Семестр_4_Лекции_07_08 (Отличные лекции от Семиколенова), страница 3

Укажите, суперпозицией каких состояний частицы в потенциальной яме является данное состояние. Найдите волновую функцию Ψ(x, t).Решение. В одномерной яме с непроницаемыми стенками как стационарной задаче, волновыефункции частицы имеет видE2ℏ 2 π2 2 nπx  − i ℏn tΨ n ( x,t ) =sin e,гдеE=n .na2ma 2 e При t=0 получаем, соответственно, Ψ n ( x, 0 ) = ψ n =2 nπx sin a a Воспользуемся формулой Эйлера eiα = cos α + i sin α , откуда cos α =sin α =e iα + e − iα,2eiα − e − iα. Тогда2ii3 πx2a−i3 πx2aiπx2a−iπx2ae +ee −eA 3πx   πx ψ ( x ) = A ⋅ cos ⋅= ⋅ sin   = A ⋅22i2 2a   2 a A   2πx  πx  = ⋅  sin  − sin   2   a  a Нормируем функцию ψ на единицу22aA a   2πx 2 πx  ∫0 ψ ( x ) dx = 4 ⋅ ∫0  sin  a  − sin  a   dx =ei2 πxa−e−i2 πxaπx−i i πx−e a − e a =2i2aaA  a 2  2πx  2πx   πx  πx  =⋅  ∫ sin dx−2sinsindx+sin 2   dx  = 1  ∫∫4 0 a  a   a  a  00aaa k πx   sπx  k πx Теперь воспользуемся тем, что ∫ sin sindx=0приk≠sиsin 2   dx =∫2 a   a  a 00aдля k > 0 .

Поэтому∫ ψ ( x)2dx =022a a ⋅  +  = 1 , откуда A =, т.е. множитель можно взять4 2 2aA2в виде A =. В итоге получаемa 3πx   πx  1   2πx  πx  ψ ( x ) = A ⋅ cos ⋅  sin  sin   = − sin   a   a  2a   2a  a Т.к. система функций ψ n ортонормированная и функция ψ нормирована на единицу, то ищемкоэффициенты разложения8Семестр 4. Лекции 7-8.2 nπx  1   2πx  πx  sin ⋅  sin  − sin    dxa a  a   a  a 00aa2 1  nπx  2πx  nπx  πx  cn = ∫ sin  ⋅ sin  dx − ∫ sin  ⋅ sin   dx a a 0 a  a  a  a  02 1 a12 1 a1откуда c1 ==, c2 = −=−, остальные cn = 0 .a a 2a a 222aacn = ( ψ ,ψ n ) = ∫ ψ n* ψdx = ∫Т.е вероятность обнаружения частицы в основном состоянии ( n = 1 ) равна p1 = c1 =21и в пер21.2EE1 2 πx  − i ℏ1 t 1 2 2πx  − i ℏ2 tПоэтому Ψ ( x,t ) = Ψ1 ( x,t ) + Ψ1 ( x,t ) =sin   e−sin ,e2 a2 a e  e гдеℏ 2 π22ℏ 2 π 2EE1 =,=.22ma 2ma 2Т.к.

энергия частицы в этом состоянии не определена однозначно, то данное состояние не является стационарным.Найдём среднюю кинетическую энергию1 ℏ 2 π2 1 2ℏ 2 π2 3ℏ 2 π2EK = p1 E1 + p2 E2 = ⋅+ ⋅=.2 2ma 2 2 ma 24ma 2Найдём среднее значение кинетической энергии другим способом – прямым вычислением поформулеa ℏ2 d 2Ψ * ˆEK = ∫ Ψ EK ( Ψ ) dV = ∫ Ψ*  −dx =2  2m dx V0вом возбуждённом состоянии p2 = c2 =2222 1   2πx  πx     ℏ 1   2π  2πx   π  πx   = ∫⋅  sin −sin⋅sin−sin        dx =a   a  a     2m a   a  a  a a 0a22ℏ 2 1 a   2π   π   3ℏ 2 π2=  −   =2m a 2   a   a   4ma 29.