋅ q  ˆ1 1 q1 ⋅ q1рядов U =перейдет в оператор такого же вида Û ( Ψ ) = 1 1   ( Ψ ) , где оператор4πε 0 R4πε 0  R  1̂  ˆ1 1являетсяобратнымкоператоруR̂Ψ=R⋅Ψ.Очевидно,что()   ( Ψ ) = ⋅ Ψ , поэтомуRRRq ⋅qÛ ( Ψ ) = 1 1 ⋅ Ψ4πε 0 R6Семестр 4.

Лекции 7-8.5. Оператор кинетической энергии.В классической механике кинетическая энергия тела определяется выражениемmv 2 p 2EK ==. Поэтому оператор кинетической энергии имеет вид22mp̂ 211 ℏ ℏℏ2 2ℏ2Eˆ K ( Ψ ) =∇  ∇ (Ψ) = −∇ (Ψ) = −∆Ψ .( Ψ ) = ˆp ( ˆp ( Ψ ) ) =2m2m2m i  i2m2mНайдём собственные значения оператора кинетической энергии для одномерного случаяℏ2 d 2ΨÊK ( Ψ ) = EK ⋅ Ψ или −= EK ⋅ Ψ . Получаем уравнение, с котором уже встречались в за2m dx 2d 2 Ψ 2mдаче об одномерной яме с непроницаемыми стенками+ 2 EK ⋅ Ψ = 0 .dx 2ℏ 2mEKОткуда Ψ = C sin x + α .ℏ6. Оператор Гамильтона.В классической механике механическая энергия тела, записанная как функция импульсаp2и координат, называется функцией Гамильтона H = EK + U =+U .2mВ квантовой механике соответствующий оператор называется оператором Гамильтона(или гамильтонианом)p̂ 2ℏ2ˆHˆ ( Ψ ) =UΨ+Ψ=−∆Ψ + U ⋅ Ψ .( ) ( )2m2mУравнение Шрёдингера.Если рассматривать нерелятивистские частицы, то их полную энергию можно опредеp2лять формулой H = EK + U =+ U .

Поэтому оператор полной энергии в нерелятивистском2mˆ ( Ψ ) . Поставляя это равенство в уравнеслучае совпадает с оператором Гамильтона Eˆ ( Ψ ) = H∂Ψ ˆ= E ( Ψ ) , получаем временное уравнение Шрёдингера∂t∂Ψℏ2iℏ=−∆Ψ + U ⋅ Ψ .∂t2mТаким образом, временное уравнение Шрёдингера описывает нерелятивистские частицы.Замечание. Если рассматривать релятивистские частицы, то их полная энергия связана симпульсом соотношением E 2 = c 2 p 2 + m02 c 4 . Поэтому соответствующее операторное равенствоние эволюции волновой функции iℏ2∂  ∂Ψ 2 ∂ Ψпримет вид Eˆ 2 ( Ψ ) = c 2 ˆp 2 ( Ψ ) + m02 c 4 ⋅ Ψ .

Но Eˆ 2 ( Ψ ) = Eˆ Eˆ ( Ψ ) = iℏ  iℏ=−ℏ,∂t  ∂t ∂t 2∂2Ψp̂ 2 = − ℏ 2 ∆Ψ . В итоге получается уравнение ℏ 2 2 = c 2 ℏ 2 ∆Ψ − m02 c 4 ⋅ Ψ , которое описывает∂tсвободные релятивистские частицы (с целым спином) и носит название уравнения ГордонаФока.Если попытаться записать линейную связь между энергией и импульсом для релятивистского случая в виде E = cσ x px + cσ y p y + cσ z pz + σ0 m0 c 2 , так, чтобы выполнялось равенство(( cσ)p x + cσ y p y + cσ z pz + σ0 m0 c 2 ) = c 2 p 2 + m02 c 4 , то после подстановки в уравнение эволюции2xволновой функции получится уравнение Дирака7Семестр 4. Лекции 7-8.∂Ψℏ ∂Ψℏ ∂Ψℏ ∂Ψ= σ xc+ σyc+ σzc+ σ0 m0 c 2 Ψ .∂ti ∂xi ∂yi ∂zВ этом уравнении σ0, σx, σy, σz – специальные матричные операторы (4х4), аΨ = ( Ψ1 , Ψ 2 , Ψ 3 , Ψ 4 ) - вектор-функция.iℏПример. В момент времени t=0 волновая функция частицы в одномерной потенциальнойяме с бесконечно высокими стенками имеет вид 3πx   πx ψ ( x ) = A ⋅ cos  sin   . 2a   2a Считая, что масса частицы равна m0, найдите среднюю кинетическую энергию частицы в данном состоянии.